Théorème ( d'Eisenstein ) étant un acui factoriel, si :
avec
et
,
et
alors
Démonstration
Par l'absurde.Si n'appartenait pas à
comme est un corps,on pourrait écrire dans
avec
et
en vertu du théorème de
caractérisation des premiers de
où est un acui.
Montrons qu'il existe
tel que
avec
et
Il suffit de poser
car sont non nuls donc on a
et avec
et
d'où
et
vu que compte tenu de
Dès lors on considèrera que avec
.
Posons
et
où
,
et .Il est clair que .
Comme
et que est factoriel on a par exemple (théorème d'Euclide) et
ne divise pas (sinon on aurait et une contradiction).
De plus ne divise pas vu que
et que ne divise pas
donc il existe tel que
et
.De plus car . Il en
résulte que ne divise pas (sinon comme
et
on aurait
et donc
ou d'où une contradiction).
Donc
ce qui est contradictoire car
or par hypothèse on a
Finalement est bien premier sur le corps des fractions de .
Si en plus est primitif on a aussi
(proposition 20)
Exemple:
On peut considérer que où
est bien factoriel soit
.
On peut appliquer EISENSTEIN III avec
d'où
en vertu de la proposition 19 on a
.
On a aussi
et enfin
et
.
D'où
De plus est primitif sur
vu qu'un diviseur
des coéfficients de divise 5 et par
conséquent d=1,-1,5ou-5 or ni 5 ni -5 ne divisent -3Y donc d=1 ou
-1 et est bien primitif sur . Comme
on
a aussi
en vertu de la proposition
20.Donc
et enfin par
polymorphie
.
Par contre on a bien
car est associé de
mais
car n'est pas primitif vu que
et 5 n'est pas inversible puisqu'il est premier dans
donc
dans
.
La décomposition primaire de dans
est:
où l'on a choisi comme représentant d'un polynôme
premier non constant celui dont le dtol(dernier terme dans l'ordre lexicographique)
admet pour coéfficient un élément positif(i.e.simple dans
).En effet on a
et 5.
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Guy_Philippe