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Les premiers de $A[X_i] $sont:

soit les polynômes constants quand la constante est un élément premier de $A$.
Soit les polynômes non constants,primitifs et ne pouvant s'écrire comme produit de 2 polynômes non constants. $deg(P)=0\quad$et $P\in \mathcal{P}(A)$
$P\in \mathcal{P}(A[X_i])\Leftrightarrow \Bigg\vert\quad$ ou bien
$deq(P)\geq 1 , P $est primitif et $P=QR\Rightarrow
\mbox{deg(Q) ou bien deg(R)=0}$
$(\Longrightarrow ?)$
$P\quad$étant premier,$P\neq 0\quad$et donc $P\quad$ admet un degré.
Si $deg(P)=0$ alors $P\in A\quad$et si on a $P=QR\quad$dans $A\quad$comme $A\subset A[X_i]\quad$ on a aussi $P=QR\quad$ dans $A[X_i]\quad$ or $P\in \mathcal{P}(A[X_i])\quad$donc $Q\quad$ ou bien $R\quad$ est inversible dans $A[X_i]\quad$et par suite dans $A\quad$ce qui assure la primalité de $P\quad$dans $A$.
Si $deg(P)\geq 1$ alors $P\quad$est primitif.En effet soit $D\in A\quad$un diviseur de $P$.On a alors $P=DQ\quad$dans $A[X_i]\quad$ avec $deg(Q)=deg(P)\geq 1\quad$d'où $Q\quad$n'est pas inversible et par conséquent $D\quad$est inversible sinon $P\quad$serait produit de 2 non inversibles ce qui contredirait sa primalité.
De plus si on a $P=QR\quad$dans $A[X_i]\quad$et comme $P\in \mathcal{P}(A[X_i])\quad
Q\quad$ou bien $R\quad$est inversible donc $deg(Q)\quad$ ou bien $deg(R)=0$
$(\Longleftarrow ?)$
Si $deg(P)=0 $et $P\in \mathcal{P}(A)\quad$on a $P\neq 0$
soit $P=QR\quad$dans $A[X_i]\quad$alors $Q\neq 0\quad$et $R\neq 0\quad$d'où $Q\;$et $R\quad$ ont un degré et comme $deg(P)=deg(Q)+deg(R)\quad$on a $deg(Q)=deg(R)=0\quad$et donc $Q $et $R\in A$.Or $P\in \mathcal{P}(A)\quad$d'où $Q $ou bien $R\quad$est inversible dans $A\quad$et donc dans $A[X_i]\quad$ainsi on a bien $P\in \mathcal{P}(A[X_i]$.
Si $deg(P)\geq 1$, $P\quad$est primitif et $P=QR\Longrightarrow
deg(Q) $ou bien$ deg(R)=0$
soit $P=QR\quad$dans $A[X_i]\quad$on a par hypothèse $deg(Q) $ou bien $\mbox{deg(R)=0\quad}$
par exemple $deg(Q)=0$ d'où $deg(R)\geq 1\quad$et ainsi $R\quad$n'est pas inversible.De plus la constante $Q\quad$divise le polynôme primitif $P\quad$ donc $Q\quad$est inversible ce qui prouve bien que $P\in \mathcal{P}(A[X_i])$.
Exemples:les polynômes primitifs de degré 1 sont premiers(c'est clair)comme:
$P=-3X+5Y+2Z\quad$avec $A=\mathbb{Z}$
Par contre $P=5X-10Y+15Z\quad$est de degré 1 mais n'est pas premier car il n'est pas primitif vu que $5\vert P $et 5 n'est pas inversible dans $\mathbb{Z}$.

Traitons maintenant le cas particulier des polynômes à coéfficients dans un corps commutatif $K$.
Un élément de $K\quad$est soit 0 donc non premier soit inversible donc non premier aussi et par conséquent $\mathcal{P}(K)=\emptyset$.
De plus $\forall P\in K[X_i]\quad$avec $ deg(P)\geq 1\quad P$est primitif d'où l'équivalence précédente devient:

$P\in \mathcal{P}(K[X_i])\Longleftrightarrow deg(P)\geq 1\quad$et $P=QR\Longrightarrow
deg(Q) $ou bien $deg(R)=0$

Exemples:les polynômes de degré 1 à une ou plusieurs indéterminées et à coéfficients dans un corps sont premiers. Comme application de la classification des éléments d'un demi-groupe abélien multiplicatif et pour terminer donnons une caractérisation des corps parmi les acui n\oethériens:
"pour qu' un acui n\oethérien soit un corps il faut et il suffit qu'il n'ait pas d'élément premier."
Autrement dit pour un acui n\oethérien $A$:
A est un corps $\Longleftrightarrow \mathcal{P}(A)=\emptyset$
On a déjà remarqué que si $A\quad$est un corps alors $\mathcal{P}(A)=\emptyset$. Il reste donc à montrer que si $A\quad$est un acui n\oethérien et $\mathcal{P}(A)=
\emptyset\quad$alors $A\quad$est un corps.
$A\quad$est intègre donc par définition $A\neq \{0\}\quad$dès lors on peut choisir un élément non nul $a_0\in A$ et en raisonnant par l'absurde on va montrer que $a_0\quad$est inversible.
En effet si $a_0\quad$n'était pas inversible comme il n'est pas premier ( $\mathcal{P}(A)=\emptyset)\quad$ il serait composé donc il s'écrirait $a_0=a_1b_1\quad$avec $a_1  $et$ b_1 $ non inversibles d'où $a_0A\subset a_1A.$ on pourrait alors recommencer avec $a_1  $à la place de $a_0$
soit $ a_1=a_2b_2\quad$ avec $a_2 $et$b_2 $non inversibles d'où $a_1A\subset a_2A$ etc...
A chaque étape on obtiendrait un élément $a_k\quad$non inversible et non premier donc il serait composé et pourrait s'écrire $a_k=a_{k+1}b_{k+1}\quad$avec $a_{k+1}\quad$et $b_{k+1}\quad$ non inversibles et bien sûr $a_kA\subset a_{k+1}A\quad$.
On construirait ainsi une suite croissante d'idéaux qui serait stationnaire à partir d'un certain rang $n\quad$vu que $A\quad$est n\oethérien; par conséquent
$a_nA=a_{n+1}A\quad$ d'où il existerait $x\in A\quad$tel que $a_{n+1}=a_nx\quad$et comme par construction $a_n=a_{n+1}b_{n+1}\quad$on aurait
$a_n=a_nxb_{n+1}\quad$ puis
$a_n(1-xb_{n+1})=0$
De plus comme on aurait $a_0A\subset a_kA\quad$ pour tout entier $k\quad$on aurait $a_n\neq0\quad$(sinon $a_0A\subset0A=\{0\} $ et donc $a_0=0 $et la contradiction) or $A\quad$est intègre d'où $1-xb_{n+1}=0\quad$ et enfin $1=xb_{n+1}\quad$ d'où $b_{n+1}\quad$serait inversible et la contradiction .Finalement $A $est bien un corps.
Par conséquent un acui n\oethérien autre qu'un corps admet au moins un élément premier.On peut alors montrer que tout élément ni nul ni inversible admet une décomposition primaire qui n'est pas unique en général en s'inspirant de de la méthode précédente.
La propriété précédente permet aussi de prouver qu'un acui n'est pas n\oetherien.En effet un acui autre qu'un corps qui n'a pas d'élément premier n'est pas n\oetherien. Exemple: l'anneau $\widehat{\mathbb{Z}}\quad$ des entiers algébriques sur $\mathbb{C}$.
Preuve:
D'abord $\widehat{\mathbb{Z}} $ est un acui(bien connu) mais ce n'est pas un corps, sinon ,comme l'intersection de 2 corps est un corps on aurait $\widehat{\mathbb{Z}}\bigcap\mathbb{Q}$ qui serait un corps or $\widehat{\mathbb{Z}}\bigcap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$.
En effet soit la fraction irréductible $\frac{p}{q}\in
\widehat{\mathbb{Z}}\bigcap\mathbb{Q}.$Il existe donc un polynôme unitaire $P\in
\mathbb{Z}[X]\quad$de degré $\geq 1 $ tel que $P(\frac{p}{q})=0.\ $D'où,avec des notations évidentes
$a_0+a_1\frac{p}{q}+a_2(\frac{p}{q})^2+...+a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1}+(\frac{p}{q})
^n=0$.Après multiplication par $q^n $on obtient:
$a_0q^n+a_1pq^{n-1}+a_2p^2q^{n-2}+...a_{n-1}p^{n-1}q+p^n=0$
Dès lors $q $divise $p^n $et en appliquant le théorème de GAUSS à répétition
comme $p\land q=1 $ on a $q\vert p^n\Longrightarrow q\vert p^{n-1}\Longrightarrow
q\vert p^{n-2}...\Longrightarrow q\vert p \Longrightarrow \frac{p}{q}\in \mathbb{Z}\quad$ ce qui prouve une inclusion,l'autre étant évidente.
$\widehat{\mathbb{Z}} $ n'est donc pas un corps.
De plus $\mathcal{P}(\widehat{\mathbb{Z}})=\emptyset $ sinon soit $p\in \mathcal{P}(\widehat{\mathbb{Z}}) $comme $p\in \widehat{\mathbb{Z}} $ il existerait $P\in \mathbb{Z}[X] $unitaire et de degré $\geq 1 $ tel que $P(p)=0$ d'où avec les notations précédentes $a_0+a_1p+a_2p^2+...a_{n-1}p^{n-1}+p^n=0.$
Or dans $\mathbb{C} $ tout complexe est un carré d'où $p=q^2\;$ avec $q\in\mathbb{C}.$
On aurait donc $a_0+a_1q^2+a_2q^4+...a_{n-1}q^{2n-2}+q^{2n}=0 $ par conséquent $q\in
\widehat{\mathbb{Z}}$ et finalement $p $serait un carré dans $\widehat{\mathbb{Z}}$ donc ne pourrait être premier d'où la contradiction.
$\widehat{\mathbb{Z}} $est un bon exemple d'acui sans éléments premiers qui n'est ni n\oethérien ni bien sûr factoriel.
J'espère avoir convaincu le lecteur de l'intérêt d'utiliser la proposition (I) pour définir les éléments premiers et de l'intérêt de la classification des éléments d'un demi-groupe abélien multplicatif qui s'y rapporte car ce sont des facteurs de clarté et de simplification des preuves en arithmétique élémentaire ou plus élaborée.
Pour me contacter $\leadsto $guyphilippe@les-mathematiques.net
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Guy_Philippe_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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