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Dimension $ 3$ : Sous-groupes finis de $ O_3^+(\mathbb{R})$

Théorème [Sous-groupes finis de $ O_3^+(\mathbb{R})$]

Les sous-groupes finis de $ O_3^+(\mathbb{R})$ sont de l'une des 5 formes suivantes:

$ \bullet\ $Groupes constitués exclusivement de rotations, isomorphes à $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$ \bullet\ $Groupes isomorphes aux groupes diédraux (ordre pair)

$ \bullet\ $Groupe des isométries positives laissant invariant un tétraèdre régulier (ordre 12)

$ \bullet\ $Groupe des isométries positives du cube = groupe des isométries positives de l'octaèdre (ordre 24)

$ \bullet\ $Groupe des isométries positives de l'icosaèdre (ordre 60)

Il existe des exemples pour chacun de ces cas.


Démonstration: Donner une preuve complète est très laborieux, et être vraiment rigoureux est très difficile... On pourra voir le livre [10].$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Polyèdres réguliers

On n'étudiera pas ici l'existence des 5 polyèdres réguliers et les relations de dualité. Le lecteur intéressé pourra se référer à [8]; la preuve qui y est donnée n'est pas complètement rigoureuse, car le formalisme nécéssaire pour manier de tels objets est difficile, et il est sans doute préférable de se limiter à des notions intuitives.

Les 5 polyèdres réguliers sont le tétraèdre (4 faces triangulaires), le cube (6 faces carrées), l'octaèdre (8 faces triangulaires), l'icosaèdre (20 faces triangulaires), le dodécaèdre (12 faces pentagonales).


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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