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Notations , définitions et rappels

acui est une abréviation pour anneau commutatif unitaire intègre.
A étant un acui, A* désignera l'ensemble des éléments inversibles de A.On sait qu'alors $ A[X_i]$ où $ i=1$ à $ n\quad (n\geq 1)$ est aussi un acui et il est remarquable et très utile de savoir que $ (A[X_i])$* $ =A$*(à cause de la règle des degrés) d'où avec $ A[Y_j]$ à la place de $ A$ on aura aussi $ (A[Y_j][X_i])^* =(A[Y_j])^* =A^*$
Dans un anneau polynômial $ A[X_i]$ $ A$ désignera l'anneau des coéfficients(ou des scalaires) et $ X_i$ les indéterminées. $ P\in A[X_i]$ sera dit primitif (sur $ A$) si ses coéfficients n'ont pour diviseurs communs que les inversibles de $ A$.
On notera $ Q_A$ le corps des fractions de $ A$. $ \mathcal{P}(A)$ désignera l'ensemble des premiers de $ A$ et $ \mathcal{P}(A[X_i])$ l'ensemble des polynômes premiers de $ A[X_i]$;on dira aussi polynômes premiers sur $ A$ ou polynômes $ A$-premiers.
On utilisera pour définition des éléments premiers d'un anneau commutatif unitaire intègre(acui) la suivante, pour montrer sa facilité d'usage, à savoir:
$ p\in \mathcal{P}(A) \iff \forall (a,b)\in A^2\quad p=ab \Longrightarrow a$ ou bien $ b\in A^*$ qui est encore équivalente à $ p\neq0$ et $ p\notin A^*$ et $ \mathcal{D}_p=A^*\bigcup pA^*$(cf l'article cité au début).
On rappelle que "ou bien" signifie ou exclusif.
On rappelle aussi le théorème de caractérisation des polynômes premiers de $ A[X_i]$ où $ A$ est un acui(preuve dans l'article cité au début).
Les polynômes premiers de $ A[X_i]$ sont:
1$ \bullet$ les polynômes CONSTANTS quand cette constante est un premier de $ A$.
2$ \bullet$ les polynômes $ P$ de degré$ \geq 1$ et primitifs qui ne peuvent s'écrire $ P=QR$ dans $ A[X_i]$ avec $ deg(Q)\geq 1$ et $ deg(R)\geq 1$.
Cas particulier: si $ A$ est un corps:$ P$ est premier dans $ A[X_i]\iff$ $ deg(P) \geq 1$ et $ P$ ne peut s'écrire $ P=QR$ dans $ A[X_i]$ avec $ deg(Q)\geq 1$ et $ deg(R)\geq 1$.
Polymorphie des polynômes à plusieurs indéterminées
A étant un acui et n un entier supérieur ou égal à 2 on notera $ A[X_{i}]$ l'anneau $ A[X_1,X_2,...X_n]$ des polynômes à coéfficients dans A et à $ n$ indéterminées.
Soit P un polynôme de $ A[X_i]$.On entend par polymorphie le fait que l'on puisse alors considérer par exemple P comme un polynôme en les indéterminées $ X_1,...X_p$ , à coéfficients dans $ A[X_{p+1},...X_n]$ si $ p=1$ à $ n-1$ ou à coéfficients dans $ A$ si $ p=n$ .
P peut donc être interprété comme un polynôme de $ 2^n - 1$ façons c'est à dire d'autant de façons qu'il y a de choix de parties non vides dans l'ensemble des indéterminées {$ X_1...X_n$}.
Au choix de la partie $ \{X_2,X_3\}$ pour les indéterminées principales correspond l'interprétation de P comme polynôme de $ A[X_1,X_4,...X_n][X_2,X_3]$.
Exemple (en mettant entre parenthèses les coéfficients autres que 1 et -1):
$ 1\quad P=X+(5)X^2Y-X^3Z^7+Y^2\in \mathbb{Z}[X,Y,Z]$
$ 2\quad P=(X+5X^2Y+Y^2)+(-X^3)Z^7 \in \mathbb{Z}[X,Y][Z]$
$ 3\quad P=(X-X^3Z^7)+(5X^2)Y+Y^2 \in \mathbb{Z}[X,Z][Y]$
$ 4\quad P=(Y^2)+X+(5Y)X^2+(-Z^7)X^3 \in \mathbb{Z}[Y,Z][X]$
$ 5\quad P=(X)+(5X^2)Y+(-X^3)Z^7+Y^2 \in \mathbb{Z}[X][Y,Z]$
$ 6\quad P=(Y^2)+X+(5Y)X^2-X^3Z^7 \in \mathbb{Z}[Y][X,Z]$
$ 7\quad P=(-Z^7)X^3+Y^2+X+(5)YX^2 \in \mathbb{Z}[Z][X,Y]$
Ici il y a 3 indéterminées:X,Y,Z soit n=3;on a bien $ 2^3 -1=7$
interpétations possibles pour P.
L'intérêt de cette polymorphie est que si P est premier pour une des
interprétations possibles il l'est aussi pour toutes les autres(cf théorème 1).
Ceci permettra d'envisager P comme un polynôme à une seule indéterminée $ X_i$ et de
pouvoir éventuellement lui appliquer le critère d'EISENSTEIN(traité dans la suite).

Par contre un polynôme $ P\in A[X_i]$ pourra être primitif pour une
interprétation et pas primitif pour une autre:
$ P=X^2+XY+X^3Y^2\in \mathbb{Z}[X,Y]$; $ P$ est primitif sur $ \mathbb{Z}$ alors que
$ P=(X^2)+(X)Y+(X^3)Y^2 \in \mathbb{Z}[X][Y]$ n'est pas primitif sur $ \mathbb{Z}[X]$.

Choisissons une partie E non vide de {1,2,3,...n} et soit S sa complémentaire de façon à ce que les $ X_e$ pour $ e \in E$ désignent les indéterminées principales et les $ X_s$ pour $ s\in S$ les secondaires en convenant que pour $ S=\emptyset$ $ A[X_s]=A$.
Théorème 1 $ P \in \mathcal{P}(A[X_i]) \iff P\in \mathcal{P}(A[X_s][X_e])$

Démonstration si $ S=\emptyset$ l'équivalence est triviale sinon:
$ (\Longrightarrow ?)$
Soit P=QR dans $ A[X_s][X_e]\quad$.Q et R sont aussi des polynômes de $ A[X_i]$ donc on a P=QR dans $ A[X_i]$ et comme $ P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ on a Q ou bien R $ \in (A[X_i])^* =A^* =(A[X_s][X_e])^*$ d'où $ P\in \mathcal{P}(A[X_s][X_e])$ et idem pour la réciproque.
Autre aspect de la polymorphie: tout polynôme P à n indéterminées de $ A[X_i]$ peut aussi être considéré comme un polynôme à n+1 indéterminées $ X_1,X_2,..X_n,T$ ou plus.
Et la primalité du premier polynôme entraîne la primalité du deuxième.
Théorème 2 $ P \in \mathcal{P}(A[X_i]) \Longrightarrow P \in \mathcal{P}(A[X_i,T])$
Démonstration Soit $ P=QR$ dans $ A[X_i,T]$.Comme $ P\in \mathcal{P}(A[X_i])\quad P\neq 0$ donc $ P$ a un degré donc aussi un degré en T d'où $ deg_{\vert _T}(P) = deg_{\vert _T}(Q) + deg_{\vert _T}(R) =0$ et par suite $ deg_{\vert _T}(Q) = deg_{\vert _T}(R) =0$ i.e. $ Q$ et $ R \in A[X_i]$ , on a donc $ P=QR$ dans $ A[X_i]$ et comme $ P\in \mathcal{P}(A[X_i])$ on aura $ Q$ ou bien $ R \in (A[X_i])^* = A^* = (A[X_i,T])^*$ ce qui prouve bien que $ P \in \mathcal{P}(A[X_i,T])$.
Remarque:soit $ P \in \mathcal{P}(A[X_i,T])$ si on spécialise l'indéterminée $ T$ par
$ T=t\in A$ on obtient un nouveau polynôme $ P_t\in A[X_i]$ mais en général $ P_t\notin \mathcal{P}(A[X_i])$.Exemple: $ P=X^2-T \in \mathcal{P}(A[X,T])$ vu que $ P$ en tant que polynôme de $ A[X][T]$ est de degré 1 et primitif sur $ A[X]$(cf théorème de caractérisation des premiers de $ A[X_i]$ où $ A$ est un acui),pourtant avec $ T=1$ on a $ P_1=X^2-1=(X+1)(X-1)$ donc $ P_1\notin\mathcal{P}(A[X])$.
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Dans la suite "demi-groupe" voudra dire demi-groupe abélien multiplicatif.
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Relation d'association dans un demi-groupe
Soit un demi-groupe $ E$ et la relation d'association,notée $ \sim$ , définie par
$ a \sim b \iff \exists \epsilon \in E^* \quad a=\epsilon b$.
Il est clair que c'est un relation d'équivalence.
Cette relation est compatible avec la multiplication et ainsi la structure de demi-groupe multiplicatif abélien de $ E$ passe au quotient dans $ E/\sim$
En effet $ a\sim b$ et $ x\sim y \Longrightarrow \exists \epsilon$ et $ \theta \in E^*\quad a=\epsilon b$ et $ x=\theta y\quad$ d'où $ ax=(\epsilon \theta)by$ or $ \epsilon\theta \in E^*$ donc $ ax \sim by$
remarque: $ \forall p\in \mathcal{P}(E)\qquad\forall \epsilon\in E^* \qquad \epsilon p\in \mathcal{P}(E)\quad$ i.e.
"l'associé d' un premier est premier"
En effet soit $ \epsilon p=ab$ dans $ E$ on a $ p=\epsilon^{-1}ab=(\epsilon^{-1} a)b$ et comme $ p\in \mathcal{P}(E)$ on a $ \epsilon^{-1} a$ ou bien $ b\in E^*\quad$ i.e. $ a$ ou bien $ b\in E^*$ d'où $ \epsilon p\in \mathcal{P}(E)$.
Par contre si $ E$ est le demi-groupe multiplicatif d'un acui cette relation n'est pas compatible en général avec l'addition.Ce que l'on peut vérifier avec $ E=\mathbb{Z}$ d'où $ E^* =\{-1,1\}$
$ 5\sim 5$ et $ -3 \sim 3$ pourtant $ 5+(-3)\not \sim 5+3$

Dans le demi-groupe multiplicatif $ E/\sim$ les éléments(classes) premiers sont les classes des éléments premiers de $ E$(preuve dans le théorème 3).
La primalité étant "calée" sur l'inversibilité précisons les inversibles de
$ (E/\sim)$. Ce sont les classes des inversibles de $ E$.
En effet $ \overline{a}$ inversible dans $ E/\sim \iff \exists \overline{b}\in E/\sim\quad \overline{a} \overline{b}=\overline{1}$ autrement dit $ ab$ et $ 1$ sont associés d'où il existe $ \epsilon \in E^*\quad$ tel que $ ab=\epsilon 1=\epsilon \in E^*$ ce qui entraîne $ a$ est inversible dans $ E$.Réciproquement a inversible dans $ E \Longrightarrow \exists b\in E \quad ab=1 \Longrightarrow \overline{ab}=\ove... ...rightarrow \overline{a} \overline{b} =\overline{1}\Longrightarrow \overline{a}$ est inversible dans $ E/\sim$.
Théorème 3 "La relation $ \sim$ respecte la primalité"
$ \overline{p}\in \mathcal{P}(E/\sim) \iff p\in \mathcal{P}(E)$
$ \overline{p}$ désigne bien sûr la classe de $ p$ où $ p \in E$
Démonstration $ (\Longrightarrow ?)$
Soit $ \overline{p}\in \mathcal{P}(E/\sim) ,$ si on écrit $ p$ sous la forme $ p=qr$ dans $ E$ en passant aux classes on aura $ \overline{p}=\overline{qr}$ soit grâce à la définition de la multiplication dans $ E/\sim\qquad \overline{p}=\overline{q} \overline{r}\quad$ et comme $ \overline{p}\in \mathcal{P}(E/\sim)$ on aura $ \overline{q}$ ou bien $ \overline {r}\in (E/\sim)^* $ c'est à dire $ q$ ou bien $ r \in E^*$ car les inversibles de $ E/\sim$ sont les classes des inversibles de $ E$ comme il a été vu précédemment.
Donc , si on écrit $ p=qr$ dans $ E$ alors $ q$ ou bien $ r \in E^*$ i.e.que $ p\in \mathcal{P}(E)$
$ (\Longleftarrow ?)$
Soit $ p\in \mathcal{P}(E)$ , si on écrit dans $ E/\sim \quad \overline{p}= \overline{q} \overline{r}\quad$ alors $ \overline{p}=\overline{qr}\quad$ c'est à dire $ p=\epsilon(qr)\quad$ avec $ \epsilon \in E^*\quad$ soit aussi $ p=(\epsilon q)r\quad$ et comme $ p\in \mathcal{P}(E)$ on en déduit que $ \epsilon q$ ou bien $ r\in E^*\quad$ ce qui revient à $ \overline{\epsilon q}=\overline{q}$ ou bien $ \overline {r}\in (E/\sim)^* $ vu que $ \overline{\epsilon}=\overline{1}$.
En résumé pour $ p\in \mathcal{P}(E)$ si on écrit dans $ E/\sim \quad \overline{p}= \overline{q} \overline{r}\quad$ on a $ \overline{q}$ ou bien $ \overline {r}\in (E/\sim)^* $ donc $ \overline{p}\in \mathcal{P}(E/\sim)$ et ceci achève la preuve du théorème 3.

Théorème 4 $ A$ étant un acui ayant des éléments premiers $ (\mathcal{P}(A)\neq \emptyset)$
$ \forall p\in\mathcal{P}(A)\quad \forall a\in A$ on a l'alternative $ p\vert a$ ou bien $ p$ est premier avec a(i.e.tout diviseur de $ p$ et $ a$ est inversible)
Démonstration En effet:
Si $ p\vert a$ cqfd.
Et si $ p\not\vert a$ comme $ \mathcal{D}_p=A^*\bigcup pA^*$(cf les rappels) un diviseur $ d$ de $ p$ et $ a$ est forcément inversible sinon $ d$ serait un associé de $ p$ qui diviserait $ a$ et par conséquent $ p$ diviserait aussi $ a$ d'où une contradiction.

Théorème 5 $ A$ étant un acui ayant des éléments premiers $ (\mathcal{P}(A)\neq \emptyset)$
"Dans un acui 2 premiers non associés sont premiers entre eux"
Soient $ p_1,p_2\in \mathcal{P}(A)$ avec $ p_1\not \sim p_2$ alors $ p_1$ est premier avec $ p_2$
En effet $ \mathcal{D}_{p_1}=A^*\bigcup p_1A^*$ et idem pour $ p_2$ d'où si $ d$ divise $ p_1$ et $ p_2$ alors $ d$ est forcément inversible sinon ,comme $ d\vert p_1\quad d $ serait un associé de $ p_1$ soit $ d=\epsilon p_1$ qui diviserait $ p_2$.On aurait alors :
$ \bullet$ soit $ \epsilon p_1\in A^*$ et alors $ p_1$ serait inversible d'où une contradiction
$ \bullet$ soit $ \epsilon p_1\in p_2A^*$ et alors $ p_1$ et $ p_2$ serait associés d'où encore une contradiction.
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Guy_Philippe
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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