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Sous-sections

Dimension $ 2$

$ \boxcircle$ Définition de la notion d'angle

Définition [Angle] L'angle orienté entre deux vecteurs unitaires $ u$ et $ v$ de $ \mathbb{R}^2$ (pris dans cet ordre) est par définition l'unique rotation de $ \mathbb{R}^2$ dont l'image de $ u$ est $ v$.

L'angle orienté entre deux vecteurs non nuls quelconques $ u$ et $ v$ de $ \mathbb{R}^2$ (pris dans cet ordre) est par définition l'angle orienté entre $ \frac{1}{{\parallel}u {\parallel}} u$ et $ \frac{1}{{\parallel}v {\parallel}} v$.

On appelle angle nul l'angle entre $ u$ et $ u$ pour $ u$ vecteur non nul quelconque.

On appelle angle plat l'angle entre $ u$ et $ -u$ pour $ u$ vecteur non nul quelconque.

On appelle angle orienté de deux demi-droites $ \mathbb{R}^+ u$ et $ \mathbb{R}^+ v$ l'angle orienté entre $ u$ et $ v$.

Pour tous ces angles, l'angle non orienté correspondant est la paire $ \{r,r^{-1}\}$ avec $ r$ l'angle orienté correspondant.

L'angle orienté de deux droites $ \mathbb{R}u$ et $ \mathbb{R}v$ est la paire des angles entre $ \mathbb{R}^+ u$ et $ \mathbb{R}^+ v$ et entre $ \mathbb{R}^+ u$ et $ \mathbb{R}^- v$.

L'angle non-orienté correspondant est l'ensemble à $ 4$ éléments constitué des angles entre $ \mathbb{R}^+ u$ et $ \mathbb{R}^+ v$, entre $ \mathbb{R}^+ u$ et $ \mathbb{R}^- v$, et leurs inverses.

Etant donnée une base orthonormée directe de $ \mathbb{R}^2$ et un angle orienté $ r$, on appelle mesure de cet angle l'unique $ \theta\in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ tel que la matrice de $ r$ dans cette base soit

$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} cos(\theta) & sin(\theta) \\ -sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{array} \right)$

Notons que la valeur de $ \theta$ est indépendante du choix de la base orthonormée directe.

On appelle mesure principale d'un angle la mesure de cet angle comprise dans $ ]-\pi,\pi]$. On notera $ \widehat{X,Y}$ l'angle orienté entre $ X$ et $ Y$, quelle que soit la nature de $ X$ et $ Y$.

Proposition

$\displaystyle \widehat{a,b}-\widehat{c,d} = \widehat{a,c}-\widehat{b,d}$

$\displaystyle \widehat{a,b}+\widehat{b,c} = \widehat{a,c}$



$ \boxcircle$ Sous-groupes finis de $ O_2(\mathbb{R})$

Proposition Tout sous-groupe fini de $ O_2^+(\mathbb{R})$ s'identifie à un sous-groupe fini de $ ({\mathbb{U}},\times)$ 1.2.

Un tel sous-groupe est donc de la forme $ \{e^{\frac{2ik\pi}n} / k \in [0,n-1]\}$, et est isomorphe à $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, avec $ n$ l'ordre du groupe. Il est ainsi monogène et cyclique.

Tout sous-groupe fini de $ O_2(\mathbb{R})$ s'identifie à $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ou à $ D_n\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, groupe diédral d'ordre $ 2n$.

Démonstration:

Soit $ G$ un sous-groupe fini de $ O_2^+(\mathbb{R})$. Il est engendré par un nombre fini de rotations (puisqu'il n'y a que des rotations dans $ O_2^+(\mathbb{R})$. Donc il est engendré par des rotations d'ordre fini, d'angle $ e^{\frac{2\pi}n}$. En posant $ m$ le $ ppcm$ des $ n$ en question, on constate que $ G$ est engendré par la rotation d'angle $ e^{\frac{2\pi}n}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Considérons maintenant $ G$ un sous-groupe fini de $ O_2(\mathbb{R})$ et montrons qu'il est de l'une des deux formes annoncées. S'il est inclus dans $ O_2^+(\mathbb{R})$ c'est terminé. En cas contraire, soit $ s$ appartenant à $ G\cap O_2^-(\mathbb{R})$. $ s$ est une symétrie. L'intersection $ H$ de $ G$ et de $ O_2^+(\mathbb{R})$ est un sous-groupe fini de $ O_2^+(\mathbb{R})$; il est donc engendré par la rotation $ r$ d'angle $ 2\pi/n$ pour un certain $ n$. Le groupe $ G$ est alors engendré par $ r$ et $ s$; $ G=H\cup sH=\{Id,s\}\times H$ (au sens du produit ensembliste et non du produit direct). $ H$ est distingué, $ \{Id,s\} \cap H=\{ Id \}$: donc $ G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\rtimes \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=D_n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Polygones réguliers

Définition On appelle polygone régulier de $ \mathbb{R}^2$ l'orbite d'un vecteur non nul sous l'action d'un sous-groupe fini de $ O_2^+(\mathbb{R})$.

On consultera la partie[*] pour constater que $ D_n$ est le groupe des isométries d'un polygone régulier.

On pourra consulter le livre [10] pour la constructibilité des polygones réguliers; la caractérisation des $ n$ tels que le polygone régulier à $ n$ côtés est très surprenante, faisant intervenir les nombres de Fermat: un tel polygone est constructible si $ n$ s'exprime comme le produit d'une puissance de $ 2$ par un produit de nombres premiers de Fermat distincts1.3.



Notes

...\space 1.2
Ensemble des nombres complexes de module $ 1$
... distincts1.3
Un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme $ 2^{2^n}+1$. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont $ 3$, $ 5$, $ 17$, $ 257$, $ 65537$.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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