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EISENSTEIN II(version usuelle)

Théorème ( d'Eisenstein )$ A$ étant un acui factoriel, si:
  • $ \exists p\in \mathcal{P}(A)$
  • $ P\in A[X]$ avec $ P=a_0+a_1X+...+a_kX^k$ primitif et $ deg(P)=k\geq 1$
  • $ p\vert a_0 , p\vert a_1 ,...,p\vert a_{k-1}$ et $ p^2\not\vert a_0$
alors $ P\in \mathcal{P}(A[X])$
Démonstration

Comme $ p\in \mathcal{P}(A)$ et que $ A$ est factoriel,d'après la proposition 16, on a $ pA$ est un idéal premier non nul donc on peut appliquer l'énoncé précédent.

Exemple: $ P=X+5X^2Y-X^3Z^7+Y^2\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y,Z])$ car en interprétant $ P$ comme un polynôme de $ \mathbb{Z}[X,Z][Y]$ i.e.un polynôme à une seule indéterminée $ Y$ et à coéfficients dans l'anneau factoriel $ \mathbb{Z}[X,Z]$ soit
$ P=(X-X^3Z)+(5X^2)Y+Y^2$ les conditions de EISENSTEIN II sont vérifiées car $ P$ est primitif vu que le coéfficient de $ Y^2$ est 1 et de plus $ p=X\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Z])$ vu que $ X$ est primitif et du 1er degré(théorème de caractérisation des premiers de $ A[X_i]$$ A$ est un acui). on a bien $ X\vert(X-X^3Z^7),X\vert 5X^2$ et $ X^2\not\vert (X-X^3Z^7)$.Doù $ P\in \mathbb{Z}[X,Z][Y]$ Dès lors on en déduit que les 7 interprétations de $ P$ par polymorphie sont premières sur leurs anneaux de scalaires respectifs(théorème 1).


Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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