alors
Démonstration
D'abord étant un idéal premier non nul on a par définition est intègre
et par conséquent est aussi intègre on pourra donc utiliser le règle
des degrés dans .De plus est premier d'après
l'implication (
) de la proposition 16.
L'application f définie par :
est clairement un morphisme d'anneaux.
Il est aussi clair que
et si
.
est de degré et primitif d'où en vertu du théorème de
caractérisation des premiers de quand est un acui, si
n'était pas premier on aurait:
dans avec
et
(I)
D'où
et
(sinon on aurait et comme divise les pour à alors on
aurait le premier qui diviserait les coéfficients du
polynôme primitif d'où une contradiction).
Par conséquent
.
Comme
on aurait
et
d'où auraient un
degré et alors on aurait
et
sinon par exemple on aurait
et
(règle des degrés dans à partir de
et vu que
or
et donc ce qui
contredirait (I) Donc,toujours sous l'hypothèse d'absurde (I),
on aurait bien
et
seraient des monômes en
.
En effet, en posant provisoirement et pour simplifier ,
et désignant la valuation du polynôme ,si
n'était pas un monôme alors on aurait
et
comme on a toujours
on aurait
ou encore
et alors ne serait pas un monôme d'où une
contradiction.Finalement est bien un monôme et le même
raisonnement avec à la place de montrerait que
est aussi un monôme.De plus comme et
seraient des monômes de degrés leurs termes constants
seraient nuls d'où si on posait
et
on aurait
et
i.e. et d'où
or
d'où
et alors diviserait ce qui contredirait une des
hypothèses.
Finalement on a bien
.c.q.f.d.
Comme on a
et que est primitif on déduit de la
proposition 20 que l'on a aussi
.