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Alexandre Grothendieck

Je voudrais dire quelques mots à propos de Grothendieck, qui me semble être le fantôme absent dont la présence est cependant si forte en ces lieux. Je suis désolé pour la jeune génération qui n'a pas eu l'opportunité de le connaître. Il était comme un tourbillon et pourtant tellement disponible. Vous pouviez toujours allez le voir et lui poser une question. Il arrêtait tout et prenait le temps nécessaire pour vous répondre (...). Ce qui était vraiment particulier à Grothendieck, le trait caractéristique de son génie, c'est je crois son instinct pour le degré exact d'abstraction et de généralité nécessaires. Je pense qu'il dérangeait toute personne qu'il rencontrait, allant toujours plus loin qu'on ne pouvait l'imaginer, vers des notions abstraites et générales. Au fur et à mesure qu'il revenait à un sujet, il allait chaque fois plus loin. Mais ce qui était à la fois surprenant et unique chez Grothendieck c'est que ses incursions dans l'abstraction résolvaient de façon surprenante des problèmes réels. 1.
D. Mumford [3].

Jeunesse

Alexandre (Shurik) Grothendieck est né le 28 Mars 1928 à Berlin d'Alexandre (Sasha) Shapiro, juif russe anarchiste exilé en Allemagne pour des raisons politiques et de Johanna (Hanka) Grothendieck, jeune femme communiste aux idées progressistes.
Exilé politique, Alexandre Shapiro est par conséquent apatride et, de ce fait, son fils l'est aussi. Alexandre Shapiro gagne sa vie comme photographe de rue. En 1933, alors que les Nazis arrivent au pouvoir, le couple Shapiro quitte l'Allemagne pour trouver refuge en France. Alexandre Grothendieck les rejoint six ans plus tard. En 1939, lorsque la guerre éclate, la France place ses ressortissants allemands dans des camps de sûreté. Alexandre Grothendieck et sa mère sont séparés d'Alexandre Shapiro. Après la défaite française, certains réfugies sont livrés aux Allemands. Alexandre Shapiro meurt à Auschwitz tandis qu'Alexandre Grothendieck et sa mère trouvent refuge dans les Cévennes et survivent ainsi à la guerre. En 1945, Alexandre Grothendieck entre à l'Université de Montpellier, où il obtient sa licence en 1948.

Premiers pas

C'était l'époque héroïque de la théorie des "faisceaux", "carapaces" et de tout un arsenal dont le sens m'échappait totalement, alors que je me contraignais pourtant tant bien que mal à ingurgiter définitions et énoncés et à vérifier les démonstrations. Au Séminaire Cartan il y avait aussi des apparitions périodiques de Chevalley, de Weil, et les jours des Séminaires Bourbaki (réunissant une petite vingtaine ou trentaine à tout casser, de participants et auditeurs), on y voyait débarquer, tel un groupe de copains un peu bruyants, les autres membres de ce fameux gang Bourbaki : Dieudonné, Schwartz, Godement, Delsarte. Ils se tutoyaient tous, parlaient un même langage qui m'échappait à peu près totalement, fumaient beaucoup et riaient volontiers, il ne manquait que les caisses de bière pour compléter l'ambiance - c'était remplacé par la craie et l'éponge.(...)
La chose étrange, c'est que dans ce monde où j'étais nouveau venu et dont je ne comprenais guère le langage et le parlais encore moins, je ne me sentais pas un étranger). Alors que je n'avais guère l'occasion de parler (et pour cause !) avec un de ces joyeux lurons comme Weil ou Dieudonné, ou avec un de ces Messieurs aux allures plus distinguées comme Cartan, Leray, ou Chevalley, je me sentais pourtant accepté, je dirais presque :un des leurs. Je ne me rappelle pas une seule occasion où j'aie été traité avec condescendance par un de ces hommes, ni d'occasion où ma soif de connaître, et plus tard, à nouveau, ma joie de découvrir, se soit trouvé rejetée par une suffisance ou par un dédain. S'il n'en avait été ainsi, je ne serais pas "devenu mathématicien" comme on dit - j'aurais choisi un autre métier, où je pouvais donner ma mesure sans avoir à affronter le mépris.

A. Grothendieck, Récoltes et semailles.

En 1948, Alexandre Grothendieck monte à Paris et assiste au séminaire Cartan. Ce séminaire regroupe à l'époque l'élite et la future élite des mathématiques française. Grothendieck fait notamment la connaissance de Jean-Pierre Serre. Dans Récoltes et semailles, il évoque cette arrivée, catapulté au sein du petit groupe Bourbaki: Dans l'année qui a suivi, j'ai été l'hôte d'un cours de Cartan à l' ''École'' auquel je m'accrochais ferme; celui aussi du ''Séminaire Cartan'', en témoin ébahi des discussions entre lui et Serre, à grands coups de ''Suites Spectrales''(brr!).

Bien que dépassé par les événements, Grothendieck trouve une communauté qui l'accueille. Sur les conseils de Cartan, il s'installe à Nancy pour commencer une thèse. Alexandre Grothendieck obtient ses premiers succès. Il lit l'article de Dieudonné et Schwartz sur les limites inductives d'espaces de Fréchet, appelés espaces $ LF$ . A la suite de cette lecture, Grothendieck introduit une nouvelle catégorie d'espace: les espaces $ DF$ (duaux de Fréchet), il modifie la définition de Dieudonné et Schwartz et donne les résultats principaux sur les espaces $ F$ , $ LF$ et $ DF$ (conditions de complétude, description des bornés etc.). Dans ces travaux, on voit naître ce qui sera le trait caractéristique de Grothendieck: choisir le cadre théorique, le mieux adapté à une situation donnée. De ce travail, il ne sera pratiquement pas question dans sa thèse Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires sous la direction de Laurent Schwartz et de Jean Dieudonné. Dans cette thèse, Grothendieck explore les propriétés du produit tensoriel en dimension infinie et introduit la notion d'espace nucléaire. Il semble que Grothendieck lui-même n'ait pas envisagé la portée de ses travaux puisque quelques années plus tard, il déclare à Malgrange que le sujet est ''mort'' ([2]). Cette théorie des produits tensoriels topologiques donnera, par exemple, naissance à une démonstration élémentaire du théorème des images directes de Grauert dans les années 1970.
Apatride par son père, Alexandre Grothendieck est légalement dans l'impossibilité de trouver un poste permanent en France. Il part pour São Paulo où il rédige son cours d'analyse fonctionnelle, considéré par certains comme le meilleur du sujet2. C'est à São Paulo qu'il commence à quitter le domaine de l'analyse fonctionnelle. Il généralise le théorème de Cartan-Serre sur la finitude de la cohomologie cohérente d'une variété compacte en dimension infinie. Chose étrange cependant, le lien entre le théorème de Cartan-Serre et sa théorie du produit tensoriel topologique n'est pas signalé, ni même utilisé. Grothendieck part ensuite pour le Kansas, où il rédige son article Sur quelques points d'algèbre homologique, qui expose l'algèbre homologique en termes de catégories abéliennes et de résolution par des objets injectifs. Le tournant est affiché, la cohomologie des faisceaux cohérents, l'algèbre homologique, les foncteurs Tor et Ext desquels Grothendieck disait ne rien comprendre, tous ces outils sont à présent entre ses mains.

L'envol

Je pourrais dire, en exagérant à peine, qu'entre le début des années cinquante et l'année 1966, donc pendant une quinzaine d'années, tout ce que j'ai appris en ''géométrie'' (dans un sens très large, englobant la géométrie algébrique ou analytique,la topologie et l'arithmétique), je l'ai appris de Serre, quand je ne l'ai pas appris par moi-même dans mon travail mathématique.

A. Grothendieck, Récoltes et semailles.

En 1956, Alexandre Grothendieck rentre en France grâce à une bourse du CNRS. De retour au Séminaire Cartan, Grothendieck se substitue aux orateurs prévus pour expliquer ses idées nouvelles en géométrie analytique.
L'année précédente, Serre a bouleversé la géométrie algébrique avec son article Faisceaux algébriques cohérents dans lequel il a montré que la topologie de Zariski permet de construire une théorie des faisceaux pour les variétés algébriques sur un corps arbitraire, analogue à la théorie des faisceaux cohérents pour les fonctions holomorphes. De ce travail, Grothendieck élabore un programme: refonder toute la géométrie algébrique en caractéristique quelconque par les méthodes cohomologiques. Il s'agit en particulier d'établir un lien entre la topologie des variétés algébriques sur les nombres complexes et l'arithmétique de ces variétés sur un corps fini, programme qui avait été cristallisé en 1949 par André Weil dans ce qui e été appelé par la suite les conjectures de Weil. Grothendieck le répète à plusieurs reprises dans Récoltes et semailles, ce sont ces conjectures de Weil qui ont montré le chemin à suivre pour la refondation de la géométrie algébrique (Weil s'inscrivant lui même à la croisée de deux traditions: celle de l'arithmétique des courbes algébriques et la géométrie algébrique italienne).
Dans Récoltes et Semailles, Grothendieck compare son approche des mathématiques à celle des noix que l'on laisse dans l'eau bouillante jusqu'à ce que la coquille se désagrège, image devenue familière depuis. Ainsi, loin de se complaire dans l'abstraction pour l'amour de l'abstraction, Grothendieck cherche à introduire le cadre idéal pour que les théorèmes soient le fruit d'un enchaînement de raisonnements simples. On trouve cette démarche dans toutes les mathématiques, mais jamais de façon aussi profonde que chez Grothendieck, qui la compare volontiers à un yoga.
Dès 1957, Grothendieck obtient ses premiers succès avec la généralisation du théorème de Riemann-Roch en dimension quelconque, sur un corps de caractéristique quelconque et sur un espace éventuellement singulier. Ce tour de force est le théorème de Riemann-Roch-Grothendieck. Il découvre la faisceau dualisant, généralisant ainsi la dualité de Serre aux variétés singulières.

L'Institut des Hautes Études Scientifiques


En 1980, l'IHÉS était devenu quelque chose de respectable presque vénérable, en tout cas, prestigieux. Il faut bien comprendre que si l'on retourne suffisamment en arrière cela devient non seulement non-vénérable et ce que je trouve plus important c'est que les gens qui ont commencé l'IHÉS étaient peu prestigieux et se préoccupaient peu de prestige.

D. Ruelle [4]

Sans me laisser impressionner tout au long de ces quatre années par les mises en garde et rumeurs persistantes de faillite imminente d'une aventure (à ce que laisse entendre des amis bien informés...) entièrement irréaliste, pour ne pas dire fumiste sur les bords! Le fait est que l'IHÉS n'avait alors la moindre assise financière ou foncière, sa vie restait constamment suspendue à des donations à court terme de quelques industriels plus ou moins bien disposés. Je ne m'en préoccupais guère, me bornant à faire confiance au directeur-fondateur Léon Motchane, qui arrivait d'année en année à ''sauver la mise'' par des prodiges de prestidigitation financière et de '''public relations''.

A. Grothendieck, Récoltes et Semailles.
En 1959, grâce à l'appui de Dieudonné, Alexandre Grothendieck devient professeur permanent à l'Institut des Hautes Études Scientifiques, un institut privé récemment fondé par L. Motchane, riche mécène.
L'IHÉS est alors abrité dans des locaux de la fondation Thiers, il se compose de deux bureaux et d'une salle pour les séminaires: A l'IHÉS, Alexandre Grothendieck continue son programme de refonte de la géométrie algébrique. C'est alors que commence le célèbre séminaire de géométrie algébrique, connu sous l'acronyme de SGA. Ce séminaire, qui deviendra le Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie lorsque l'IHÉS s'installera à Bures-sur-Yvette, verra naître de nombreux talents: Deligne, Demazure, Verdier, Illusie et bien d'autres. Outre Atlantique, il fait de nombreux adeptes: Mumford, Hartshorne, etc. . C'est à cette époque qu'il rédige en collaboration avec Dieudonné les Éléments de Géométrie Algébrique. L'approche de Grothendieck ne fait pas que des émules, d'autres mathématiciens sont plus réticents. Siegel, par exemple, déclare: ''ce n'est pas en répétant Hom, Hom que l'on démontrera des théorèmes sérieux''. Dans cette critique, allusion manifeste au mantra du Yoga, c'est encore une fois la manière de procéder de Grothendieck qui est remise en cause.
Malgré cela, Grothendieck établit les bases de la géométrie formelle, introduit le formalisme des foncteurs représentables, construit les premiers espaces de modules: schéma de Hilbert, schéma de Picard, élabore la théorie du groupe fondamental algébrique. Au début des années 60, motivé par les conjectures de Weil, Grothendieck s'interroge sur la notion d'espace et plus particulièrement de topologie. ll se rend compte que la définition habituelle que l'on donne d'une topologie est trop rigide pour la géométrie algébrique. Il est ainsi amené ainsi à modifier cette définition et donne naissance, avec M. Artin, à ce que l'on appelle aujourd'hui les topologies de Grothendieck. Parmi ces topologies, Grothendieck introduit la topologie étale: les deux premières conjectures de Weil tombent. C'est la première démonstration entièrement ''topologique'' de ces conjectures que Dwork avait démontrées quelques années auparavant. Grothendieck formule ce que l'on appelle aujourd'hui les conjectures standards, vaste généralisation de la conjecture de Hodge devant conduire elles-mêmes à la résolution des conjectures de Weil. Parallèlement à ses travaux mathématiques, Grothendieck commence à s'investir en politique. En 1966, il reçoit la médaille Fields au Congrès International des Mathématiciens qui se tient à Moscou. Il profite de sa visite à Moscou pour organiser des réunions politiques. En 1970, l'ambiance se détériore à l'IHÉS, les relations entre les professeurs et avec le directeur deviennent de plus en plus tendues ([4]). Une ultime querelle éclate sur le financement de l'IHÉS par une subvention du Ministère de la Défense. Une discussion se tient à huis-clos et L. Motchane obtient un compromis avec tous les professeurs, sauf avec Grothendieck qui n'acceptant aucun compromis, quitte l'IHÉS. Grothendieck évoque ce départ dans Récoltes et semailles: "Quant au directeur, à un moment où il se voyait acculé par le désir unanime des permanents, le pressant de partir, il a alors (selon une tactique éprouvée qu'il maniait à la perfection) joué le jeu du diviser pour régner, en utilisant la question des fonds militaires comme un moyen commode pour faire diversion, et de se débarasser en même temps du plus gênant de ses permanents. (Renversement de situation magistral, alors que le secret qu'il avait maintenu autour de la présence de ces fonds m'apparaissait comme une raison suppléméntaire et impérieuse pour l'obliger à partir!) Cela n'a pas empêché qu'après mon départ, ça n'a quand même plus traîné longtemps, et son départ de l'IHÉS a suivi de près le mien -de celui donc qui, comme lui, avait fait partie de l'IHÉS dès ses premières années précaires et héroïques, et qui, avec lui et selon ses propres moyens, en avait assuré la crédibilité et la pérennité.
"

La longue descente vers Montpellier

La nouvelle Eglise universelle.
La méthode expérimentale et déductive, depuis quatre cents ans de progrès spectaculaires, augmente sans cesse son impact sur la vie sociale et quotidienne, et par suite, jusquà une date récente, son prestige.
En même temps, à travers un processus ``d'annexions impérialistes'' qui devraient être analysées de façon plus serrée, la science a crée son idéologie propre, ayant plusieurs des caractéristiques d'une nouvelle religion, que nous pouvons appeler le scientisme (...).
Le Crédo du Scientisme. Mythe 1.
Seule la connaissance scientifique est une connaissance véritable et réelle, c'est-à-dire, seul ce qui peut-être exprimé quantitativement ou être formalisé, ou être répété à volonté sous des conditions de laboratoire, peut être le contenu d'une connaissance véritable. La connaissance ''véritable'' ou ''réelle'', parfois aussi appelée connaissance ''objective'', peut être définie comme une connaissance universelle, valable en tout temps, tout lieu, et pour tous, au delà des sociétés et des formes de cultures particulières.(...).
Vivre et Survivre 1971 [5].

Invité par Serre comme professeur pour une période de deux ans au Collège de France, il consacre une partie de ses cours au militantisme écologique et pacifique. Grothendieck impliqué dans la lutte contre la guerre du Vietnam et la préservation de la planète propose de faire ce qui aux États-Unis s'appelle un ''teach-in''. Opposé au ''teach-out'' qui prévoie l'annulation des cours, le ``teach-in'' prôné par M. Sahlins et ses collègues de l'Université du Michigan, en pleine guerre du Vietnam, consiste à incorporer au cours des discussions sur la situation politique. La proposition de Grothendieck fait scandale:
Remous au collège de France.
Un mathématicien pourra-t-il consacrer une partie de son cours aux questions de survie?
Bien entendu, il le peut, mais dans l'immédiat il le fera sous sa propre responsabilité, sans sanction officielle, et sans que le fait soit signalé sur les affiches du Collège de France.(...) Les premières séances seront consacrées à la discussion, avec la participation des auditeurs intéressés, de thèmes non-techniques liés par le titre général suivant: SCIENCE ET TECHNOLOGIE DANS LA CRISE EVOLUTIONNISTE ACTUELLE: ALLONS-NOUS CONTINUER LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE?
Le nombre de séances consacrées à ce sujet, avant de passer à la partie technique de ce cours (concernant la théorie de Dieudonné), dépendra entièrement des réactions de l'auditoire.
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A. Grothendieck, Vivre et Survivre 1971 [5].

Survivre et Vivre est le bulletin de liaison de l'association du même nom dans laquelle Grothendieck rejoint par Chevalley et Samuel militent. Combattre le scientisme, donner la priorité à la vie, cessation de la guerre du Vietnam, empêcher toute application militaire de la recherche scientifique voilà les mots d'ordre de Survivre et Vivre. Les attaques de l'association contre le scientisme sont perçues par une partie de la communauté comme des attaques contre la science. Ainsi lorsqu'au terme de ces deux années de professeur invité, Grothendieck se présente sur un poste vacant au Collège de France sa candidature est jugée irrecevable. On peut discuter à l'infini sur cet échec considéré comme logique par certains et scandaleux par d'autres. Les tenants de la première opinion évoquent dans une grande mesure l'engagement politique de Grothendieck et la peur de le voir transformer en poste de professeur en sciences politiques écologiste et révolutionnaire son poste de professeur de mathématiques Les autres mettent en avant le génie de Grothendieck et la jalousie qu'il suscite.
Grothendieck obtient cependant pour une année un poste de professeur invité à l'Université d'Orsay, où plusieurs de ses anciens étudiants sont devenus professeurs eux-mêmes. L'année suivante, il candidate sur un poste de Professeur permanent à Orsay, mais là encore il échoue et doit quitter Orsay. Il obtient finalement un poste de Professeur à l'Université de Montpellier à une époque où l'essentiel de l'activité mathématique française se concentre à Paris. Il se consacre alors entièrement à l'enseignement et quitte la recherche.

Renaissance avortée

On aimerait oublier tout ça. Il me semble pourtant utile de le mentionner, parce que le problème de Grothendieck est un problème non résolu. Il aurait pu se produire que Grothendieck soit récupéré par une institution française, il ne demandait pas grand chose, pas un grand salaire etc., mais ça ne s'est pas produit et après quelques années où les choses auraient pu être récupérées par quelqu'un ayant à la fois le pouvoir et l'intelligence pour comprendre la situation, les choses sont devenues insolubles. Donc, on a quelque chose qui est au passif, je dirais, pas tellement de l'IHÉS, mais de la société scientifique française en général.

D. Ruelle [4]

Ce n'est qu'après le ''grand tournant'' de 1970, le premier réveil devrais-je dire, que je me suis rendu compte que ce microcosme douillet et sympathique3 ne représentait qu'une petite portion du ``monde mathématique'' (...) Au cours de ces vingt et deux ans, ce microcosme avait lui même changé de visage, dans un monde environnant qui lui aussi changeait. Moi aussi assurément, au fil des ans et sans m'en douter, j'avais changé, comme le monde autour de moi. Je ne sais si mes amis et collègues s'apercevaient plus que moi de ce changement, dans le monde environnant, dans leur microcosme à eux, et dans eux-mêmes. Je ne saurais dire non plus quand et comment s'est fait ce changement étrange - c'est venu sans doute insidieusement, à pas de loup: l'homme de notoriété était craint (...). Pendant les quinze ans qui avait précéder, progessivement et sans m'en douter, j'étais entré dans le rôle du grand patron, dans le monde du Who is Who mathématique.
A. Grothendieck, Récoltes et semailles.

En 1980, Grothendieck reprend la recherche. Il dirige un séminaire et rédige la longue marche à travers la théorie de Galois. La petite histoire raconte qu'un seul étudiant était présent à ce séminaire ([2]).
Il se présente sur un poste de Directeur de Recherche au CNRS, il est recalé. En 1984, Grothendieck se présente à nouveau sur un poste de Directeur de Recherche au CNRS. Son projet de recherche est le célèbre Esquisse d'un programme. Il n'est pas accepté comme Directeur de recherche, mais il n'obtient qu'une position dite ''astérisquée''4. Jusqu'à 1986, il rédige Récoltes et semailles, réflexion autobiographique sur les mathématiques et leur communauté, dans laquelle il décrit la dégradation du milieu mathématique. En 1988, il refuse le prix Crafoord qu'il doit partager avec Pierre Deligne (prix s'élevant à 1,5 millions de francs). Dans un article au journal Le Monde il écrit:'' La fécondité se reconnaît à la progéniture, et non par les honneurs'' et un peu plus loin `` accepter d'entrer dans le jeu des prix et des récompenses serait aussi donner ma caution à un esprit et à une évolution, dans le monde scientifique, que je reconnais comme profondément malsains, et d'ailleurs condamnés à disparaître à brève échéance tant ils sont suicidaires spirituellement, et même intellectuellement et matériellement.'' La même année, Grothendieck prend sa retraite, il quitte Montpellier pour les Comtat-Venaissin puis pour les Pyrénées, où il a vécu jusqu'à aujourd'hui en refusant pratiquement tout contact avec la communauté scientifique.

( Remerciements de l'auteur de ce texte à P. Cartier pour son témoignage ainsi que A. Gerbi pour ses commentaires sur le texte.)

Mauricio D. Garay


Date: Original: Décembre 2004, Révisé Juin 2008

Bibliographie

1
Grothendieck, A. Récoltes et semailles (non publié)

2
Jackson, A. Comme appelé du néant--as if summoned from the void: the life of Alexandre Grothendieck. Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), no. 9 pp. 1038-1056 et no.10 pp. 1196-1212.

3
Mumford D, Allocution du 27 mars 2008 à l'occasion des 50 ans de l'IHÉS (discours oral restranscrit).

4
Ruelle, D., Allocution du 27 mars 2008 à l'occasion des 50 ans de l'IHÉS (discours oral restranscrit).

5
Survivre et Vivre n.9, 1971, disponible sur www.math.jussieu.fr/ leila/grothendieckcircle/.


Notes

... réels.1
Traduction du texte original: I would like to say a few words about Grothendieck who seems to me the absent ghost whose presence however is so strong. I feel sorry for the younger generation who never met him. But .. he was a whirlwind, the unique thing was ... he was very approachable, you could always go up and ask a question, he would stop everything, he would talk to you as long as necessary to explain something.(...)
I would like to describe what was really the unique thing about Grothendieck, what was his characteristic genius, and that I believe was his instinct for the right level of abstraction and generality. I think he disturbed everybody that he met by always going further they had dream was possible, towards things which were abstract and were more general and he did that again and again as he came back to a subject. But what was really surprising and which was unique in Grothendieck, among people who do this, is that these forays into the abstract solved real world problems in an uncanny way
... sujet2
Ce cours n'est à ce jour toujours pas publié en français
... sympathique3
Grothendieck fait ici allusion au groupe Bourbaki et à ses ramifications.
... ''astérisquée''4
L'auteur de ce texte n'a pas réussi à comprendre de quoi il s'agissait exactement, en dépit de ses efforts


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