acui est une abréviation pour anneau commutatif unitaire intègre.
A étant un acui, A* désignera l'ensemble des éléments inversibles
de A.On sait qu'alors où à
est
aussi un acui et il est remarquable et très utile de savoir que
* *(à cause de la règle des degrés) d'où avec
à la place
de on aura aussi
Dans un anneau polynômial désignera l'anneau des coéfficients(ou des
scalaires) et les indéterminées.
sera dit primitif (sur ) si ses
coéfficients n'ont pour diviseurs communs que les inversibles de .
On notera le corps des fractions de .
désignera l'ensemble des premiers de et
l'ensemble des polynômes premiers de ;on dira
aussi polynômes premiers sur ou polynômes -premiers.
On utilisera pour définition des éléments premiers d'un anneau commutatif unitaire
intègre(acui) la suivante, pour montrer sa facilité d'usage, à savoir:
ou bien
qui est encore équivalente à et
et
(cf l'article cité au début).
On rappelle que "ou bien" signifie ou exclusif.
On rappelle aussi le théorème de caractérisation des polynômes premiers de
où est un acui(preuve dans l'article cité au début).
Les polynômes premiers de sont:
1 les polynômes CONSTANTS quand cette constante est un premier de .
2 les polynômes de degré et primitifs qui ne
peuvent s'écrire
dans avec
et
.
Cas particulier: si est un corps: est premier
dans
et ne peut s'écrire
dans avec
et
.
Polymorphie des polynômes à plusieurs indéterminées
A étant un acui et n un entier supérieur ou égal à 2 on notera
l'anneau
des polynômes à coéfficients dans A et à
indéterminées.
Soit P un polynôme de .On entend par polymorphie le fait que l'on puisse
alors considérer par exemple P comme un polynôme en les indéterminées
, à
coéfficients dans
si à ou à coéfficients dans si .
P peut donc être interprété comme un polynôme de façons c'est à dire d'autant de façons
qu'il y a de choix de parties non vides dans l'ensemble des indéterminées
{}.
Au choix de la partie
pour les indéterminées
principales correspond l'interprétation de P comme polynôme de
.
Exemple (en mettant entre parenthèses les coéfficients autres que 1 et -1):
Ici il y a 3 indéterminées:X,Y,Z soit n=3;on a bien
interpétations possibles pour P.
L'intérêt de cette polymorphie est que si P est premier pour une des interprétations possibles il l'est aussi pour toutes les autres(cf théorème 1).
Ceci permettra d'envisager P comme un polynôme à une seule indéterminée et de pouvoir éventuellement lui appliquer le critère d'EISENSTEIN(traité dans la suite).
Par contre un polynôme
pourra être primitif pour une
interprétation
et pas primitif pour une autre:
; est primitif sur
alors que
n'est pas primitif sur
.
Choisissons une partie E non vide de {1,2,3,...n} et soit S sa complémentaire
de façon à ce que les pour désignent les indéterminées principales
et les pour les secondaires en convenant que pour
.
Théorème 1
Démonstration
si
l'équivalence est triviale sinon:
Soit P=QR dans
.Q et R sont aussi des polynômes
de donc on a P=QR dans et comme
on a Q ou bien R
d'où
et idem
pour la réciproque.
Autre aspect de la
polymorphie: tout polynôme P à n indéterminées de peut aussi être considéré comme un polynôme à n+1 indéterminées
ou plus.
Et la primalité du premier polynôme entraîne la primalité du deuxième.
Théorème 2
Démonstration Soit dans .Comme
donc a un degré donc aussi
un degré en T d'où
et par suite
i.e. et
, on a donc dans et comme
on aura ou bien
ce qui prouve bien que
.
Remarque:soit
si on spécialise l'indéterminée par
on obtient un nouveau polynôme
mais en général
.Exemple:
vu que en tant que polynôme de
est de degré 1 et primitif sur (cf théorème de caractérisation des premiers
de où est un acui),pourtant avec on a
donc
.
---------------------
Dans la suite "demi-groupe" voudra dire demi-groupe abélien
multiplicatif.
---------------------
Relation d'association dans un demi-groupe
Soit un demi-groupe et la relation d'association,notée , définie par
.
Il est clair que c'est un relation d'équivalence.
Cette relation est compatible avec la multiplication et ainsi la structure de
demi-groupe multiplicatif abélien de passe au quotient dans
En effet et
et
et
d'où
or
donc
remarque:
i.e.
"l'associé d' un premier est premier"
En effet soit
dans on a
et
comme
on a
ou bien
i.e.
ou bien d'où
.
Par contre siest le demi-groupe multiplicatif d'un acui cette relation n'est pas compatible en général avec l'addition.Ce que l'on peut
vérifier avec
d'où
et pourtant
Dans le demi-groupe multiplicatif les éléments(classes)
premiers sont les classes des éléments premiers de (preuve dans le théorème 3).
La primalité étant "calée" sur l'inversibilité précisons les inversibles de
. Ce sont les classes des inversibles de .
En effet
inversible dans
autrement dit et sont
associés d'où il existe
tel que
ce qui entraîne est
inversible dans .Réciproquement a inversible
dans
est inversible dans .
Théorème 3 "La relation respecte la primalité"
désigne bien sûr la classe de où Démonstration
Soit
si on écrit sous
la forme dans en passant aux classes on aura
soit grâce à la définition de la
multiplication dans
et comme
on aura
ou bien
c'est à dire ou bien car les inversibles de
sont les classes des
inversibles de comme il a été vu précédemment.
Donc , si on écrit dans alors ou bien i.e.que
Soit
, si on écrit dans
alors
c'est à dire
avec
soit aussi
et comme
on en
déduit que
ou bien
ce qui revient à
ou bien
vu que
.
En résumé pour
si on écrit dans
on a
ou bien
donc
et ceci achève la preuve du théorème 3.
Théorème 4 étant un acui ayant des éléments
premiers
on a l'alternative
ou bien est premier avec a(i.e.tout diviseur de et
est inversible)
Démonstration En effet:
Si cqfd.
Et si comme
(cf les rappels) un diviseur de
et est forcément inversible sinon serait un associé de
qui diviserait et
par conséquent diviserait aussi d'où une contradiction.
Théorème 5 étant un acui ayant des éléments premiers
"Dans un acui 2 premiers non associés sont premiers entre eux"
Soient
avec
alors est premier avec
En effet
et idem pour d'où si
divise et alors est forcément inversible sinon ,comme
serait
un associé de soit
qui diviserait .On aurait alors :
soit
et alors serait inversible d'où une
contradiction
soit
et alors et
serait associés d'où encore une contradiction.
suivant:DEMI-GROUPES FACTORIELS monter:Arithmétique factorielle précédent:PRELIMINAIRES ET OBJECTIF
Guy_Philippe