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EISENSTEIN III(autre version usuelle)

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EISENSTEIN III(autre version usuelle)

Théorème ( d'Eisenstein )

étant un acui factoriel, si :

$\exists p\in \mathcal{P}(A)$
$P\in A[X]$ avec et $deg(P)=k\geq 1$
$p\vert a_0 , p\vert a_1 ,...,p\vert a_{k-1}$ , $p\not\vert a_k$ et $p^2\not\vert a_0$

alors $P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$
Démonstration Par l'absurde.Si

n'appartenait pas à $\mathcal{P}(Q_A[X])$ comme

est un corps,on pourrait écrire

dans

avec $deg(Q)\geq 1$ et $deg(R)\geq 1$ en vertu du théorème de caractérisation des premiers de

où

est un acui.
Montrons qu'il existe $\lambda\in Q_A$ tel que $P=(\lambda Q)(\frac{1}{\lambda} R)$ avec $\lambda Q$ et $\frac{1}{\lambda} R \in A[X].$
Il suffit de poser $\lambda=\frac{1}{C_Q}$ car

sont non nuls donc on a

avec $Q',R'\in A[X]$ et $C_{QR}=C_QC_R$ d'où $\lambda Q=\frac{1}{C_Q}Q=Q'\in A[X]$ et $\frac{1}{\lambda}R=C_QR=C_QC_RR'=C_{QR}R' =C_P R'\in A[X]$ vu que $C_P\in A$ compte tenu de $P\in A[X]$ Dès lors on considèrera que

avec $Q,R\in A[X]$ .
Posons

où $m\geq1$ , $l\geq1$ et

.Il est clair que

.
Comme $p\vert a_0=b_0c_0$ et que

est factoriel on a par exemple $p\vert b_0$ (théorème d'Euclide) et

ne divise pas

(sinon on aurait $p^2\vert a_0$ et une contradiction).
De plus

ne divise pas

vu que

et que

ne divise pas

donc il existe $m_1\leq m$ tel que $p\vert b_0,b_1...,b_{m_1-1}$ et $p\not\vert b_{m_1}$ .De plus $1\leq m_1$ car $p\vert b_0$ . Il en résulte que

ne divise pas $a_{m_1}$ (sinon comme $a_{m_1}=b_0c_{m_1}+b_1c_{m_1-1}+...+ b_{m_1-1}c_1+b_{m_1}c_0$ et $p\vert b_0,b_1,...,b_{m_1-1}$ on aurait $p\vert b_{m_1}c_0$ et donc $p\vert b_{m_1}$ ou $p\vert c_0$ d'où une contradiction).
Donc $p\not\vert a_{m_1}$ ce qui est contradictoire car $m_1\leq m<k \Longrightarrow m_1\leq k-1$ or par hypothèse on a $p\vert a_0,a_1...,a_{k-1}$
Finalement

est bien premier sur le corps

des fractions de

.
Si en plus

est primitif on a aussi $P\in \mathcal{P}(A[X])$ (proposition 20)
Exemple: $P=-3Y+6XZ^2-9X^2YZ+5X^3 \in \mathbb{Z}[X,Y,Z]$
On peut considérer que $P\in A[X]$ où $A=\mathbb{Z}[Y,Z]$ est bien factoriel soit

.
On peut appliquer EISENSTEIN III avec $p=3\in \mathcal{P}(\mathbb{Z})$ d'où en vertu de la proposition 19 on a $p=3\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[Y,Z])$ .
On a aussi $deg\vert _{X}(P)=3\geq 1$ et enfin
$3\vert-3Y ; 3\vert 6Z^2 ; 3\vert-9YZ ; 3\not\vert 5$ et $3^2\not\vert -3Y$ . D'où $P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$
De plus

est primitif sur $A=\mathbb{Z}[Y,Z]$ vu qu'un diviseur $d\in\mathbb{Z}[Y,Z]$ des coéfficients de

divise 5 et par conséquent d=1,-1,5ou-5 or ni 5 ni -5 ne divisent -3Y donc d=1 ou -1 et

est bien primitif sur

. Comme $deg\vert _{X}(P)\geq 1$ on a aussi $P\in \mathcal{P}(A[X])$ en vertu de la proposition 20.Donc $P\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[Y,Z][X])$ et enfin par polymorphie $P\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y,Z])$ .
Par contre on a bien $10P=-30Y+60XZ^2-90X^2YZ+50X^3 \in \mathcal{P}(Q_A[X])$ car

est associé de $P\in \mathcal{P}(Q_A[X])$ mais $10P\notin \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y,Z])$ car

n'est pas primitif vu que $5\vert 10P$ et 5 n'est pas inversible puisqu'il est premier dans $\mathbb{Z}$ donc dans $\mathbb{Z}[Y,Z]$ . La décomposition primaire de

dans $\mathbb{Z}[X,Y,Z]$ est:

où l'on a choisi comme représentant d'un polynôme premier non constant celui dont le dtol(dernier terme dans l'ordre lexicographique) admet pour coéfficient un élément positif(i.e.simple dans $\mathbb{Z}$ ).En effet on a