est premier avec et
Comme est premier avec alors et ne sont pas tous les deux nuls.
Si alors et comme on a et donc
Si comme est premier avec alors et est inversible(sinon , d'après
la proposition 2,admettrait un diviseur premier qui diviserait aussi d'où une
contradiction).Donc vu que
Si alors
Si enfin , et sont non nuls alors et ont la même décomposition
primaire d'où après simplification des facteurs inversibles et avec des notations
évidentes
d'où
ce qui implique
sinon
il existerait tel que
d'où
et alors et puis
soit et alors .
On aurait alors premier donc non inversible qui diviserait et d'où une contradiction.
Finalement on a bien
ce qui implique d'après la
proposition 1.
Guy_Philippe