soit les polynômes constants quand la constante est un élément premier de .
Soit les polynômes non constants,primitifs et ne pouvant s'écrire comme produit de 2 polynômes
non constants.
et
ou bien
est primitif et
étant premier,et donc admet un degré.
Si alors et si on a dans comme
on a aussi dans or
donc ou bien est inversible dans
et par suite dans ce qui assure la primalité de dans
.
Si alors est primitif.En effet soit un
diviseur de .On a alors dans avec
d'où n'est pas inversible et par conséquent
est inversible sinon serait produit de 2 non inversibles ce qui
contredirait sa primalité.
De plus si on a dans et comme
ou bien est inversible donc ou bien Si et
on a
soit dans alors et d'où
et ont un degré et comme
on a
et donc et .Or
d'où ou bien
est inversible dans et donc dans ainsi on a bien
.
Si , est primitif et
ou bien
soit dans on a par hypothèse ou bien
par exemple
d'où
et ainsi n'est pas inversible.De plus la constante
divise le polynôme primitif donc est inversible ce qui
prouve bien que
.
Exemples:les polynômes primitifs de degré 1 sont premiers(c'est clair)comme:
avec
Par contre
est de degré 1 mais n'est pas premier car il n'est
pas primitif vu que et 5 n'est pas inversible dans .
Traitons maintenant le cas particulier des polynômes à coéfficients dans un corps
commutatif .
Un élément de est soit 0 donc non premier soit inversible donc non premier
aussi et par conséquent
.
De plus
avec
est primitif d'où l'équivalence précédente
devient:
et
ou bien
Exemples:les polynômes de degré 1 à une ou plusieurs indéterminées et à coéfficients dans un corps sont premiers.
Comme application de la classification des éléments d'un demi-groupe abélien
multiplicatif et pour terminer donnons une caractérisation des corps parmi les acui nthériens:
"pour qu' un acui nthérien soit un corps il faut et il suffit qu'il n'ait pas
d'élément premier."
Autrement dit pour un acui nthérien :
A est un corps
On a déjà remarqué que si est un corps alors
.
Il reste donc à montrer que si est un acui nthérien et
alors est un corps.
est intègre donc par définition
dès lors on peut choisir
un élément non nul et en raisonnant par l'absurde on va montrer
que est inversible.
En effet si n'était pas inversible comme il n'est pas premier
(
il serait composé donc il s'écrirait
avec et non inversibles d'où
on pourrait alors recommencer avec à la place de
soit
avec etnon inversibles d'où
etc...
A chaque étape on obtiendrait un élément non inversible et non premier donc
il serait composé et pourrait s'écrire
avec et
non inversibles et bien sûr
.
On construirait ainsi une suite croissante d'idéaux qui serait stationnaire à
partir d'un certain rang vu que est nthérien; par conséquent
d'où il existerait tel que
et comme
par construction
on aurait
puis
De plus comme on aurait
pour tout entier on aurait
(sinon
et donc
et la contradiction) or est intègre d'où
et enfin
d'où serait inversible et la contradiction
.Finalement est bien un corps.
Par conséquent un acui nthérien autre qu'un corps admet au moins un élément
premier.On peut alors montrer que tout élément ni nul ni inversible admet une
décomposition primaire qui n'est pas unique en général en s'inspirant de de la méthode précédente.
La propriété précédente permet aussi de prouver qu'un acui n'est pas ntherien.En effet un acui autre qu'un corps qui n'a pas d'élément premier n'est pas ntherien.
Exemple: l'anneau
des entiers algébriques sur .
Preuve:
D'abord
est un acui(bien connu) mais ce n'est pas un
corps, sinon ,comme l'intersection de 2 corps est un corps on aurait
qui serait un corps or
.
En effet soit la fraction irréductible
Il existe donc un polynôme unitaire
de degré tel que
D'où,avec des notations évidentes
.Après multiplication par on obtient:
Dès lors divise et en appliquant le théorème de GAUSS à répétition
comme on a
ce qui prouve une inclusion,l'autre étant évidente.
n'est donc pas un corps.
De plus
sinon soit
comme
il existerait
unitaire et de degré tel que
d'où avec les notations précédentes
Or dans tout complexe est un carré d'où avec
On aurait donc
par conséquent
et finalement serait un carré
dans
donc ne pourrait être premier d'où la
contradiction.
est un bon exemple d'acui sans éléments premiers qui
n'est ni nthérien ni bien sûr factoriel.
J'espère avoir convaincu le lecteur de l'intérêt d'utiliser la proposition (I) pour
définir les éléments premiers et de l'intérêt de la classification des éléments d'un demi-groupe
abélien multplicatif qui s'y rapporte car ce sont des facteurs de clarté et de
simplification des preuves en arithmétique élémentaire ou plus élaborée.
Pour me contacter guyphilippe@les-mathematiques.net
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Guy_Philippe_pour_les-mathematiques