Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
193 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
EISENSTEIN I(version la plus générale) next up previous
suivant: EISENSTEIN II(version usuelle) monter: Arithmétique factorielle précédent: EISENSTEIN

EISENSTEIN I(version la plus générale)

Théorème ( d'Eisenstein ) $ A$ étant un acui: si
  • $ \exists p\in A$ tel que $ pA$ est un idéal premier non nul
  • $ P\in A[X]$ avec $ P=a_0+a_1X+...+a_kX^k$ primitif et $ deg(P)=k\geq 1$
  • $ p\vert a_0 , p\vert a_1 ,...,p\vert a_{k-1}$ et $ p^2\not\vert a_0$
alors $ P\in \mathcal{P}(A[X])$
Démonstration

D'abord $ pA$ étant un idéal premier non nul on a par définition $ A/pA$ est intègre et par conséquent $ (A/pA)[Y]$ est aussi intègre on pourra donc utiliser le règle des degrés dans $ (A/pA)[Y]$ .De plus $ p$ est premier d'après l'implication ( $ \Longleftarrow ?$) de la proposition 16.
L'application f définie par :
$ A[X]\ni M=m_0+m_1X+...+m_nX^n\quad \mapsto f(M)=\overline{m_0}+\overline{m_1}Y+...+
\overline{m_n}Y^n\in (A/pA)[Y]$ est clairement un morphisme d'anneaux.
Il est aussi clair que $ \forall M\in A[X]$ et si $ f(M)\neq0 \quad deg(f(M))\leq deg(M)$.
$ P$ est de degré$ \geq 1$ et primitif d'où en vertu du théorème de caractérisation des premiers de $ A[X_i]$ quand $ A$ est un acui, si $ P$ n'était pas premier on aurait:
$ P=RS$ dans $ A[X]$ avec $ deg(R)\geq 1$ et $ deg(S)\geq 1\qquad$(I)
D'où $ f(P)=f(RS)=f(R)f(S)=\overline{a_k}Y^k$ et $ \overline{a_k}\neq \overline{0}$ (sinon on aurait $ p\vert a_k$ et comme $ p$ divise les $ a_i$ pour $ i=1$ à $ k-1$ alors on aurait le premier $ p$ qui diviserait les coéfficients du polynôme primitif $ P$ d'où une contradiction).
Par conséquent $ deg(f(P))=deg(P)=k$.
Comme $ f(P)\neq\overline{0}$ on aurait $ f(R)\neq\overline{0}$ et $ f(S)\neq\overline{0}$ d'où $ f(R),f(S)$ auraient un degré et alors on aurait $ deg(f(R))\geq 1$ et $ deg(f(S))\geq 1$
$ [$sinon par exemple on aurait $ deg(f(R))=0$ et $ deg(f(S))=k$(règle des degrés dans $ (A/pA)[Y]$ à partir de $ f(P)=f(R)f(S)$ et vu que $ deg(f(P))=k)$ or $ deg(S)\geq deg(f(S))=k\Longrightarrow deg(S)=k$ et donc $ deg(R)=0$ ce qui contredirait (I)$ ].$ Donc,toujours sous l'hypothèse d'absurde (I), on aurait bien $ deg(f(R))\geq 1$ et $ deg(f(R))\geq 1$
$ f(R)f(S)=\overline{a_k}Y^k \Longrightarrow f(R),f(S)$ seraient des monômes en $ Y$.
En effet, en posant provisoirement et pour simplifier $ f(R)=R'$ , $ f(S)=S'$ et $ val(R')$ désignant la valuation du polynôme $ R'$,si $ R'$ n'était pas un monôme alors on aurait $ val(R')<deg(R')$ et comme on a toujours $ val(S')\leq deg(S')$ on aurait $ val(R').val(S')<deg(R').deg(S')$ ou encore $ val(R'S')<deg(R'S')$ et alors $ R'S'$ ne serait pas un monôme d'où une contradiction.Finalement $ R'$ est bien un monôme et le même raisonnement avec $ S'$ à la place de $ R'$ montrerait que $ S'$ est aussi un monôme.De plus comme $ R'=f(R)$ et $ S'=f(S)$ seraient des monômes de degrés $ \geq 1$ leurs termes constants seraient nuls d'où si on posait $ R=r_0+r_1X+...$ et $ S=s_0+s_1X+...$ on aurait $ \overline{r_0}=
\overline{0}$ et $ \overline{s_0}=\overline{0}$ i.e. $ p\vert r_0$ et $ p\vert s_0$ d'où $ p^2\vert r_0s_0$ or $ P=a_0+a_1X+...=RS=r_0s_0+...$ d'où $ r_0s_0=a_0$ et alors $ p^2$ diviserait $ a_0$ ce qui contredirait une des hypothèses. Finalement on a bien $ P\in \mathcal{P}(A[X])$.c.q.f.d.
Comme on a $ deg(P)
\geq 1$ et que $ P$ est primitif on déduit de la proposition 20 que l'on a aussi $ P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$.

Remarque:on a mis l'hypothèse " $ deg(P)=k\geq 1$" car les polynômes constants premiers on les connaît,ce sont les premiers de $ A$(proposition 19).

next up previous
suivant: EISENSTEIN II(version usuelle) monter: Arithmétique factorielle précédent: EISENSTEIN
Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page