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EISENSTEIN III(autre version usuelle)

Théorème ( d'Eisenstein )$ A$ étant un acui factoriel, si :
  • $ \exists p\in \mathcal{P}(A)$
  • $ P\in A[X]$ avec $ P=a_0+a_1X+...+a_kX^k$ et $ deg(P)=k\geq 1$
  • $ p\vert a_0 , p\vert a_1 ,...,p\vert a_{k-1}$, $ p\not\vert a_k$ et $ p^2\not\vert a_0$
alors $ P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$
Démonstration
Par l'absurde.Si $ P$ n'appartenait pas à $ \mathcal{P}(Q_A[X])$ comme $ Q_A$ est un corps,on pourrait écrire $ P=QR$ dans $ Q_A[X]$ avec $ deg(Q)\geq 1$ et $ deg(R)\geq 1$ en vertu du théorème de caractérisation des premiers de $ A[X_i]$$ A$ est un acui.
Montrons qu'il existe $ \lambda\in Q_A$ tel que $ P=(\lambda Q)(\frac{1}{\lambda} R)$ avec $ \lambda Q$ et $ \frac{1}{\lambda} R \in A[X].$
Il suffit de poser $ \lambda=\frac{1}{C_Q}$ car $ P,Q,R$ sont non nuls donc on a $ Q=C_QQ'$ et $ R=C_RR'$ avec $ Q',R'\in A[X]$ et $ C_{QR}=C_QC_R$ d'où $ \lambda Q=\frac{1}{C_Q}Q=Q'\in A[X]$ et $ \frac{1}{\lambda}R=C_QR=C_QC_RR'=C_{QR}R'
=C_P R'\in A[X]$ vu que $ C_P\in A$ compte tenu de $ P\in A[X]$ Dès lors on considèrera que $ P=QR$ avec $ Q,R\in A[X]$.
Posons $ Q=b_0+b_1X+...+b_mX^m$ et $ R=c_0+c_1X+...+c_lX^l$$ m\geq1$ , $ l\geq1$ et $ m+l=k$.Il est clair que $ m<k$.
Comme $ p\vert a_0=b_0c_0$ et que $ A$ est factoriel on a par exemple $ p\vert b_0$(théorème d'Euclide) et $ p$ ne divise pas $ c_0$ (sinon on aurait $ p^2\vert a_0$ et une contradiction).
De plus $ p$ ne divise pas $ b_m$ vu que $ b_mc_l=a_k$ et que $ p$ ne divise pas $ a_k$ donc il existe $ m_1\leq m$ tel que $ p\vert b_0,b_1...,b_{m_1-1}$ et $ p\not\vert b_{m_1}$.De plus $ 1\leq m_1$ car $ p\vert b_0$. Il en résulte que $ p$ ne divise pas $ a_{m_1}$ (sinon comme $ a_{m_1}=b_0c_{m_1}+b_1c_{m_1-1}+...+
b_{m_1-1}c_1+b_{m_1}c_0$ et $ p\vert b_0,b_1,...,b_{m_1-1}$ on aurait $ p\vert b_{m_1}c_0$ et donc $ p\vert b_{m_1}$ ou $ p\vert c_0$ d'où une contradiction).
Donc $ p\not\vert a_{m_1}$ ce qui est contradictoire car $ m_1\leq m<k
\Longrightarrow m_1\leq k-1$ or par hypothèse on a $ p\vert a_0,a_1...,a_{k-1}$
Finalement $ P$ est bien premier sur le corps $ Q_A$ des fractions de $ A$.
Si en plus $ P$ est primitif on a aussi $ P\in \mathcal{P}(A[X])$ (proposition 20)
Exemple: $ P=-3Y+6XZ^2-9X^2YZ+5X^3 \in \mathbb{Z}[X,Y,Z]$
On peut considérer que $ P\in A[X]$ $ A=\mathbb{Z}[Y,Z]$ est bien factoriel soit $ P=(-3Y)+(6Z^2)X+(-9YZ)X^2+(5)X^3$.
On peut appliquer EISENSTEIN III avec $ p=3\in \mathcal{P}(\mathbb{Z})$ d'où en vertu de la proposition 19 on a $ p=3\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[Y,Z])$.
On a aussi $ deg\vert _{X}(P)=3\geq 1$ et enfin
$ 3\vert-3Y   ;  3\vert 6Z^2  ;  3\vert-9YZ  ;  3\not\vert 5$ et $ 3^2\not\vert -3Y$. D'où $ P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$
De plus $ P$ est primitif sur $ A=\mathbb{Z}[Y,Z]$ vu qu'un diviseur $ d\in\mathbb{Z}[Y,Z]$ des coéfficients de $ P$ divise 5 et par conséquent d=1,-1,5ou-5 or ni 5 ni -5 ne divisent -3Y donc d=1 ou -1 et $ P$ est bien primitif sur $ A$. Comme $ deg\vert _{X}(P)\geq 1$ on a aussi $ P\in \mathcal{P}(A[X])$ en vertu de la proposition 20.Donc $ P\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[Y,Z][X])$ et enfin par polymorphie $ P\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y,Z])$.
Par contre on a bien $ 10P=-30Y+60XZ^2-90X^2YZ+50X^3 \in \mathcal{P}(Q_A[X])$ car $ 10P$ est associé de $ P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ mais $ 10P\notin \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y,Z])$ car $ 10P$ n'est pas primitif vu que $ 5\vert 10P$ et 5 n'est pas inversible puisqu'il est premier dans $ \mathbb{Z}$ donc dans $ \mathbb{Z}[Y,Z]$. La décomposition primaire de $ 10P$ dans $ \mathbb{Z}[X,Y,Z]$ est: $ 10P=2.5(-3Y+6XZ^2-9X^2YZ+5X^3)$ où l'on a choisi comme représentant d'un polynôme premier non constant celui dont le dtol(dernier terme dans l'ordre lexicographique) admet pour coéfficient un élément positif(i.e.simple dans $ \mathbb{Z}$).En effet on a $ dtol(10P)=5X^3$ et 5$ >0$.

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Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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