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Arithmétique dans un demi-groupe factoriel $ (A,$x$ )$

Proposition 0: "tout élément non nul est simplifiable"
$ \forall (a,b,c)\in A^3\quad a\neq0$ et $ ab=ac\Longrightarrow b=c$
Démonstration Si $ b=0$ il est clair que $ c=0$ et on a bien $ b=c$.Idem si $ c=0$.
Si $ b$ et $ c$ ne sont pas nuls alors $ a,b,c$ admettent des décompositions primaires d'où avec des notations évidentes les décompositions primaires de $ ab$ et $ ac$ donnent

$\displaystyle \epsilon_a\epsilon_b\sum_{p\in S}p^{\alpha_p+\beta_p}= \epsilon_a\epsilon_c\sum_{p\in S}p^{\alpha_p+\gamma_p}$

d'où grâce à l'unicité de la décomposition primaire on a $ \epsilon_a\epsilon_b=\epsilon_a\epsilon_c$ soit $ \epsilon_b=\epsilon_c$ et aussi $ \alpha_p+\beta_p=\alpha_p+\gamma_p$ soit $ \beta_p=\gamma_p$ et donc $ b=c$.
Proposition 1:
$ a$ et $ b$ étant non nuls on aura: $ a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ et $ b=\epsilon_b \prod_{p\in S}p^{\beta_p}$ alors
$ a\vert b \iff \forall p\in S\qquad\alpha_p\leq \beta_p \iff\forall p\in S\qquad val_{p}(a)\leq val_{p}(b)$
Démonstration C'est clair avec l'unicité de la décomposition primaire.
Alors il est immédiat que $ \forall (a,b)\in A^2\quad a\vert b$ et $ b\vert a\iff\quad a\sim b$
En effet l'implication $ (\Longleftarrow)$ est immédiate vu que 2 éléments associés se divisent mutuellement et réciproquement $ a=bq$ et $ b=ar\Longrightarrow ab=abqr$ or $ ab\neq0$ donc $ ab$ est simplifiable d'où $ 1=qr$ et ainsi $ q$ et $ r$ sont inversibles.
Proposition 2:
"Tout élément non inversible $ a\in A$ admet un diviseur premier."
Démonstration Si $ a=0$ c'est clair car tout premier $ p\vert$
Si $ a\neq0$ alors $ a$ admet une décomposition primaire comme (1) alors
$ \prod_{p\in S}p^{\alpha_p}\neq1$ sinon $ a=\epsilon_{a} \in A^*$ et une contradiction d'où un $ \alpha_p$ au moins n'est pas nul et $ p\vert a$.
Soit $ \varphi: A\setminus \{0\} \mapsto A^*$ définie par $ \varphi(a)=\epsilon_a$ le facteur inversible de $ a$ dans (1).
Proposition 3:
$ \forall (a,b)\in (A\setminus \{0\})^2\qquad \forall \theta \in A^*$ on a:
$ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ à cause de l'unicité de la décomposition primaire
$ \varphi(\theta)=\theta$
Démonstration c'est clair.
Définition On appellera "élément simple" tout élément $ a$ non nul de $ A$ tel que $ \varphi(a)=1$. Les éléments simples de $ A$ sont :1 et les produits finis de premiers de $ S$.
Exemple:dans $ \mathbb{Z}$ les éléments simples sont les entiers positifs si $ S=\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
Proposition 4:
"Toute classe des associés d'un élément $ a$ non nul contient un élément simple."
Démonstration En effet $ \overline{a}=\{\epsilon a\setminus \epsilon \in A^*\}$ alors si $ \epsilon=\varphi(a)^{-1}$ on a $ \epsilon a$ qui est un élément simple de $ A$ vu que $ \varphi(\epsilon a)= \varphi(\epsilon)\varphi(a)=\epsilon \varphi(a)=1$.
Exemple:1 est l'élément simple de $ A^*=\overline{1}$.

On pose $ I_{n}=\{1,2,3,...,n\}$
Définition : (un)pgcd et (le)PGCD
Soit $ a_1,a_2,a_3,....a_n$ des éléments de $ A(n\geq1)$ ;on dira que $ d$ est un plus grand commun diviseur des $ a_i$ si et seulement si d divise tous les $ a_i$ et si tout diviseur des $ a_i$ divise $ d$.On notera alors $ d=(un)pgcd(a_i)$ ou $ d=pgcd(a_i).$
Existence dans tous les cas d'un $ pgcd(a_i)$
Si tous les $ a_i=0$ alors $ pgcd(a_i)=0$ et réciproquement.C'est facile à vérifier.
S'il existe au moins un $ a_i\neq0$ ,soit $ I=\{i\in I_{n}/ a_i\neq0\}$ et $ \forall i\in I\quad a_i=\epsilon_{a_i}\prod_{p\in S}p^{\alpha_{p}^{i}}$.
Posons $ D=\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ où $ \alpha_p=Min_{i\in I}(\alpha_{p}^{i})$ alors $ D$ est un $ pgcd(a_i)$ car D divise bien sûr les $ a_i=0$ mais aussi les autres, vu que
$ \forall i\in I\quad\forall p\in S\quad\alpha_p\leq \alpha_{p}^{i}$ (proposition 1).De plus tout diviseur $ d$ des $ a_i$ divise les $ a_i\neq0$ d'où $ d\neq0$ et si $ d=\epsilon_d\prod_{p\in S}p^{\delta_p}$ on aura
$ \forall i\in I \quad \forall p\in S\quad \delta_p\leq \alpha_{p}^{i}$ et par conséquent $ \forall p\in S\quad \delta_p\leq \alpha_p$ soit $ d\vert D$
On peut remarquer que $ D$ est simple donc $ \varphi{(D)}=1$.

Proposition 5: "Deux $ pgcd(a_i)$ sont associés."
Démonstration En effet si $ d$ et $ d'$ sont deux $ pgcd(a_i)$ alors $ d$ divise les $ a_i$ donc $ d$ divise $ d'$ qui est un $ pgcd(a_i)$ et de manière symétrique $ d'$ divise $ d$ et finalement $ d$ et $ d'$ sont associés.Dès lors si un des $ a_i$ au moins n'est pas nul chaque $ pgcd(a_i)\neq0$ donc la classe des associés de $ pgcd(a_i)$ admet un élément simple qu'on appellera \fbox{le} plus grand commun diviseur des $ a_i$ et que l'on notera $ PGCD(a_i)$ et qui n'est autre que le $ D$ précédent vu que $ \varphi{(D)}=1$.
$ PGCD(a_i)=\prod_{p\in S}p^{Min_{i\in I}(\alpha_{p}^{i})}$ où $ I=\{i=1$ à $ n/ a_i\neq 0\}$ avec $ I\neq \emptyset$.
Définition :
On dira que des éléments $ a_1,a_2,...a_n(n\geq2)$ de $ A$ sont premiers entre eux si et seulement si les seuls diviseurs communs des $ a_i$ sont les inversibles de $ A$.
Proposition 6:
$ a_1,a_2,...a_n$ sont premiers entre eux $ \Leftrightarrow (un)pgcd(a_i)\in A^* \Leftrightarrow PGCD(a_i)=1$
Démonstration La $ 2^{i\grave eme}$ équivalence étant évidente montrons la $ 1^{i\grave ere}$. Si les $ a_i$ sont premiers entre eux comme un $ pgcd(a_i)$ est un diviseur des $ a_i$ nécessairement chaque $ pgcd(a_i)$ est inversible. réciproquement si un $ pgcd(a_i)$ est inversible comme tout diviseur commun des $ a_i$ divise ce $ pgcd(a_i)$ donc ce diviseur commun est inversible aussi et les $ a_i$ sont bien premiers entre eux.
Proposition 7:
Si les $ a_i$ ne sont pas tous nuls et que $ PGCD(a_i)=D$ alors $ D\neq0$ et les $ \frac{a_i}{D}$ sont premiers entre eux i.e. que $ PGCD(\frac{a_i}{D})=1$.
Démonstration En effet comme $ D$ divise les $ a_i$ posons $ a_i=Dq_i$ .Soit $ d$ un diviseur des $ \frac{a_i}{D}=q_i$ alors $ q_i=dk_i$ d'où $ a_i=Dq_i=Ddk_i$ donc $ Dd$ divise les $ a_i$ et par conséquent aussi $ PGCD(a_i)=D$ soit $ D=Ddr$;on simplifie par $ D\neq0$ (proposition 0) et l'on obtient $ dr=1$ d'où d est inversible i.e. les $ \frac{a_i}{D}$ sont premiers entre eux.
Proposition 8:
Si tous les $ a_i$ ne sont pas nuls et $ m\neq0$ alors $ PGCD(m.a_i)=\epsilon_m^{-1}.m.PGCD(a_i)$

Démonstration Toujours avec $ I=\{i\in I_n/a_i\neq 0\}$ et des notations évidentes on a
$ \forall i\in I\quad ma_i= \epsilon_m\epsilon_{a_i}\prod_{p\in S}p^{\mu_p+\alpha_{p}^{i}}$ d'où $ PGCD(ma_i)=\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ où
$ \forall p\in S\quad\alpha_p= Min_{i\in I}(\mu_p+\alpha_{p}^{i})=\mu_p+Min_{i\in I}(\alpha_{p}^{i})$
D'où $ PGCD(ma_i)=\prod_{p\in S}p^{\mu_p+Min_{i\in {I}}(\alpha_{p}^{i})}= \prod_{p\in... ...}\prod_{p\in S}p^{Min_{i\in {I}}(\alpha_{p}^{i})}=(\epsilon_m^{-1}) m.PGCD(a_i)$ cqfd.
En particulier si $ m$ est simple i.e. $ \epsilon_m=1$ alors $ PGCD(m.a_i)=m.PGCD(a_i)$ De plus il est clair que $ (un)pgcd(m.a_i)$ et $ (un)pgcd(a_i).m$ sont toujours associés ce qui est encore vrai si $ m=0$ ou si tous les $ a_i=0$ vu que $ 0\sim 0$.

Définition :(un)ppcm et (le)PPCM
Avec les notations qui précèdent on dit que $ M\in A$ est un plus petit commun multiple des $ a_i$ si et seulement si $ M$ est un multiple des $ a_i$ et si tout multiple commun $ m$ des $ a_i$ est multiple de $ M$.On notera $ M=(un)ppcm(a_i)$
Proposition 9: "Existence dans tous les cas d'un $ ppcm(a_i)''$
Démonstration $ \bullet$Si un des $ a_i$ est 0, tout multiple de 0 étant 0, alors seul 0 peut être $ ppcm(a_i)$. On vérifie facilement que dans ce cas 0 est bien un $ ppcm(a_i)$. Réciproquement si $ ppcm(a_i)=0$ alors un des $ a_i$ est 0.Sinon $ a_1a_2...a_n$ serait un multiple non nul des $ a_i$ donc un multiple de $ ppcm(a_i)=0$ d'où une contradiction.
$ \bullet$Sinon tous les $ a_i$ sont non nuls et admettent donc une décomposition primaire unique $ a_i=\epsilon_{a_i}\prod_{p\in S}p^{\alpha_{p}^{i}}$.Soit $ M=\prod_{p\in S}p^{Max_{i\in {I_n}}(\alpha_{p}^{i})}$ alors $ M$ est un $ ppcm(a_i).$ En effet $ M$ est bien multiple des $ a_i$ car
$ \forall p\in S\quad\forall i\in I_{n}\quad Max_{i\in I_n}(\alpha_{p}^{i})\geq \alpha_{p}^{i} $ donc $ \forall i\in I_n\quad a_i\vert M$(proposition 1).
De plus si $ m$ est un multiple des $ a_i$ alors ou $ m=0$ et $ M\vert m$
ou bien $ m\neq0$ et comme $ m=\epsilon_m\prod_{p\in S}p^{\mu_p}$ est multiple de chacun des $ a_i$ on a $ \forall p\in S\quad \forall i\in I_n\quad \mu_p\geq \alpha_{p}^{i}$ et donc $ \forall p\in S\quad \mu_p\geq Max_{i\in I_n}(\alpha_{p}^{i})$ soit $ M\vert m$.
Proposition 10:
Deux $ ppcm(a_i)$ sont associés.
Démonstration En effet soit $ m$ et $ m'$ deux $ ppcm(a_i)$.
$ m=(un)ppcm(a_i)$ donc $ m$ estun multiple des $ a_i$ donc il sera multiple de $ m'$ qui est aussi $ (un)ppcm(a_i)$ donc $ m'\vert m$ et par symétrie du rôle de $ m$ et $ m'$ on aura $ m\vert m'$ et finalement $ m$ et $ m'$ sont associés.Dès lors si aucun des $ a_i$ n'est nul la classe des associés d'un $ ppcm(a_i)$ contient un élément simple qu'on appellera le plus petit commun multiple des $ a_i$, on le notera $ PPCM(a_i)$,c'est le $ M$ précédent soit $ M=\prod_{p\in S}p^{Max_{i\in {I_n}}(\alpha_{p}^{i})}$ vu que $ \varphi{(\prod_{p\in S}p^{Max_{i\in {I_n}}(\alpha_{p}^{i})}})=1$ .
La clé de voûte de l'arithmétique factorielle est la décomposition primaire unique et ses conséquences comme les théorèmes de Gauss et d'Euclide.
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Guy_Philippe
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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