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Théorème de Cantor-Bernstein

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INTRODUCTION

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INTRODUCTION

A l'origine de cet article il y a un certain malaise que j'ai éprouvé(et je ne dois pas être le seul) en constatant que la définition d'élément premier d'un acui,qui est censée généraliser celle d'entier premier dans $\mathbb{N}$ , fluctuait suivant les auteurs avec des propositions qui n'étaient pas toujours logiquement équivalentes. Ceci m'a amené à proposer
une définition ne faisant appel qu'à l'inversibilité
en partant du principe que ce qui caractérise un élément premier c'est le fait qu'il ne puisse se factoriser en un produit de 2 facteurs que si l'un des facteurs est inversible et pas l'autre.D'où le titre.
Par négation un élément non premier

sera donc un élément pour lequel il existera une factorisation en 2 facteurs inversibles(

sera alors inversible) ou en 2 facteurs non inversibles(on dira alors que

est un élément composé). La structure la plus générale où l'on puisse développer ces idées est celle de demi-goupe multiplicatif abélien, comme $(\mathbb{N},$ x), pour disposer de la notion d'élément inversible. On se retrouve ainsi dans le cadre naturel où s'est forgé le concept de nombre entier premier. Formalisons cela en considérant un demi-groupe abelien (

,x) d'élément neutre 1.On notera $\mathcal{U}$ l'ensemble des éléments inversibles de

( $1\in \mathcal{U}$ ) et $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des éléments
premiers de

obtenu grâce à l'une des 2 définitions équivalentes suivantes:
$\forall p\in E\quad$ p premier $\Longleftrightarrow \forall (a,b)\in E^2\quad p=ab \Rightarrow (a,b)\notin \mathcal{U}^2\bigcup (E\backslash\mathcal{U})^2$ (I)
$\forall p\in E\quad$ p premier $\Longleftrightarrow \forall (a,b)\in E^2\quad p=ab \Rightarrow a$ ou bien $b\in \mathcal{U}$
C'est à dire que

ne peut s'écrire comme produit de 2 facteurs que si l'un est inversible et pas l'autre.
D'où par négation:
$\forall p\in E\quad$ p non premier $\Longleftrightarrow \exists (a,b)\in E^2\quad p=ab$ et $(a,b)\in \mathcal{U}^2\bigcup (E\backslash \mathcal{U})^2$
On obtient ainsi une classification des éléments d'un demi-groupe abélien multiplicatif:
Chaque élément d'un tel demi-groupe est soit premier,soit inversible,soit composé(i.e.factorisable en un produit de 2 éléments non inversibles) chaque cas excluant les deux autres.
On peut remarquer facilement que tout élément inversible

n'est pas premier car il est produit de 2 inversibles $x=x.1\quad$ donc dans un groupe il n'y a pas d'éléments premiers.
Un carré

n'est jamais premier car suivant que

est inversible ou pas

est le produit de 2 inversibles ou de 2 non inversibles.
D'autre part dans le cas du demi-groupe (A,x) d'un acui A l'élément 0 n'est pas premier car il est produit de 2 non inversibles

. Donc 0 est même un élément composé.
Si A est un acu on pourra bien sûr appliquer cette définition au demi-groupe abelien (A,x) i.e. hors intégrité de l'anneau.