Henri Poincaré

Mathématicien, physicien, philosophe, Jules Henri Poincaré fut sans doute le dernier savant à dominer l'ensemble des mathématiques de son époque et à faire progresser leurs diverses branches. Sa production scientifique est énorme et ses idées novatrices sont encore largement étudiées et développées de nos jours. Elles sont, entre autres, à l'origine des théories modernes du chaos. Il a également marqué son temps par ses écrits philosophiques, réflexions sur la Science et la recherche en Mathématiques, lus et traduits dans le monde entier. Poincaré est né le 29 Avril 1854 à Nancy, où son père était professeur de médecine. Ce n'est pas le seul homme célèbre de sa famille puisque Raymond Poincaré, premier ministre puis président de la France pendant la première guerre mondiale, n'était autre que son cousin. A l'âge de cinq ans, la diphtérie le contraint à l'immobilisme pendant plusieurs mois, ce qui le marquera à vie. Pendant cette période, c'est sa mère qui s'occupe de son éducation. Il entre au lycée Impérial à Nancy (qui porte aujourd'hui son nom) en 1862 et il y passera onze ans. C'est un excellent élève dans toutes les matières, sauf en éducation physique et en arts plastiques. En 1871, il passe le bac littéraire, qu'il obtient avec la mention Bien, puis le bac scientifique, obtenu avec " seulement " la mention Assez Bien à cause d'un zéro…en maths ! Il se relève très vite de ce faux pas en obtenant le Prix d'honneur du Concours général en 1872. Après deux ans de classes préparatoires, il est admis en tant que major de promotion à l'Ecole Polytechnique en 1873. Pendant cette période, il essaie d'apprendre le piano, sans grand succès, ce qui est un de ses rares échecs, avec le sport. Il lit beaucoup de textes scientifiques et possède une mémoire remarquable. Il sort second de l'école en 1875, puis poursuit ses études à l'Ecole des Mines où il finit troisième en 1878. Sous la direction de Charles Hermite, il prépare ensuite sa thèse de Doctorat qu'il soutient en 1879. Son sujet concerne les équations différentielles. Bien que son jury soit dans un premier temps critique : " L'auteur n'est pas capable d'exprimer ses idées d'une façon claire et simple ." [1], il reconnaît ensuite la valeur de son travail " Néanmoins, considérant la grande difficulté du sujet et le talent démontré, la Faculté décerne à Mr Poincaré le titre de docteur avec toutes ses félicitations. "[1]. Juste après son doctorat, il obtient un premier poste de chargé de cours à Caen, où il reste deux ans, puis un poste de maître de conférences à la faculté des Sciences de Paris, avec l'appui d'Hermite. Sa façon d'enseigner est alors qualifiée de " confuse ". Il se marie avec Mlle Poulain d'Andecy en 1881. En 1886, la chaire de Physique mathématique et de Probabilité de la Sorbonne lui est confiée, suivie de celle de Mécanique céleste en 1896, qu'il tiendra jusqu'à la fin de sa vie, en 1912. Il enseignera également à l'Ecole Polytechnique.

Avant de dresser la liste impressionnante de ses contributions aux mathématiques et à d'autres sciences, il est intéressant de savoir comment pensait et travaillait Poincaré. Il avait par exemple des horaires de travail bien définis, quatre heures par jour, de dix heures à midi le matin, puis de dix-sept à dix-neuf heures en fin d'après-midi, la soirée étant réservée à la lecture d'articles. De plus, il tendait toujours à développer son travail à partir de principes de base, et non à le construire à partir de résultats élaborés : "Une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison." [2] C'est une façon de procéder qu'il utilisait non seulement pour la recherche, mais aussi pour préparer ses cours ou ses livres. " Il ne fait pas de plan quand il écrit un papier. Il commence normalement sans savoir où il finira. Commencer est généralement facile. Le travail semble alors le conduire sans qu'il fasse d'efforts. A ce moment, il est très difficile de le déconcentrer. Quand il cherche, il écrit souvent une formule de façon automatique pour éveiller certaines associations d'idées. Si le début est difficile, il n'insiste pas et abandonne le travail. "[3] Il attendait ensuite que les solutions du problème surgissent quand il arrêterait de se concentrer dessus. " Il suppose que son inconscient continue le travail de réflexion. Arrêter de réfléchir est difficile s'il n'y a pas de distraction assez forte[…]. Pour cette raison, Poincaré ne travaille pas sur des sujets importants le soir pour ne pas troubler son sommeil. "[3]

Revenons à présent aux découvertes que Poincaré a faites avec cette méthode de travail. Il était intéressé par de nombreux aspects des sciences et a ainsi contribué à diverses branches des mathématiques, comme nous l'avons déjà dit, mais aussi à la mécanique céleste, à la mécanique des fluides, à la théorie de la relativité et à la philosophie des sciences. Ses larges connaissances lui permettaient d'attaquer les problèmes sous différents angles. Ses premiers travaux, avant l'âge de trente ans, concernent les fonctions automorphes ou fuchsiennes. Ce concept était en rapport indirect avec son travail de thèse, dont il cherchait à généraliser les résultats. Il raconte, dans " Science et Méthode " (1908), que l'idée clé lui est venue en posant le pied sur la marche d'un bus dans lequel il s'apprêtait à monter ! En 1889, il recoit un prix, initié en 1887 par Oscar II, roi de Suède et de Norvège, en prévision de son soixantième anniversaire. Il fut ainsi récompensé pour son mémoire concernant le problème à trois corps en mécanique céleste. Dans ce mémoire, il donne la première description des points homocliniques, la première description mathématique du mouvement chaotique et est le premier à utiliser largement la notion d'invariant intégral. Cependant, au moment de sa publication, une erreur fut découverte : les recherches menées par Poincaré pour la résoudre donneront naissance à la théorie du chaos. Une version révisée du mémoire est finalement parue un an plus tard. A partir de 1894, il publie six articles qui fondent la topologie algébrique : pendant les quarante années qui suivirent, ces résultats servirent de base et de référence aux chercheurs. La conjecture de Poincaré est d'ailleurs toujours un problème ouvert de nos jours. Poincaré est également considéré comme le fondateur de la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, à laquelle il fit sa première contribution en 1893. Entre 1892 et 1899 paraît son ouvrage en trois volumes, " Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste ", qui annonce également les théories modernes sur le chaos et les systèmes dynamiques, développées seulement à partir des années 60. D'autre part, les propriétés du groupe de Poincaré-Lorentz ont conduit en 1905 à l'article d'Einstein sur la relativité restreinte. On peut ajouter pour finir avec cette liste non-exhaustive ( !) qu'il contribua à la théorie des nombres en travaillant sur les équations diophantiennes (1901) et qu'il aborda également le domaine de la géométrie algébrique à la fin de sa vie.

C'est au début du vingtième siècle qu'il publie ses ouvrages populaires sur la science : " La Science et l'Hypothèse " (1901), " La valeur de la science " (1905) et " Science et Méthode " (1908). Il évoque alors l'importance du rôle que jouent pour lui la logique et l'intuition dans la recherche mathématique. " C'est par la logique que nous prouvons, c'est par l'intuition que nous inventons. "[4] " Pour faire de la géométrie[…]quelque chose d'autre que la logique pure est nécessaire. Pour décrire ce quelque chose, nous n'avons pas d'autre mot qu' 'intuition' ."[4] Il était contre une " axiomatisation " systématique des mathématiques, prônée par d'autres mathématiciens, comme Russell par exemple. Poincaré a reçu les plus grands honneurs pour ses contributions de génie. Il fut élu à l'Académie des Sciences en 1887 et en 1906, fut élu Président de cette même Académie. L'étendue des ses recherches a fait de lui le seul membre à avoir été élu dans chacune des cinq sections de l'Académie (géométrie, mécanique, physique, géographie et navigation ( ?)) . Il fut également élu successivement membre, puis directeur l'année de sa mort, de l'Académie française, fait Chevalier de la légion d'Honneur et récompensé par de nombreux prix et médailles venant du monde entier. Il est mort à Paris, le 17 juillet 1912.

Références :

[1] Insights of genius : Imagery and creativity in science and art, A.I. Miller (1996)

[2] La science et l'hypothèse, H. Poincaré (1901)

[3] Henri Poincaré, E. Toulouse (1910)

[4] Définitions mathématiques dans l'éducation, H. Poincaré (1904)

Quelques liens :

Sur le site de l'Université Henri Poincaré de Nancy, ville natale du savant, on trouve quelques pages qui lui sont consacrées, dont une chronologie des événements ayant marqué sa vie (pour les paresseux qui n'auraient pas le courage de lire sa biographie…) ainsi qu'une belle galerie de photos.

http://uhp.u-nancy.fr/~riess/poincare/

Le magazine Pour la Science a consacré le numéro 4 de la série " Les Génies de la Science " à Poincaré. On retrouve sur le site web des extraits de ce numéro (que l'on peut commander), ainsi qu'une bibliographie bien documentée, à l'adresse suivante

http://www2.pourlascience.com/genies-de-la-science/poincare/poincare.htm

Pour ceux qui ne sont pas allergiques à l'anglais, sans doute les pages les plus complètes, sur lesquelles on trouve de nombreuses informations, dont une large bibliographie (199 références, en anglais et en français) concernant Poincaré. A consulter également pour tous les autres mathématiciens.

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html

Toujours en anglais, " The Internet Encyclopedia of Philosophy " : l'article consacré à Poincaré y est très complet, avec un résumé de sa vie et de son œuvre. Un paragraphe est concerné au problème des trois corps et les autres expliquent de façon très abordable les idées philosophiques de Poincaré.

http://www.utm.edu/research/iep/p/poincare.htm

Enfin, un peu plus technique, un site qui nous donne une " approche pédagogique du chaos ", basée sur des exemples simples de suites, qui permettent de mettre en évidence les notions de diagramme de bifurcation et de bassins d'attraction.

http://www.ac-nancy-metz.fr/pres-etab/poinca_h/htm/henrimth.htm