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Théorème de Gauss:

$ \forall (a,b,c)\in A^3\qquad a$ est premier avec $ b$ et $ a\vert bc
\Longrightarrow a\vert c$
Comme $ a$ est premier avec $ b$ alors $ a$ et $ b$ ne sont pas tous les deux nuls.
$ a\vert bc \iff\exists d\in A\qquad bc=ad$
Si $ a=0$ alors $ bc=0$ et comme $ b\neq 0$ on a $ c=0$ et donc $ a\vert c$
Si $ b=0$ comme $ a$ est premier avec $ b$ alors $ a\neq0$ et $ a$ est inversible(sinon $ a$, d'après la proposition 2,admettrait un diviseur premier qui diviserait aussi $ 0=b$ d'où une contradiction).Donc $ a\vert c$ vu que $ c=a(ca^{-1})$
Si $ c=0$ alors $ a\vert c$
Si enfin $ a$,$ b$ et $ c$ sont non nuls alors $ bc$ et $ ad$ ont la même décomposition primaire d'où après simplification des facteurs inversibles et avec des notations évidentes

$\displaystyle \prod_{p\in S}p^{\beta_p}\prod_{p\in S}p^{\gamma_p}=\prod_{p\in S}
p^{\alpha_p}\prod_{p\in S}p^{\delta_p}$

d'où
$ \beta_p+\gamma_p=\alpha_p+\delta_p$ ce qui implique $ \forall p\in S\qquad
\alpha_p\leq \gamma_p$ sinon
il existerait $ p\in S$ tel que $ \alpha_p>\gamma_p\geq0$ d'où $ \alpha_p>0$ et alors $ p\vert a$ et puis $ \beta_p=(\alpha_p-\gamma_p)+
\delta_p\geq\alpha_p-\gamma_p>0$ soit $ \beta_p>0$ et alors $ p\vert b$.
On aurait alors $ p$ premier donc non inversible qui diviserait $ a$ et $ b$ d'où une contradiction.
Finalement on a bien $ \forall p\in S\qquad
\alpha_p\leq \gamma_p$ ce qui implique $ a\vert c$ d'après la proposition 1.


Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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