Ce théorème, à quelques modifications mineures près, est extrait du livre de Hahn, "Complex numbers and geometry".
Figure:
Figure préparatoire à l'étude de la droite de Simson
Théorème
Soit un triangle, un point.
Soient , et les projections orthogonales de sur , et . Alors , et sont colinéaires appartient au cercle circonscrit à ABC.
Démonstration:
On considère le triangle ABC inscrit dans un cercle de centre 0 et de rayon (sans perte de généralité).
On note , , , , , et les abscisses respectives de ,,,,,,.
Donc l'intersection de ces deux droites doit vérifier:
On en déduit que
de même:
colinéaires
cocycliques ou alignés
Ce qui est précisément le résultat souhaité.
On suppose maintenant
.
vérifie
Soit
Il s'agit des trois polynômes symétriques élémentaires en , , . Notons que
.
et
En éliminant :
Cette expression, étant symétrique en , , , est vérifiée aussi pour et .
C'est l'équation d'un sous espace affine, qui est :
non vide
non réduit à un point car ne sont jamais confondus.
non égal au plan car est non nul
Définition
Cette équation est donc l'équation d'une droite, appelée droite de Simson.
Théorème
Soient trois points sur le cercle circonscrit à . Alors les trois droites de Simson correspondantes sont concourantes si et seulement si
est nul modulo .
Démonstration:
Soit les abscisses respectives de .
Les deux premières se coupent en
.
Les deux dernières se coupent en
.
La condition nécéssaire et suffisante est donc
,
c'est-à-dire
ou encore
D'où le résultat par passage aux arguments.