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Théorème des contenus:

Pour tous polynômes $ P$ et $ Q$ NON NULS de $ Q_A[X]$ on a $ C_{PQ}=C_PC_Q$

En effet posons $ C_P=\frac{a}{b},C_Q=\frac{c}{d}$ et $ C_{PQ}=\frac{e}{f}$ avec $ P=C_PP',Q=C_QQ'$ et $ PQ=C_{PQ}R'$$ P',Q',R'$ sont primitifs dans $ A[X]$.
On a $ PQ=C_{PQ}R'=C_PP'C_QQ'$ ou $ C_{PQ}R'=C_PC_QP'Q'$ d'où d'après le lemme Gauss et la proposition 18 $ \exists \epsilon\in A^*\quad C_{PQ}=\epsilon C_PC_Q$ ce qui donne
$ \frac{e}{f}=\epsilon\frac{a}{b}\frac{c}{d}$ d'où $ ebd=\epsilon acf$ et vu que $ a,b,c,d,e,f$ sont simples
$ \varphi(ebd)=\varphi(\epsilon acf)$ soit $ \varphi(e)\varphi(b)\varphi(d)=\varphi(\epsilon)\varphi(a)\varphi(c)
\varphi(f)$ puis $ 1=\varphi(\epsilon)$ et enfin $ \epsilon=1$ d'où le résultat annoncé qui se généralise bien sûr pour 3 polynômes ou plus.

Proposition
19:valable dans un acui $ A$ quelconque, hors factorialité.
"Les premiers constants de $ A[X_i]$ sont les premiers de $ A$"
$ P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ et $ deg(P)=0 \iff P\in \mathcal{P}(A)$
Démonstration
$ (\Leftarrow?)$
En effet soit $ P\in \mathcal{P}(A)$ et $ P=QR$ dans $ A[X_i]$.Comme $ P\neq0$ on a $ Q\neq0
$ et $ R\neq0$ d'où $ deg(P)=deg(Q)+deg(R)=0 \Longrightarrow Q$ et $ R\in A$
or $ P\in \mathcal{P}(A)$ et par conséquent $ Q$ ou bien $ R\in A^*=(A[X_i])^*$ soit $ P\in \mathcal{P}(A[X_i])$.
$ (\Longrightarrow ?)$
Soit $ P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ et $ deg(P)=0$ donc $ P\in A$.Soit $ P=QR$ dans $ A$ donc dans $ A[X_i]$ comme $ P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ on en déduit que $ Q$ ou bien $ R\in
A[X_i]^*=A^*$ donc on a bien $ P\in \mathcal{P}(A)$.
Proposition
20:"Pour tout polynôme non constant et primitif de $ A[X]$ la primalité sur $ A$ revient à la primalité sur $ Q_A$."
Pour tout polynôme $ P$ primitif de $ A[X]$ avec $ deg(P)
\geq 1$ on a
$ P\in \mathcal{P}(A[X])\iff P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$
Démonstration
$ (\Longrightarrow ?)$
Soit $ P=QR$ dans $ Q_A[X]$.On a $ C_P=C_QC_R=1$ car $ P$ est primitif. d'où $ P=C_QC_RQ'R'=Q'R'$ avec $ Q'$ et $ R'\in A[X]$ or $ P\in \mathcal{P}(A[X])$ d'où $ Q'$ ou bien $ R'\in (A[X])^*=A^*$ par exemple $ Q'\in A^*$ donc $ Q=C_QQ'$ est un élémént non nul de $ Q_A$ donc un inversible de $ Q_A$ et de $ Q_A[X]$ alors que $ deg(R')=deg(R)\geq 1$ vu que $ deg(P)
\geq 1$ d'où $ R$ n'est pas inversible dans $ Q_A[X]$ et finalement $ P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$.
$ (\Longleftarrow ?)$
Soit $ P=QR$ dans $ A[X]$ donc aussi dans $ Q_A[X]$.Comme $ P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ on a $ Q$ ou bien $ R\in (Q_A[X])^*=Q_A\setminus \{0\}$ par exemple $ Q\in Q_A\setminus \{0\}$ donc $ deg(Q)=0$ soit $ Q\in A$ mais alors la constante $ Q$ divise $ P$ qui est primitif donc $ Q\in A^*=(A[X])^*$ i.e. $ Q$ est inversible dans $ A[X]$ alors que $ deg(R)\geq 1$ vu que $ deg(P)
\geq 1$ d'où $ R$ n'est pas inversible dans $ A[X]$ et finalement $ P\in \mathcal{P}(A[X])$.

Pour prouver que $ A[X]$ est un anneau factoriel définissons un système représentatif des premiers de $ A[X]$.On prend d'abord pour représentants des polynômes premiers constants ceux de $ S$,et pour les autres polynômes $ P$ avec $ deg(P)
\geq 1$, on choisit dans la classe $ \overline{P}$ des associés de $ P$ le polynôme ayant son coéfficient dominant simple.On obtient ainsi un ensemble $ T$ et alors $ S\cup T$ est le système désiré.
Existence d'une décomposition primaire dans $ A[X]$.
Soit un polynôme NON NUL $ P\in A[X]$.On a donc $ P\in Q_A[X]$ qui est un anneau euclidien vu que $ Q_A$ est un corps et donc un anneau principal(bien connu) dont le système représentatif des premiers est formé des polynômes premiers UNITAIRES.Ainsi $ P$ admet la décomposition primaire unique $ P=KP_1P_2...P_n$ dans $ Q_A[X]$ $ K\in Q_A\setminus \{0\}$ et les $ P_i$ sont premiers unitaires avec $ deg(P_i)\geq 1$.Or $ P_i=C_{P_i}P_i'$ avec $ P_i'\in A[X]$ primitif et donc $ P_i'\in\mathcal{P}(Q_A[X])$ vu que $ C_{P_i}\neq0$ et $ P_i\in\mathcal{P}(Q_A[X])$ implique $ \frac{1}{C_{P_i}}P_i
=P_i'\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ d'où en vertu de la proposition 20 $ P_i'\in \mathcal{P}(A[X])$.
On a donc $ C_PP'=KC_{P_1}C_{P_2}...C_{P_n}P_1'P_2'...P_n'$ d'où d'après la proposition 18 il existe $ \theta\in A^*$ tel que $ \theta C_P=
KC_{P_1}C_{P_2}...C_{P_n}$ avec $ C_P\in A$ vu que $ P\in A[X]$.D'où $ P=\theta C_{P}P_1'P_2'...P_n'$. Or pour tout $ i=1$ à $ n$ il existe $ \epsilon_i\in A^*$ tel que si on multiplie le coéfficient dominant de $ P_i'$ par $ \epsilon_i$ on obtient un élément simple soit $ \epsilon_iP_i'=P_i''\in T$.D'où $ P=\theta C_{P}(\prod_{i=1}^n\epsilon_i^{-1})P_1''P_2''...P_n''$. En posant $ a=\theta C_P(\prod_{i=1}^n\epsilon_i^{-1})\in A$ et en décomposant $ a$ dans $ A$ on obtient $ a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ et alors $ P=\epsilon_a(\prod_{p\in S}p^{\alpha_p})P_1''P_2''...P_n$ ce qui constitue une décomposition primaire de $ P$ relative à $ S\cup T$. Unicité de la décomposition primaire dans $ A[X]$.
Soit deux décompositions d'un même polynôme NON NUL de $ A[X]$
$ \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}P^{\beta_P}=$ $ \epsilon'\prod_{p\in S}p^{\alpha'_p}\prod_{P\in T}P^{\beta'_P}(2)$
Comme $ P\in T$ il premier dans $ A[X]$,avec $ deg(P)
\geq 1$ et son coéfficient dominant $ a_P$ est simple alors $ P$ est primitif(théorème de caractérisation des premiers de $ A[X_i]$$ A$ est un acui).D'après la proposition 20 on en déduit que $ P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ ainsi que $ \frac{1}{a_P}P\in
\mathcal{P}(Q_A[X])$ qui est est unitaire et qui est donc élément du système représentatif des premiers de $ Q_A[X]$.
En remplaçant partout $ P$ par $ a_P(\frac{1}{a_P}P)$ dans $ (2)$ on obtient:
$ \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}(\frac{1}{a_P}P)^...
...p^{\alpha_p^{'}}\prod_{P\in T}a_{P}^{\beta_P^{'}}(\frac{1}{a_P}P)^{\beta_P^{'}}$ puis
$ [\epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}]\prod_{P\in T}(...
...}\prod_{P\in T}a_{P}^{\beta_P^{'}}]\prod_{P\in T}(\frac{1}{a_P}P)^{\beta_P^{'}}$ et compte tenu de l'unicité de la décomposition primaire dans $ Q_A[X]$ on tire que les 2 scalaires entre crochets sont égaux et que $ \forall P\in T\quad \beta_P=\beta_P'$ soit:
$ \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}=
\epsilon'\prod_{p\in S}p^{\alpha'_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}$
Après simplification on obtient $ \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}=
\epsilon'\prod_{p\in S}p^{\alpha'_p}$ et vu l'unicité de la décomposition dans $ A$ on en tire $ \forall p\in S\quad \alpha_p=\alpha_p'$ et $ \epsilon=\epsilon'$.
Finalement on a bien l'unicité de la décomposition primaire dans $ A[X]$
relative à $ S\cup T$.L'application
$ A^*$x $ \mathbb{N}^{(S)}$x $ \mathbb{N}^{(T)}\ni (\epsilon,(\alpha_p)_{p\in S}),
(\beta_P)_{P\in T})\mapsto$ $ \epsilon \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in S}P^{\beta_P}
\in A[X]\setminus \{0\}$ est bijective.
Exemples:
$ \bullet \mathbb{Z}$ est un anneau factoriel et même plus car il est euclidien donc principal.
$ \mathbb{Z}^*=\{-1,1\}$ donc les classes d'associés ont 2 éléments opposés sauf
la classe de 0.On choisira comme système $ S$ représentatif des premiers de $ \mathbb{Z}$ les positifs soit $ S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$.Il est clair que l'application:
$ \mathbb{Z}^*$x $ \mathbb{N}^{(S)}\ni (\epsilon,
(\alpha_p)_{p\in S})\quad \mapsto \quad \epsilon \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\in
\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ est bijective.
Preuve en s'appuyant sur la décomposition primaire unique dans $ \mathbb{N}$.
Les éléments simples de $ \mathbb{Z}$ sont les positifs.
$ PGCD(0,0,-75,45,-60,0)=PGCD(0,0,-3.5^2,3^2.5,-2^2.3.5,0)=\\
3^{Min(1,2,1)}.5^{Min(2,1,1)}=3.5=15$
$ PPCM(39,-54,0,128)=0$
$ PPCM(-75,45,-60)=2^{Max(0,0,2)}.3^{Max(1,2,1)}.5^{Max(2,1,1)}=4.9.25=900$
$ \bullet \mathbb{Z}[X]$ est le "prototype" d'un anneau factoriel car il n'est pas principal.
$ (\mathbb{Z}[X])^*=\mathbb{Z}^*= \{-1,1\}$ donc les classes d'associés ont 2 éléments opposés sauf la classe de 0. On choisira comme système représentatif des premiers de $ \mathbb{Z}[X]$ l'ensemble $ S\cup T$$ S$ est le système repésentatif des premiers de $ \mathbb{Z}$ soit $ S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$et $ T$ est formé des premiers non constants dont le coéfficient dominant est simple i.e. positif.
Les éléments simples de $ \mathbb{Z}[X]$ sont les polynômes à coéfficient dominant $ >0$
Exemple de décomposition primaire dans $ \mathbb{Z}[X]$ :
$ P=-50x^3+70x^2-150x+210 =(-1)2.5(5x-7)(x^2+3)$.$ P$ n'est pas simple. Il est très remarquable que la factorialité d'un acui $ A$ se transmette à
l'anneau $ A[X]$ des polynômes à une indéterminée sur $ A$. D'où de proche en proche si $ A$ est factoriel $ A[X_1]$ est factoriel puis $ A[X_1,X_2]$ identifié à $ A[X_1][X_2]$ l'est aussi ...etc $ A[X_1,X_2,...X_n]$ est factoriel.
De plus,si $ A$ est un corps commutatif on sait que $ A[X]$ est un anneau euclidien donc principal et enfin factoriel(théorèmes classiques).
Ainsi tout anneau de polynômes $ A[X_i]$ à une ou plusieurs indéterminées et à coéfficients dans un anneau factoriel ou un corps commutatif $ A$ est un
anneau factoriel qui,on va le voir dans le théorème 6, ne pourra être un anneau principal que si $ A$ est un corps et s'il n'y a qu'une seule indéterminée.


Théorème
\fbox{ 6} $ A$ désignant un anneau factoriel ou un corps et $ X_1,X_2...X_n$ des indéterminées $ (n\geq 1)$
$ A[X_i]$ est principal $ \Longleftrightarrow A$ est un corps et n=1.
Démonstration
( $ \Longrightarrow ?)$
D'abord $ n=1$ sinon soit 2 indéterminées $ X_1$ et $ X_2$ qui sont aussi 2 polynômes premiers dans $ A[X_i]$ vu qu'ils sont primitifs et de degré 1;de plus ils ne sont pas associés donc ils sont premiers entre eux(théorème 5) d'où d'après le théorème de Bézout il existerait 2 polynômes $ P$ et $ Q$ de $ A[X_i]$ tels que $ X_1P + X_2Q=1$ ce qui est impossible car $ X_1P + X_2Q$ n'a pas de terme constant donc on a bien $ n=1$.
Il reste à montrer que si $ A[X]$ est un anneau principal alors $ A$ est un corps.
En effet soit $ a\in A$ et $ a\neq0$ alors $ a$ et $ X$ sont premiers entre eux car un polynôme qui les divise est constant vu qu'il divise a et cette constante est inversible vu qu'elle divise $ X$.En appliquant Bézout il existe donc $ P$ et $ Q\in
A[X]$ tels que $ aP+XQ=1$ or $ XQ$ n'a pas de terme constant d'où si $ P=p_0+p_1X+...$ on a $ ap_0=1$ donc a est inversible.CQFD
( $ \Longleftarrow ?)$
Pour un corps $ K$ il est bien connu que $ K[X]$ est un anneau euclidien
montrons qu'alors il est principal. Soit $ I$ un idéal de $ K[X]$.
Il y a 3 cas à étudier:
1. $ I$ admet un polynome non constant (donc dans le cas contraire $ I$ ne sera formé que de polynômes constants d'où les cas 2. et 3.)
2. $ I$ n'a que le polynôme constant nul donc c'est bien un idéal principal
3. $ I$ contient un polynôme constant non nul:$ p$ alors $ \frac{1}{p} \in K$ et $ p.\frac{1}{p}=1 \in I$ d'où $ I=1.K[X]$ et $ I$ est bien un idéal principal.
Etude du cas 1.
Notons $ P\in I$ un polynôme non constant de degré minimum.
Alors $ \forall M\in I 
\quad\exists (Q,R)\in (K[X])^2 \qquad M=PQ +R$ avec $ R=0$ ou deg$ (R)<$deg$ (P)$. C'est la division d'Euclide de $ M$ par $ P$ d'où on tire $ R=0$ (sinon $ R=M-PQ \in I$ ce qui contredirait la minimalité du degré de P.)
Par conséquent $ M=PQ$ et donc $ I\subset P.K[X]$. L'inclusion contraire étant évidente on en tire que $ K[X]$ est bien principal.CQFDLe théorème de permanence de la factorialité,de Gauss,en le répètant éventuellement plusieurs fois, nous permet d'affirmer que si $ A$ est un anneau factoriel alors
$ A[X_1,X_2,...,X_n]$ est aussi factoriel pour tout $ n\geq 1$ d'où il existe un système représentatif des premiers(srdp en abrégé) de $ A[X_i]$ pour lequel il y a décomposition primaire unique.
Dès lors il est clair que pour tout autre srdp de $ A[X_i]$ il y aura encore décomposition primaire unique vu que 2 premiers représentatifs d'une même classe d'association sont associés.
Par conséquent sur $ A[X_i]$ on peut choisir pour srdp $ S\bigcup T$$ S$ est un srdp de $ A$ qui représente les polynômes premiers constants et où $ T$ est formé en choisissant dans chaque classe des associés d'un polynôme premier non constant celui dont le dtol admet un coéfficient simple.
Lemme
Lemme $ ^{bis}$ de Gauss(c'est le lemme de Gauss avec plusieurs indéterminées)
$ P$ et $ Q\in A[X_i]$ sont primitifs $ \Longrightarrow \quad PQ$ est primitif.
Démonstration
Un polynôme non nul comme $ P$ admet une décomposition primaire
$ P=\epsilon_P \prod_{p\in S}p^{\alpha_{p}}\prod_{P\in
T}P^{\beta_{P}}$ alors
dire que $ P$ est primitif revient à $ \forall p\in S\quad \alpha_p=0$ c'est clair.
Alors,si $ Q=\epsilon_Q
\prod_{p\in S}p^{\alpha_{p}'}\prod_{P\in T}P^{\beta_{P}'}$ on aura aussi $ \forall p\in S\quad \alpha_p'=0$
d'où $ PQ=\epsilon_P\epsilon_Q\prod_{P\in T}P^{(\beta_{P}+\beta_{P}')}$ et $ PQ$ est bien primitif.
Proposition
20 $ ^{bis}$ (c'est la proposition 20 valable aussi pour les polynômes
à plusieurs indéterminées et à coéfficients dans un anneau factoriel $ A$)

"Pour les polynômes primitifs et non constants de $ A[X_i]$ la primalité sur $ A$ revient à la primalité sur $ Q_A$."
$ \forall P\in A[X_i]  avec  deg(P)\geq 1  et  P  primitif:$ $ P\in\mathcal{P}(A [X_i])\iff P\in \mathcal{P}(Q_A[X_i])$
On peut définir le contenu $ C_P$ d'un polynôme $ P\in \mathcal{P}(Q_A [X_i])$ de la même façon que cela a déjà été fait pour un polynôme à une indéterminée puisque seuls les coéfficients sont pris en compte.
On a vu dans le $ lemme^{bis}$ de Gauss que le produit de 2 polynômes primitifs de $ A[X_i]$ est encore primitif.
Démonstration
$ (\Longrightarrow ?)$
Soit $ P=QR$ dans $ Q_A[X_i]$.Comme $ Q=C_QQ'$ et $ R=C_RR'(Q' et R'\in A[X_i]$ étant primitifs) on a
$ P=C_QC_RQ'R'=
\frac{a}{b}Q'R'$ en posant $ C_QC_R=\frac{a}{b}$ d'où $ bP=aQ'R'$ or $ P$ et $ Q'R'$ sont primitifs d'où en notant $ m_i$ les coéfficients de $ Q'R'$ on a $ PGCD(p_i)=
PGCD(m_i)=1$ puis comme $ bP=aQ'R'$ avec $ a$ et $ b$ non nuls, de $ PGCD(bp_i)=
PGCD(am_i)$ on tire d'après la proposition 8 $ \epsilon_b^{-1}bPGCD(p_i)=\epsilon_a^{-1}aPGCD(m_i)$ soit $ \epsilon_b^{-1}b=\epsilon_a^{-1}a$ et enfin $ \frac{a}{b}=
\frac{\epsilon_a}{\epsilon_b}=\alpha\in A^*$. Dès lors $ P=\alpha Q'R'= (\alpha Q')R'$ dans $ A[X_i]$ et comme $ P\in \mathcal{P}(A[X_i])$
on en déduit que $ \alpha Q'$ ou bien $ R'\in (A[X_i])^*=A^*$;celui qui est dans $ A^*$ n'est pas nul donc il est dans $ Q_A\setminus\{0\}=(Q_A)^*=(Q_A[X_i])^*$ et l'autre est de degré$ \geq 1$ (sinon $ P$ serait constant ce qui contredirait l'hypothèse) donc il n'est pas dans $ Q_A\setminus\{0\}=(Q_A)^*=(Q_A[X_i])^*$. Or $ \alpha Q'$ et $ Q'$ ont le même degré vu que $ \alpha\neq 0$ donc on a $ Q'$ ou bien $ R'\in (Q_A[X_i])^*$ et aussi $ Q=C_QQ'$ ou bien $ R=C_RR'\in (Q_A[X_i])^*=Q_A\setminus\{0\}$ vu qu'un contenu n'est pas nul,ce qui prouve bien que $ P\in \mathcal{P}(Q_A [X_i])$.
$ (\Longleftarrow ?)$
Par l'absurde.Comme $ P\in A[X_i]$ est primitif de degré$ \geq 1$ s'il n'était pas premier sur $ A$ d'après le "théorème de caractérisation..." on pourrait écrire $ P=QR$ dans $ A[X_i]$ donc dans $ Q_A[X_i]$ avec $ deg(Q)$ et $ deg(R)\geq 1$ et cela contredirait la primalité de $ P$ sur $ Q_A$ qui est un corps.

Exemple:
$ P=XY+2X-3Y\in\mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y])$ car $ P=(2X)+(X-3)Y$ en tant que polynôme en $ Y$ sur $ \mathbb{Z}[X]$ est du premier degré et primitif vu que les diviseurs dans $ \mathbb{Z}[X]$ de 2X sont -2,2,-X,X et aucun de ces derniers ne divise $ X-3$.Donc $ P\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X][Y])$ d'après le "théorème de caractérisation..." et $ P=XY+2X-3Y\in\mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y])$ par polymorphie(théorème 1).
De plus $ P$ est primitif sur $ \mathbb{Z}$ vu que le coéfficient de $ XY$ est 1 et $ P$ n'est pas constant d'où d'après la proposition 20 $ ^{bis}$ on a $ P \in \mathcal{P}(\mathbb{Q}[X,Y])$.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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