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DEMI-GROUPES FACTORIELS

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DEMI-GROUPES FACTORIELS

On sait combien est fondamentale l'UNICITE de la décomposition primaire dans le demi-groupe $(\mathbb{N}$ ,x) mais en général ce n'est pas le cas dans un demi-goupe quelconque.Exemple dans $(\mathbb{Z},$ x

on a

or si on convient d'utiliser uniquement les premiers positifs on récupèrera
l'unicité: $-15=(-1).3.5;\quad-1$ étant un facteur inversible.
Aussi comme la classe des associés d'un premier

n'est formée que de premiers on va choisir dans chacune de ces classes un représentant et on obtient ainsi un ensemble

appelé système représentatif des premiers de

.
Définition (en s'inspirant de $\mathbb{N})$ :
On dira qu'un demi-groupe

est factoriel si et seulement s'il admet un élément absorbant noté 0, des premiers( $\mathcal{P}(E)\neq \emptyset)$ et si tout élément NON NUL de

admet une décomposition primaire unique après choix d'un système représentatif des éléments premiers de

.Autrement dit l'application:

x $\mathbb{N}^{(S)}\ni (\epsilon,(\alpha_p)_{p\in S})\mapsto \epsilon \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\in E\setminus \{0\}$ est une bijection où $\mathbb{N}^{(S)}$ désigne l'ensemble des familles d'entiers $(\alpha_p)_{p\in S}$ indexées par $p\in S$ dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini.
Tout élément $a\in E$ NON NUL s'écrit donc de manière unique sous la forme
(1) $\qquad a=\epsilon_a \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ (c'est la décomposition primaire de

)
On notera que la décomposition primaire d'un élément inversible est réduite à lui-même avec $\forall p\in S\quad \alpha_p=0$ .On dira que $\epsilon_a$ est le facteur inversible de

puis que $\alpha_p$ est la valuation de

relative à

que l'on notera $val_{p}(a)$ .
Exemples:
$\bullet (\mathbb{N},$ x

est un demi-groupe factoriel.
$\mathbb{N}$ n'a qu'un seul inversible:1 donc on n'a pas le choix, le seul système représentatif des premiers possible est $S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ .
L'existence et l'unicité de la décomposition primaire sont bien connues et se justifient en utilisant la relation d'ordre total: $\leq$ dans $\mathbb{N}$ .
La décomposition de 1 étant 1 lui-même.
$\bullet (\mathbb{Z}$ ,x

est un demi-groupe factoriel.On sait que $\mathbb{Z}^*=\{-1,1\}$ et que pour la relation $\sim$ la classe du premier

est $\overline{p}=\{p,-p\}$ . Dès lors on peut choisir pour chaque classe le premier

soit $\vert p\vert$ on obtient ainsi un système reprèsentatif des premiers de $\mathbb{Z}$ noté

et $S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ .Dès lors l'application de $\mathbb{Z}^*$ x $\mathbb{N}^{(S)}\longrightarrow \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ définie par $(\epsilon,(\alpha_p)_{p\in S})\longmapsto \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ est bijective.
Donc $\forall a(non nul)\in \mathbb{Z}$ a s'écrit de manière unique sous la forme:
$a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$
On remarque que 1 et -1 ont pour décompositions primaires eux-mêmes
Quelques décomposition primaires:

$\quad 63=(+1).3^2.7$

On appelle arithmétique factorielle la partie de l'arithmétique qui est "calée" sur la décomposition primaire unique et dont le cadre naturel est le demi-groupe factoriel.
Ce qui suit est un cours d'arithmétique factorielle.