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DEMI-GROUPES FACTORIELS

On sait combien est fondamentale l'UNICITE de la décomposition primaire dans le demi-groupe $ (\mathbb{N}$,x) mais en général ce n'est pas le cas dans un demi-goupe quelconque.Exemple dans $ (\mathbb{Z},$x$ )$ on a $ -15=(-3).5=
3.(-5)$ or si on convient d'utiliser uniquement les premiers positifs on récupèrera
l'unicité: $ -15=(-1).3.5;\quad-1$ étant un facteur inversible.
Aussi comme la classe des associés d'un premier $ p$ n'est formée que de premiers on va choisir dans chacune de ces classes un représentant et on obtient ainsi un ensemble $ S$ appelé système représentatif des premiers de $ E$.
Définition
(en s'inspirant de $ \mathbb{N})$:
On dira qu'un demi-groupe $ (E,$x$ )$ est factoriel si et seulement s'il admet un élément absorbant noté 0, des premiers( $ \mathcal{P}(E)\neq \emptyset)$ et si tout élément NON NUL de $ E$ admet une décomposition primaire unique après choix d'un système représentatif des éléments premiers de $ E$.Autrement dit l'application:
$ E^*$x $ \mathbb{N}^{(S)}\ni (\epsilon,(\alpha_p)_{p\in S})\mapsto \epsilon
\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\in E\setminus \{0\}$ est une bijection où $ \mathbb{N}^{(S)}$ désigne l'ensemble des familles d'entiers $ (\alpha_p)_{p\in S}$ indexées par $ p\in S$ dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini.
Tout élément $ a\in E$ NON NUL s'écrit donc de manière unique sous la forme
(1) $ \qquad a=\epsilon_a \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$(c'est la décomposition primaire de $ a$)
On notera que la décomposition primaire d'un élément inversible est réduite à lui-même avec $ \forall p\in S\quad \alpha_p=0$.On dira que $ \epsilon_a$ est le facteur inversible de $ a$ puis que $ \alpha_p$ est la valuation de $ a$ relative à $ p$ que l'on notera $ val_{p}(a)$.
Exemples:
$ \bullet (\mathbb{N},$x$ )$ est un demi-groupe factoriel.
$ \mathbb{N}$ n'a qu'un seul inversible:1 donc on n'a pas le choix, le seul système représentatif des premiers possible est $ S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
L'existence et l'unicité de la décomposition primaire sont bien connues et se justifient en utilisant la relation d'ordre total:$ \leq$ dans $ \mathbb{N}$.
La décomposition de 1 étant 1 lui-même.
$ \bullet (\mathbb{Z}$,x$ )$ est un demi-groupe factoriel.On sait que $ \mathbb{Z}^*=\{-1,1\}$ et que pour la relation $ \sim$ la classe du premier $ p$ est $ \overline{p}=\{p,-p\}$. Dès lors on peut choisir pour chaque classe le premier$ >0$ soit $ \vert p\vert$ on obtient ainsi un système reprèsentatif des premiers de $ \mathbb{Z}$ noté $ S$ et $ S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$.Dès lors l'application de $ \mathbb{Z}^*$x $ \mathbb{N}^{(S)}\longrightarrow \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ définie par $ (\epsilon,(\alpha_p)_{p\in S})\longmapsto \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ est bijective.
Donc $ \forall a(non  nul)\in \mathbb{Z}$ a s'écrit de manière unique sous la forme:
$ a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$
On remarque que 1 et -1 ont pour décompositions primaires eux-mêmes
Quelques décomposition primaires:
$ -150=(-1).2.3.5^2$ $ 1=1$ $ \quad 63=(+1).3^2.7$ $ -1=-1$
On appelle arithmétique factorielle la partie de l'arithmétique qui est "calée" sur la décomposition primaire unique et dont le cadre naturel est le demi-groupe factoriel.
Ce qui suit est un cours d'arithmétique factorielle.

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Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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