Montrons que (III)
(IV)
(III)
(IV)
On utilisera les équivalences suivantes qui caractérisent un idéal(principal)premier:
idéal premier
est intègre
et
ou
D'abord
(sinon
ce qui contredirait (III))
Ensuite
d'où d'après (III) ou
c'est à dire ou et ainsi (IV) est bien vérifié.
(IV)
(III)
D'abord
(sinon
ce qui contredirait
(IV))
Ensuite
d'où d'après (IV) ou c'est à dire
ou et ainsi (III) est bien vérifié.
En définissant un élément premier d'un acui grâce à l'une des 2 propositions
équivalentes(III) ou (IV) on aurait l'inconvénient que soit premier.
En effet
est un idéal premier vu que qui est intègre.Des lors (III)
(II) car pour (III) est vraie alors que (II) est fausse.Et même si on
ajoutait à (III)
l'équivalence avec (II) serait encore fausse.
(II)
est un idéal premier non nul.
On peut s'en convaincre avec l'acui
.Il est facile de montrer qu'avec (II) est vraie.
En posant
il est immédiat que
d'où si
avec
ce qui entraîne
.Les inversibles de
sont donc 1 et -1 soit
.
et
De plus
Or
et
et
et ce qui est impossible dans .
Enfin
et
d'où avec l'égalité souslignée
On a donc prouvé l'inclusion:
et
comme l'inclusion contraire est immédiate (II) est bien vraie avec p=3.
Pourtant
est
un idéal non nul qui n'est pas premier vu que
bien que ni
,ni
compte tenu que
ce qui est
impossible dans
et idem avec .
Le but recherché étant de trouver une définition générale d'un élément premier valable aussi bien pour
les entiers naturels que pour les éléments d'un acui quelconque il reste la proposition (II) et on
remarque qu'elle est équivalente à la proposition (I) proposée dans l'introduction.
et
et
(II)
(I)
Montrons que (II) (I)
(II)
(I)
et
alors
.Sinon on aurait
ce qui contredirait (II)
On a aussi
Sinon et
et comme et
on aurait donc et
soit
puis
et
enfin comme est intègre et
On aurait donc
ce qui contredirait (II).
Finalement (I) est vérifiée.
(I)
(II)
sinon avec
ce qui contredirait (I).
sinon avec
ce qui contredirait (I).
En effet
d'où d'après (I)
.
D'autre part on a l'alternative:
ou bien
et alors
ou bien
et alors
sinon
ce qui contredirait (I).
Donc il existe tel que d'où
et
vu que
Par conséquent
Finalement l'inclusion annoncée est prouvée et comme l'inclusion contraire est immédiate on
a montré que (II) est vérifiée ce qui termine la preuve de l'équivalence annoncée.
Malgré l'équivalence des propositions (II) et (I) dans un acui,où l'intégrité a été utilisée,
on peut remarquer que (II)
fait référence à la structure d'anneau à cause de qui y figure alors que ce n'est pas
le cas de (I) qui se réfère seulement à un demi-groupe abélien multiplicatif.
On pourrait aussi définir un élément premier ,hors intégrité ,dans un acu grâce à (I) mais on perdrait la
règle des degrés deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) pour P et Q non nuls qui découle de l'intégrité or
cette règle est fondamentale pour l'arithmétique dans les anneaux de polynômes
.
Il semble dès lors raisonnable de définir un élément premier dans un acui avec la proposition
(II) ou la (I) c'est le choix fait dans ce qui suit.
Montrons qu'avec la proposition (I) on retrouve les caractérisations usuelles des éléments
premiers dans
et dans les demi-groupes multiplicatifs d'anneaux(acui)classiques
comme , et
avec et un acui , éventuellement un corps.
Ici je préfère dire polynôme premier que polynôme irréductible qui pourrait faire
référence à la notion d'élément irréductible d'un acui dont je préfère ne pas
parler ici , même si ,pour les 2 notions coïncident sur un acui factoriel( page 50).
Dans
il n'y a qu'un inversible:1 donc
.
La définition élémentaire pour qu'un entier soit premier est:
.
Montrons que pour
ou bien est inversible
i.e. ou bien est égal à 1
On a
d'où
et donc .
Si on a alors et
ou et alors
par conséquent ou bien est bien inversible.
ou et alors ensuite même raisonnement.
Si
alors il existe b tel que d'où ou bien
est inversible i.e. ou bien est égal à 1.
Soit et soit et .Les seuls diviseurs de p sont
donc:1 et et comme (sinon ,p serait produit de 2
inversibles)on a bien
.
Il est facile de montrer que
Pour simplifier ,
sera noté , c'est l'anneau des polynômes
à coéfficients dans un acui en les indéterminées
où
Avec la règle des degrés il est immédiat que les inversibles de sont les
inversibles de .
On rappelle qu'un polynôme de sera dit primitif si et seulement si ses coéfficients
ne sont divisibles que par les inversibles de avec la convention que le polynôme nul
n'a que le coéfficient 0.Par conséquent le polynôme nul n'est pas primitif car et o n'est
pas inversible.
Il est clair qu'un polynôme dont l'un des coéfficients est inversible comme 1 ou -1 est
primitif.
Il est aussi clair qu'un polynôme non nul à coéfficients dans un corps
est primitif car il admet un coéfficient et un diviseur de ce
polynôme divisera donc et par suite est inversible.
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