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La droite de Simson et quelques suites

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La droite de Simson et quelques suites

Ce théorème, à quelques modifications mineures près, est extrait du livre de Hahn, "Complex numbers and geometry".

**Figure:** Figure préparatoire à l'étude de la droite de Simson
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =8cm \epsfbox{simson.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

Théorème Soit un triangle, un point.
Soient , et les projections orthogonales de sur , et . Alors , et sont colinéaires $\iff$ appartient au cercle circonscrit à ABC.

Démonstration: On considère le triangle ABC inscrit dans un cercle de centre 0 et de rayon (sans perte de généralité).
On note $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\partial$ , ${\lambda}$ , $\mu$ et $\nu$ les abscisses respectives de ,,,,,,.

Une équation de est donnée par le calcul suivant:

$\displaystyle z\in (BC) \iff \frac{z-\beta }{\gamma -\beta } \in \mathbb{R}$

$\displaystyle \frac{z-\beta }{\gamma -\beta }=\frac{\overline z - \overline \beta }{\overline \gamma - \overline \beta }$

c'est-à-dire^1.4 $z+\gamma .\beta .\overline z = \beta + \overline \gamma$

Une équation de est:

$\displaystyle z\in (BC)\iff \frac{z-\gamma }{\gamma - \beta } \in i\mathbb{R}$

$\displaystyle \frac{z-\partial }{\gamma -\beta }=-\frac{\overline z - \overline \partial }{\overline \gamma - \overline \beta }$

Donc l'intersection de ces deux droites doit vérifier:

$\displaystyle z-\gamma .\beta .\overline z=\partial -\gamma .\beta .\overline \partial$

On en déduit que

$\displaystyle {\lambda}=\frac12(\beta +\gamma +\partial -\beta .\gamma .\overline \partial )$

de même:

$\displaystyle \mu=\frac12(\alpha +\gamma +\partial -\alpha .\gamma .\overline \partial )$

$\displaystyle \nu=\frac12(\alpha +\beta +\partial -\alpha .\beta .\overline \partial )$

colinéaires $\iff$ $\frac{{\lambda}- \nu}{\mu - \nu} \in \mathbb{R}$

$\displaystyle \iff [\gamma ,\frac \partial {\vert\partial \vert^2},\beta ,\alpha ] \in \mathbb{R}$

$\iff \alpha , \beta , \gamma , \frac \partial {\vert\partial \vert^2}$ cocycliques ou alignés

$\displaystyle \iff \vert\partial \vert=1$

Ce qui est précisément le résultat souhaité. $\sqcap$ $\sqcup$

On suppose maintenant $\vert\partial \vert=1$ .

${\lambda}$ vérifie $z = \frac12 (\beta + \gamma + \partial -\frac{\beta .\gamma }\partial )$

Soit $\sigma _1 = \alpha + \beta + \gamma$
$\sigma _2 = \alpha .\beta + \alpha .\gamma + \beta .\gamma$
$\sigma _3 = \alpha .\beta .\gamma$

Il s'agit des trois polynômes symétriques élémentaires en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Notons que $\overline \sigma _1=\overline \alpha +\overline \beta +\overline \gamma =\frac1\alpha +\frac1\beta +\frac1\gamma =\frac{\sigma _2}{\sigma _3}$ .

$z=\frac12 (\sigma _1 + \partial - \alpha - \frac{\sigma _3}{\partial .\alpha })$ et $\overline z = \frac12 (\sigma _2/\sigma _3 + 1/\partial - 1/\alpha - \frac{\partial .\alpha }{\sigma _3})$

En éliminant $\alpha$ :

$\partial .z - \sigma _3.\overline z = \frac12 (\partial \sigma _1 + \partial ^2 - \sigma _2 - \sigma _3/\partial )$

Cette expression, étant symétrique en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , est vérifiée aussi pour $\mu$ et $\nu$ . C'est l'équation d'un sous espace affine, qui est :
$\bullet\$ non vide
$\bullet\$ non réduit à un point car ne sont jamais confondus.
$\bullet\$ non égal au plan car $\sigma _3$ est non nul

Définition Cette équation est donc l'équation d'une droite, appelée droite de Simson.

Théorème Soient trois points sur le cercle circonscrit à . Alors les trois droites de Simson correspondantes sont concourantes si et seulement si $\widehat{AL}+\widehat{BM}+\widehat{CN}$ est nul modulo $2\pi$ .

Démonstration:

Soit les abscisses respectives de .

$\displaystyle l.z-\sigma _3.\overline z = \frac12(l^2+\sigma _1.l-\sigma _3-\sigma _3/l)$

$\displaystyle m.z-\sigma _3.\overline z = \frac12(m^2+\sigma _1.m-\sigma _3-\sigma _3/m)$

$\displaystyle n.z-\sigma _3.\overline z = \frac12(n^2+\sigma _1.n-\sigma _3-\sigma _3/n)$

Les deux premières se coupent en $z=\frac12(l+m+\sigma _1+\sigma _3/(l.m))$ .
Les deux dernières se coupent en $z=\frac12(m+n+\sigma _1+\sigma _3/(m.n))$ .

La condition nécéssaire et suffisante est donc $l-n+\sigma _3.(n-l)/(l.m.n)=0$ , c'est-à-dire $\sigma _3=m.l.n$ ou encore $\alpha .\beta .\gamma =l.m.n$
D'où le résultat par passage aux arguments. $\sqcap$ $\sqcup$

Notes

... c'est-à-dire ^1.4: En constatant que $\frac{\alpha -\beta }{\overline \alpha -\overline \beta }=-\beta \gamma$ et $\frac{\beta \overline \gamma -\overline \beta \gamma }{\overline \gamma -\beta }=\beta +\gamma$ .