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La droite de Simson et quelques suites

Ce théorème, à quelques modifications mineures près, est extrait du livre de Hahn, "Complex numbers and geometry".

Figure: Figure préparatoire à l'étude de la droite de Simson
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{simson.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Théorème Soit $ A,B,C$ un triangle, $ D$ un point.
Soient $ P$, $ Q$ et $ R$ les projections orthogonales de $ D$ sur $ (BC)$, $ (CA)$ et $ (AB)$. Alors $ P$,$ Q$ et $ R$ sont colinéaires $ \iff$ $ D$ appartient au cercle circonscrit à ABC.


Démonstration: On considère le triangle ABC inscrit dans un cercle de centre 0 et de rayon $ 1$ (sans perte de généralité).
On note $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \partial $, $ {\lambda}$, $ \mu$ et $ \nu$ les abscisses respectives de $ A$,$ B$,$ C$,$ D$,$ P$,$ Q$,$ R$.

Une équation de $ (BC)$ est donnée par le calcul suivant:

$\displaystyle z\in (BC) \iff \frac{z-\beta }{\gamma -\beta } \in \mathbb{R}$

$\displaystyle \frac{z-\beta }{\gamma -\beta }=\frac{\overline z - \overline \beta }{\overline \gamma - \overline \beta }$

c'est-à-dire1.4 $ z+\gamma .\beta .\overline z = \beta + \overline \gamma $

Une équation de $ (PD)$ est:

$\displaystyle z\in (BC)\iff \frac{z-\gamma }{\gamma - \beta } \in i\mathbb{R}$

$\displaystyle \frac{z-\partial }{\gamma -\beta }=-\frac{\overline z - \overline \partial }{\overline \gamma - \overline \beta }$

Donc l'intersection de ces deux droites doit vérifier:

$\displaystyle z-\gamma .\beta .\overline z=\partial -\gamma .\beta .\overline \partial $

On en déduit que

$\displaystyle {\lambda}=\frac12(\beta +\gamma +\partial -\beta .\gamma .\overline \partial )$

de même:

$\displaystyle \mu=\frac12(\alpha +\gamma +\partial -\alpha .\gamma .\overline \partial )$

$\displaystyle \nu=\frac12(\alpha +\beta +\partial -\alpha .\beta .\overline \partial )$

$ P,Q,R$ colinéaires $ \iff$ $ \frac{{\lambda}- \nu}{\mu - \nu} \in \mathbb{R}$

$\displaystyle \iff [\gamma ,\frac \partial {\vert\partial \vert^2},\beta ,\alpha ] \in \mathbb{R}$

$ \iff \alpha , \beta , \gamma , \frac \partial {\vert\partial \vert^2}$ cocycliques ou alignés

$\displaystyle \iff \vert\partial \vert=1$

Ce qui est précisément le résultat souhaité.$ \sqcap$$ \sqcup$

On suppose maintenant $ \vert\partial \vert=1$.

$ {\lambda}$ vérifie $ z = \frac12 (\beta + \gamma + \partial -\frac{\beta .\gamma }\partial )$

Soit $ \sigma _1 = \alpha + \beta + \gamma $
$ \sigma _2 = \alpha .\beta + \alpha .\gamma + \beta .\gamma $
$ \sigma _3 = \alpha .\beta .\gamma $

Il s'agit des trois polynômes symétriques élémentaires en $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $. Notons que $ \overline \sigma _1=\overline \alpha +\overline \beta +\overline \gamma =\frac1\alpha +\frac1\beta +\frac1\gamma =\frac{\sigma _2}{\sigma _3}$.

$ z=\frac12 (\sigma _1 + \partial - \alpha - \frac{\sigma _3}{\partial .\alpha })$ et $ \overline z = \frac12 (\sigma _2/\sigma _3 + 1/\partial - 1/\alpha - \frac{\partial .\alpha }{\sigma _3}) $

En éliminant $ \alpha $:

$ \partial .z - \sigma _3.\overline z = \frac12 (\partial \sigma _1 + \partial ^2 - \sigma _2 - \sigma _3/\partial )$

Cette expression, étant symétrique en $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, est vérifiée aussi pour $ \mu$ et $ \nu$. C'est l'équation d'un sous espace affine, qui est :
$ \bullet\ $non vide
$ \bullet\ $non réduit à un point car $ P,Q,R$ ne sont jamais confondus.
$ \bullet\ $non égal au plan car $ \sigma _3$ est non nul

Définition Cette équation est donc l'équation d'une droite, appelée droite de Simson.

Théorème Soient $ L,M,N$ trois points sur le cercle circonscrit à $ ABC$. Alors les trois droites de Simson correspondantes sont concourantes si et seulement si $ \widehat{AL}+\widehat{BM}+\widehat{CN}$ est nul modulo $ 2\pi$.

Démonstration:

Soit $ l,m,n$ les abscisses respectives de $ L,M,N$.

$\displaystyle l.z-\sigma _3.\overline z = \frac12(l^2+\sigma _1.l-\sigma _3-\sigma _3/l)$

$\displaystyle m.z-\sigma _3.\overline z = \frac12(m^2+\sigma _1.m-\sigma _3-\sigma _3/m)$

$\displaystyle n.z-\sigma _3.\overline z = \frac12(n^2+\sigma _1.n-\sigma _3-\sigma _3/n)$

Les deux premières se coupent en $ z=\frac12(l+m+\sigma _1+\sigma _3/(l.m))$.
Les deux dernières se coupent en $ z=\frac12(m+n+\sigma _1+\sigma _3/(m.n))$.

La condition nécéssaire et suffisante est donc $ l-n+\sigma _3.(n-l)/(l.m.n)=0$, c'est-à-dire $ \sigma _3=m.l.n$ ou encore $ \alpha .\beta .\gamma =l.m.n$
D'où le résultat par passage aux arguments.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... c'est-à-dire1.4
En constatant que $ \frac{\alpha -\beta }{\overline \alpha -\overline \beta }=-\beta \gamma $ et $ \frac{\beta \overline \gamma -\overline \beta \gamma }{\overline \gamma -\beta }=\beta +\gamma $.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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