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Théorème de Cantor-Bernstein

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Théorème des contenus:

Pour tous polynômes

NON NULS de

on a $C_{PQ}=C_PC_Q$

En effet posons $C_P=\frac{a}{b},C_Q=\frac{c}{d}$ et $C_{PQ}=\frac{e}{f}$ avec

et $PQ=C_{PQ}R'$ où

sont primitifs dans

.
On a $PQ=C_{PQ}R'=C_PP'C_QQ'$ ou $C_{PQ}R'=C_PC_QP'Q'$ d'où d'après le lemme Gauss et la proposition 18 $\exists \epsilon\in A^*\quad C_{PQ}=\epsilon C_PC_Q$ ce qui donne
$\frac{e}{f}=\epsilon\frac{a}{b}\frac{c}{d}$ d'où $ebd=\epsilon acf$ et vu que

sont simples
$\varphi(ebd)=\varphi(\epsilon acf)$ soit $\varphi(e)\varphi(b)\varphi(d)=\varphi(\epsilon)\varphi(a)\varphi(c) \varphi(f)$ puis $1=\varphi(\epsilon)$ et enfin $\epsilon=1$ d'où le résultat annoncé qui se généralise bien sûr pour 3 polynômes ou plus.

Proposition 19:valable dans un acui quelconque, hors factorialité.
"Les premiers constants de

sont les premiers de

"
$P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ et $deg(P)=0 \iff P\in \mathcal{P}(A)$
Démonstration $(\Leftarrow?)$
En effet soit $P\in \mathcal{P}(A)$ et

dans

.Comme $P\neq0$ on a $Q\neq0$ et $R\neq0$ d'où $deg(P)=deg(Q)+deg(R)=0 \Longrightarrow Q$ et $R\in A$
or $P\in \mathcal{P}(A)$ et par conséquent

ou bien $R\in A^*=(A[X_i])^*$ soit $P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ .
$(\Longrightarrow ?)$
Soit $P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ et

donc $P\in A$ .Soit

dans

donc dans

comme $P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ on en déduit que

ou bien $R\in A[X_i]^*=A^*$ donc on a bien $P\in \mathcal{P}(A)$ .
Proposition 20:"Pour tout polynôme non constant et primitif de

la primalité sur

revient à la primalité sur

."
Pour tout polynôme

primitif de

avec $deg(P) \geq 1$ on a
$P\in \mathcal{P}(A[X])\iff P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$
Démonstration $(\Longrightarrow ?)$
Soit

dans

.On a

car

est primitif. d'où

avec

et $R'\in A[X]$ or $P\in \mathcal{P}(A[X])$ d'où

ou bien $R'\in (A[X])^*=A^*$ par exemple $Q'\in A^*$ donc

est un élémént non nul de

donc un inversible de

et de

alors que $deg(R')=deg(R)\geq 1$ vu que $deg(P) \geq 1$ d'où

n'est pas inversible dans

et finalement $P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ .
$(\Longleftarrow ?)$
Soit

dans

donc aussi dans

.Comme $P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ on a

ou bien $R\in (Q_A[X])^*=Q_A\setminus \{0\}$ par exemple $Q\in Q_A\setminus \{0\}$ donc

soit $Q\in A$ mais alors la constante

divise

qui est primitif donc $Q\in A^*=(A[X])^*$ i.e.

est inversible dans

alors que $deg(R)\geq 1$ vu que $deg(P) \geq 1$ d'où

n'est pas inversible dans

et finalement $P\in \mathcal{P}(A[X])$ .

Pour prouver que

est un anneau factoriel définissons un système représentatif des premiers de

.On prend d'abord pour représentants des polynômes premiers constants ceux de

,et pour les autres polynômes

avec $deg(P) \geq 1$ , on choisit dans la classe $\overline{P}$ des associés de

le polynôme ayant son coéfficient dominant simple.On obtient ainsi un ensemble

et alors $S\cup T$ est le système désiré.
Existence d'une décomposition primaire dans

.
Soit un polynôme NON NUL $P\in A[X]$ .On a donc $P\in Q_A[X]$ qui est un anneau euclidien vu que

est un corps et donc un anneau principal(bien connu) dont le système représentatif des premiers est formé des polynômes premiers UNITAIRES.Ainsi

admet la décomposition primaire unique

dans

où $K\in Q_A\setminus \{0\}$ et les

sont premiers unitaires avec $deg(P_i)\geq 1$ .Or $P_i=C_{P_i}P_i'$ avec $P_i'\in A[X]$ primitif et donc $P_i'\in\mathcal{P}(Q_A[X])$ vu que $C_{P_i}\neq0$ et $P_i\in\mathcal{P}(Q_A[X])$ implique $\frac{1}{C_{P_i}}P_i =P_i'\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ d'où en vertu de la proposition 20 $P_i'\in \mathcal{P}(A[X])$ .
On a donc $C_PP'=KC_{P_1}C_{P_2}...C_{P_n}P_1'P_2'...P_n'$ d'où d'après la proposition 18 il existe $\theta\in A^*$ tel que $\theta C_P= KC_{P_1}C_{P_2}...C_{P_n}$ avec $C_P\in A$ vu que $P\in A[X]$ .D'où $P=\theta C_{P}P_1'P_2'...P_n'$ . Or pour tout

il existe $\epsilon_i\in A^*$ tel que si on multiplie le coéfficient dominant de

par $\epsilon_i$ on obtient un élément simple soit $\epsilon_iP_i'=P_i''\in T$ .D'où $P=\theta C_{P}(\prod_{i=1}^n\epsilon_i^{-1})P_1''P_2''...P_n''$ . En posant $a=\theta C_P(\prod_{i=1}^n\epsilon_i^{-1})\in A$ et en décomposant

dans

on obtient $a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ et alors $P=\epsilon_a(\prod_{p\in S}p^{\alpha_p})P_1''P_2''...P_n$ ce qui constitue une décomposition primaire de

relative à $S\cup T$ . Unicité de la décomposition primaire dans

.
Soit deux décompositions d'un même polynôme NON NUL de

$\epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}P^{\beta_P}=$ $\epsilon'\prod_{p\in S}p^{\alpha'_p}\prod_{P\in T}P^{\beta'_P}(2)$
Comme $P\in T$ il premier dans

,avec $deg(P) \geq 1$ et son coéfficient dominant

est simple alors

est primitif(théorème de caractérisation des premiers de

où

est un acui).D'après la proposition 20 on en déduit que $P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ ainsi que $\frac{1}{a_P}P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ qui est est unitaire et qui est donc élément du système représentatif des premiers de

.
En remplaçant partout

par $a_P(\frac{1}{a_P}P)$ dans

on obtient:
$\epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}(\frac{1}{a_P}P)^... ...p^{\alpha_p^{'}}\prod_{P\in T}a_{P}^{\beta_P^{'}}(\frac{1}{a_P}P)^{\beta_P^{'}}$ puis
$[\epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}]\prod_{P\in T}(... ...}\prod_{P\in T}a_{P}^{\beta_P^{'}}]\prod_{P\in T}(\frac{1}{a_P}P)^{\beta_P^{'}}$ et compte tenu de l'unicité de la décomposition primaire dans

on tire que les 2 scalaires entre crochets sont égaux et que $\forall P\in T\quad \beta_P=\beta_P'$ soit:
$\epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}= \epsilon'\prod_{p\in S}p^{\alpha'_p}\prod_{P\in T}a_P^{\beta_P}$
Après simplification on obtient $\epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}= \epsilon'\prod_{p\in S}p^{\alpha'_p}$ et vu l'unicité de la décomposition dans

on en tire $\forall p\in S\quad \alpha_p=\alpha_p'$ et $\epsilon=\epsilon'$ .
Finalement on a bien l'unicité de la décomposition primaire dans

relative à $S\cup T$ .L'application

x $\mathbb{N}^{(S)}$ x $\mathbb{N}^{(T)}\ni (\epsilon,(\alpha_p)_{p\in S}), (\beta_P)_{P\in T})\mapsto$ $\epsilon \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\prod_{P\in S}P^{\beta_P} \in A[X]\setminus \{0\}$ est bijective.
Exemples:
$\bullet \mathbb{Z}$ est un anneau factoriel et même plus car il est euclidien donc principal.
$\mathbb{Z}^*=\{-1,1\}$ donc les classes d'associés ont 2 éléments opposés sauf
la classe de 0.On choisira comme système

représentatif des premiers de $\mathbb{Z}$ les positifs soit $S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ .Il est clair que l'application:
$\mathbb{Z}^*$ x $\mathbb{N}^{(S)}\ni (\epsilon, (\alpha_p)_{p\in S})\quad \mapsto \quad \epsilon \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ est bijective.
Preuve en s'appuyant sur la décomposition primaire unique dans $\mathbb{N}$ .
Les éléments simples de $\mathbb{Z}$ sont les positifs.
$PGCD(0,0,-75,45,-60,0)=PGCD(0,0,-3.5^2,3^2.5,-2^2.3.5,0)=\\ 3^{Min(1,2,1)}.5^{Min(2,1,1)}=3.5=15$

$PPCM(-75,45,-60)=2^{Max(0,0,2)}.3^{Max(1,2,1)}.5^{Max(2,1,1)}=4.9.25=900$
$\bullet \mathbb{Z}[X]$ est le "prototype" d'un anneau factoriel car il n'est pas principal.
$(\mathbb{Z}[X])^*=\mathbb{Z}^*= \{-1,1\}$ donc les classes d'associés ont 2 éléments opposés sauf la classe de 0. On choisira comme système représentatif des premiers de $\mathbb{Z}[X]$ l'ensemble $S\cup T$ où

est le système repésentatif des premiers de $\mathbb{Z}$ soit $S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ et

est formé des premiers non constants dont le coéfficient dominant est simple i.e. positif.
Les éléments simples de $\mathbb{Z}[X]$ sont les polynômes à coéfficient dominant

Exemple de décomposition primaire dans $\mathbb{Z}[X]$ :

n'est pas simple. Il est très remarquable que la factorialité d'un acui

se transmette à
l'anneau

des polynômes à une indéterminée sur

. D'où de proche en proche si

est factoriel

est factoriel puis

identifié à

l'est aussi ...etc

est factoriel.
De plus,si

est un corps commutatif on sait que

est un anneau euclidien donc principal et enfin factoriel(théorèmes classiques).
Ainsi tout anneau de polynômes à une ou plusieurs indéterminées et à coéfficients dans un anneau factoriel ou un corps commutatif est un
anneau factoriel qui,on va le voir dans le théorème 6, ne pourra être un anneau principal que si est un corps et s'il n'y a qu'une seule indéterminée.

Théorème $\fbox{ 6}$

désignant un anneau factoriel ou un corps et

des indéterminées $(n\geq 1)$

est principal $\Longleftrightarrow A$ est un corps et n=1.
Démonstration ( $\Longrightarrow ?)$
D'abord

sinon soit 2 indéterminées

qui sont aussi 2 polynômes premiers dans

vu qu'ils sont primitifs et de degré 1;de plus ils ne sont pas associés donc ils sont premiers entre eux(théorème 5) d'où d'après le théorème de Bézout il existerait 2 polynômes

tels que

ce qui est impossible car

n'a pas de terme constant donc on a bien

.
Il reste à montrer que si

est un anneau principal alors

est un corps.
En effet soit $a\in A$ et $a\neq0$ alors

sont premiers entre eux car un polynôme qui les divise est constant vu qu'il divise a et cette constante est inversible vu qu'elle divise

.En appliquant Bézout il existe donc

et $Q\in A[X]$ tels que

n'a pas de terme constant d'où si

on a

donc a est inversible.CQFD
( $\Longleftarrow ?)$
Pour un corps

il est bien connu que

est un anneau euclidien
montrons qu'alors il est principal. Soit

un idéal de

.
Il y a 3 cas à étudier:
1.

admet un polynome non constant (donc dans le cas contraire

ne sera formé que de polynômes constants d'où les cas 2. et 3.)
2.

n'a que le polynôme constant nul donc c'est bien un idéal principal
3.

contient un polynôme constant non nul:

alors $\frac{1}{p} \in K$ et $p.\frac{1}{p}=1 \in I$ d'où

est bien un idéal principal.
Etude du cas 1.
Notons $P\in I$ un polynôme non constant de degré minimum.
Alors $\forall M\in I \quad\exists (Q,R)\in (K[X])^2 \qquad M=PQ +R$ avec

ou deg

deg

. C'est la division d'Euclide de

par

d'où on tire

(sinon $R=M-PQ \in I$ ce qui contredirait la minimalité du degré de P.)
Par conséquent

et donc $I\subset P.K[X]$ . L'inclusion contraire étant évidente on en tire que

est bien principal.CQFDLe théorème de permanence de la factorialité,de Gauss,en le répètant éventuellement plusieurs fois, nous permet d'affirmer que si

est un anneau factoriel alors

est aussi factoriel pour tout $n\geq 1$ d'où il existe un système représentatif des premiers(srdp en abrégé) de

pour lequel il y a décomposition primaire unique.
Dès lors il est clair que pour tout autre srdp de

il y aura encore décomposition primaire unique vu que 2 premiers représentatifs d'une même classe d'association sont associés.
Par conséquent sur

on peut choisir pour srdp $S\bigcup T$ où

est un srdp de

qui représente les polynômes premiers constants et où

est formé en choisissant dans chaque classe des associés d'un polynôme premier non constant celui dont le dtol admet un coéfficient simple.
Lemme Lemme $^{bis}$ de Gauss(c'est le lemme de Gauss avec plusieurs indéterminées)

et $Q\in A[X_i]$ sont primitifs $\Longrightarrow \quad PQ$ est primitif.
Démonstration Un polynôme non nul comme

admet une décomposition primaire
$P=\epsilon_P \prod_{p\in S}p^{\alpha_{p}}\prod_{P\in T}P^{\beta_{P}}$ alors
dire que

est primitif revient à $\forall p\in S\quad \alpha_p=0$ c'est clair.
Alors,si $Q=\epsilon_Q \prod_{p\in S}p^{\alpha_{p}'}\prod_{P\in T}P^{\beta_{P}'}$ on aura aussi $\forall p\in S\quad \alpha_p'=0$
d'où $PQ=\epsilon_P\epsilon_Q\prod_{P\in T}P^{(\beta_{P}+\beta_{P}')}$ et

est bien primitif.
Proposition 20 $^{bis}$ (c'est la proposition 20 valable aussi pour les polynômes
à plusieurs indéterminées et à coéfficients dans un anneau factoriel

)

"Pour les polynômes primitifs et non constants de

la primalité sur

revient à la primalité sur

."
$\forall P\in A[X_i] avec deg(P)\geq 1 et P primitif:$ $P\in\mathcal{P}(A [X_i])\iff P\in \mathcal{P}(Q_A[X_i])$
On peut définir le contenu

d'un polynôme $P\in \mathcal{P}(Q_A [X_i])$ de la même façon que cela a déjà été fait pour un polynôme à une indéterminée puisque seuls les coéfficients sont pris en compte.
On a vu dans le $lemme^{bis}$ de Gauss que le produit de 2 polynômes primitifs de

est encore primitif.
Démonstration $(\Longrightarrow ?)$
Soit

dans

.Comme

et $R=C_RR'(Q' et R'\in A[X_i]$ étant primitifs) on a
$P=C_QC_RQ'R'= \frac{a}{b}Q'R'$ en posant $C_QC_R=\frac{a}{b}$ d'où

sont primitifs d'où en notant

les coéfficients de

on a

puis comme

avec

non nuls, de

on tire d'après la proposition 8 $\epsilon_b^{-1}bPGCD(p_i)=\epsilon_a^{-1}aPGCD(m_i)$ soit $\epsilon_b^{-1}b=\epsilon_a^{-1}a$ et enfin $\frac{a}{b}= \frac{\epsilon_a}{\epsilon_b}=\alpha\in A^*$ . Dès lors $P=\alpha Q'R'= (\alpha Q')R'$ dans

et comme $P\in \mathcal{P}(A[X_i])$
on en déduit que $\alpha Q'$ ou bien $R'\in (A[X_i])^*=A^*$ ;celui qui est dans

n'est pas nul donc il est dans $Q_A\setminus\{0\}=(Q_A)^*=(Q_A[X_i])^*$ et l'autre est de degré $\geq 1$ (sinon

serait constant ce qui contredirait l'hypothèse) donc il n'est pas dans $Q_A\setminus\{0\}=(Q_A)^*=(Q_A[X_i])^*$ . Or $\alpha Q'$ et

ont le même degré vu que $\alpha\neq 0$ donc on a

ou bien $R'\in (Q_A[X_i])^*$ et aussi

ou bien $R=C_RR'\in (Q_A[X_i])^*=Q_A\setminus\{0\}$ vu qu'un contenu n'est pas nul,ce qui prouve bien que $P\in \mathcal{P}(Q_A [X_i])$ .
$(\Longleftarrow ?)$
Par l'absurde.Comme $P\in A[X_i]$ est primitif de degré $\geq 1$ s'il n'était pas premier sur

d'après le "théorème de caractérisation..." on pourrait écrire

dans

donc dans

avec

et $deg(R)\geq 1$ et cela contredirait la primalité de

sur

qui est un corps.

Exemple:
$P=XY+2X-3Y\in\mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y])$ car

en tant que polynôme en

sur $\mathbb{Z}[X]$ est du premier degré et primitif vu que les diviseurs dans $\mathbb{Z}[X]$ de 2X sont -2,2,-X,X et aucun de ces derniers ne divise

.Donc $P\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X][Y])$ d'après le "théorème de caractérisation..." et $P=XY+2X-3Y\in\mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y])$ par polymorphie(théorème 1).
De plus

est primitif sur $\mathbb{Z}$ vu que le coéfficient de