A l'origine de cet article il y a un certain malaise que j'ai éprouvé(et je ne dois pas être
le seul) en constatant que
la définition d'élément premier d'un acui,qui est censée généraliser celle d'entier premier
dans , fluctuait suivant les auteurs avec des propositions qui n'étaient pas toujours
logiquement équivalentes.
Ceci m'a amené à proposer
une définition ne faisant appel
qu'à l'inversibilité en partant du principe que ce qui caractérise un élément premier c'est le fait qu'il ne puisse
se factoriser en un produit de 2 facteurs que si l'un des facteurs est inversible et pas
l'autre.D'où le titre.
Par négation un élément non premier sera donc un élément pour lequel il existera une
factorisation en 2 facteurs inversibles( sera alors inversible) ou en 2 facteurs non
inversibles(on dira alors que est un élément composé).
La structure la plus générale où l'on puisse développer ces idées est celle de demi-goupe
multiplicatif abélien, comme x), pour disposer de la notion d'élément inversible.
On se retrouve ainsi dans le cadre naturel où s'est forgé le concept de nombre entier
premier.
Formalisons cela en considérant un demi-groupe abelien (,x) d'élément neutre 1.On notera
l'ensemble des éléments inversibles de (
) et
l'ensemble des éléments
premiers de obtenu grâce à l'une des 2 définitions équivalentes suivantes:
p premier
(I)
p premier
ou bien
C'est à dire que ne peut s'écrire comme produit de 2 facteurs que si l'un est
inversible et pas l'autre.
D'où par négation:
p non premier
et
On obtient ainsi une classification des éléments d'un demi-groupe abélien
multiplicatif:
Chaque élément d'un tel demi-groupe est soit premier,soit
inversible,soit composé(i.e.factorisable
en un produit de 2 éléments non inversibles) chaque cas excluant les deux autres.
On peut remarquer facilement que tout élément inversible n'est pas premier car il est
produit de 2 inversibles donc dans un groupe il n'y a pas d'éléments
premiers.
Un carré n'est jamais premier car suivant que est inversible ou pas
est le produit de 2 inversibles ou de 2 non inversibles.
D'autre part dans le cas du demi-groupe (A,x) d'un acui A
l'élément 0 n'est pas premier car il est produit de 2 non inversibles .
Donc 0 est même un élément composé.
Si A est un acu on pourra bien sûr appliquer cette définition au demi-groupe
abelien (A,x) i.e. hors intégrité de l'anneau.
suivant:DEFINITIONS CONSENSUELLES monter:LA QUINTESSENCE DE LA précédent:NOTATIONS
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