On sait combien est fondamentale l'UNICITE de la décomposition primaire dans le
demi-groupe
,x) mais en général ce n'est pas le cas
dans un demi-goupe quelconque.Exemple dans
x on a
or si on convient d'utiliser uniquement les premiers positifs on récupèrera
l'unicité:
étant un facteur inversible.
Aussi comme la classe des associés d'un premier n'est formée que de premiers on va
choisir dans chacune de ces classes un représentant et on obtient ainsi un ensemble
appelé système représentatif des premiers de .
Définition (en s'inspirant de
:
On dira qu'un demi-groupe x est factoriel si et seulement s'il admet un
élément absorbant noté 0, des
premiers(
et si tout élément NON NUL de
admet une décomposition primaire unique après choix d'un système représentatif
des éléments premiers de .Autrement dit l'application:
x
est une bijection où
désigne l'ensemble des familles d'entiers
indexées par dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini.
Tout élément NON NUL s'écrit donc de manière unique sous la forme
(1)
(c'est la décomposition
primaire de )
On notera que la décomposition primaire d'un élément inversible
est réduite à lui-même avec
.On
dira que
est le facteur inversible de puis que
est la valuation de relative à que l'on notera
.
Exemples:
x est un demi-groupe factoriel.
n'a qu'un seul inversible:1 donc on n'a pas le choix,
le seul système représentatif des premiers possible est
.
L'existence et l'unicité de la décomposition primaire sont bien
connues et se justifient en utilisant la relation d'ordre
total: dans
.
La décomposition
de 1 étant 1 lui-même.
,x est un demi-groupe factoriel.On sait que
et que pour la relation la classe du premier est
.
Dès lors on peut choisir pour chaque classe le premier soit on obtient ainsi un système
reprèsentatif des premiers de
noté et
.Dès lors l'application de
x
définie
par
est bijective.
Donc
a s'écrit de manière unique sous la forme:
On remarque que 1 et -1 ont pour décompositions primaires eux-mêmes
Quelques décomposition primaires:
On appelle arithmétique factorielle la partie de l'arithmétique qui est "calée" sur
la décomposition primaire unique et dont le cadre naturel est le demi-groupe factoriel.
Ce qui suit est un cours d'arithmétique factorielle.
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Guy_Philippe