Proposition 0: "tout élément non nul est simplifiable" et
Démonstration
Si il est clair que et on a bien .Idem si .
Si et ne sont pas nuls alors admettent des décompositions primaires
d'où avec des notations évidentes les décompositions primaires de et
donnent
d'où grâce à l'unicité de la
décomposition primaire on a
soit
et aussi
soit
et donc .
Proposition 1: et étant non nuls on aura:
et
alors
Démonstration C'est clair avec l'unicité de la décomposition primaire.
Alors il est immédiat que
et
En effet l'implication
est immédiate vu que 2 éléments associés
se divisent mutuellement et réciproquement et
or donc est
simplifiable d'où et ainsi et sont inversibles.
Proposition 2:
"Tout élément non inversible admet un diviseur premier."
Démonstration Si c'est clair car tout premier
Si alors admet une décomposition primaire comme (1) alors
sinon
et une contradiction
d'où un au moins n'est pas nul et .
Soit
définie par
le facteur inversible de dans (1).
Proposition 3: on a:
à cause de l'unicité de la décomposition
primaire
Démonstration c'est clair.
Définition On appellera "élément simple" tout élément
non nul de tel que
.
Les éléments simples de sont :1 et les produits finis de premiers de .
Exemple:dans
les éléments simples sont les entiers positifs si
.
Proposition 4:
"Toute classe des associés d'un élément non nul contient un élément simple."
Démonstration En effet
alors si
on a
qui
est un élément simple de vu que
.
Exemple:1 est l'élément simple de
.
On pose
Définition : (un)pgcd et (le)PGCD
Soit
des éléments de ;on dira que est un plus grand
commun diviseur des si et seulement si d divise tous les et si tout
diviseur des divise .On notera alors
ou
Existence dans tous les cas d'un
Si tous les alors
et réciproquement.C'est facile à vérifier.
S'il existe au moins un ,soit
et
.
Posons
où
alors
est un car D divise bien sûr les mais aussi les autres, vu que
(proposition 1).De plus tout diviseur des
divise les d'où et si
on aura
et par
conséquent
soit
On peut remarquer que est simple donc
.
Proposition 5: "Deux sont associés."
Démonstration En effet si et sont deux alors
divise les donc divise qui est un et de
manière symétrique divise et finalement et sont
associés.Dès lors si un des au moins n'est pas nul chaque
donc la classe des associés de admet
un élément simple qu'on appellera plus grand commun
diviseur des et que l'on notera
et qui n'est autre que le précédent vu que
.
où à
avec
.
Définition :
On dira que des éléments
de sont premiers entre eux si et seulement
si les seuls diviseurs communs des sont les inversibles de .
Proposition 6: sont premiers entre eux
Démonstration La
équivalence étant
évidente montrons la
. Si les
sont premiers entre eux comme un est un diviseur
des nécessairement chaque est inversible.
réciproquement si un est inversible comme tout
diviseur commun des divise ce donc ce diviseur
commun est inversible aussi et les
sont bien premiers entre eux.
Proposition 7:
Si les ne sont pas tous nuls et que
alors et les
sont premiers entre eux i.e. que
.
Démonstration En effet comme divise les posons .Soit
un diviseur des
alors d'où
donc divise les et par conséquent
aussi
soit ;on simplifie par
(proposition 0) et l'on obtient d'où d est inversible i.e.
les
sont premiers
entre eux.
Proposition 8:
Si tous les ne sont pas nuls et alors
Démonstration Toujours avec
et des notations évidentes on a
d'où
où
D'où
cqfd.
En particulier si est simple i.e.
alors
De plus il est clair que
et
sont toujours
associés ce qui est encore vrai si ou si tous les vu que .
Définition :(un)ppcm et (le)PPCM
Avec les notations qui précèdent on dit que est un plus petit commun
multiple des si et seulement si est un multiple des et si tout
multiple commun des est multiple de .On notera
Proposition 9:"Existence dans tous les cas d'un
Démonstration Si un des est 0, tout multiple de 0 étant 0,
alors seul 0 peut être . On vérifie facilement que dans
ce cas 0 est bien un . Réciproquement si
alors un des est 0.Sinon
serait un multiple
non nul des donc un multiple de
d'où une
contradiction.
Sinon tous les sont non nuls et admettent donc une décomposition primaire
unique
.Soit
alors est un
En effet est bien multiple des car
donc
(proposition 1).
De plus si est un multiple des alors ou et
ou bien et comme
est multiple de chacun des on a
et donc
soit
.
Proposition 10:
Deux sont associés.
Démonstration En effet soit et deux
.
donc estun multiple des
donc il sera multiple de qui est aussi
donc
et par symétrie du rôle de et on aura et
finalement et sont associés.Dès lors si aucun des
n'est nul la classe des associés d'un contient un
élément simple qu'on appellera le plus petit commun multiple des
, on le notera ,c'est le précédent soit
vu que
.
La clé de voûte de l'arithmétique factorielle est la décomposition primaire unique
et ses conséquences comme les théorèmes de Gauss et d'Euclide.
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Guy_Philippe