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Théorème d'Euclide:

$ \forall (a,b)\in A^2\quad \forall p \in \mathcal{P}(A)\quad p\vert ab\Longrightarrow
p\vert a$ ou $ p\vert b$

En effet si $ a$ ou $ b=0$ c'est clair car $ p\vert$.Sinon,si $ a$ et $ b\neq 0$ alors
$ p$ ne divise pas $ a\Longrightarrow
val_p(a)=0$ et alors $ p\vert ab\Longrightarrow val_p(ab)=val_p(a)+val_p(b)=0+val_p(b)=val_p(b)
\geq 1\Longrightarrow p\vert b$.

Voici quelques résultats classiques d'arithmétique factorielle dans un demi-groupe factoriel,en plus des précédents, sous forme de propositions concernant des éléments $ b_1,b_2,...,b_n$ de $ A$ tous non nuls.On posera $ B=b_1b_2...b_n$.

proposition 11:
$ b_1,b_2,...,b_n$ premiers entre eux $ \iff\forall p\in S\quad \exists i
\in I_n=\{1,2,3...n\}\quad $ $ val_p(b_i)=0$

$ (\Longrightarrow ?)$
Sinon $ \exists p\in S\quad \forall i\in I_n\quad val_p(b_i)\neq 0$ et alors $ p$ diviserait les $ b_i$ d'où $ p$ serait inversible ce qui est contradictoire.
$ (\Longleftarrow ?)$
Sinon il existerait un diviseur non inversible des $ b_i$ donc aussi un diviseur premier $ p$(proposition 2) d'où on aurait $ \forall i\in I_n\quad val_p(b_i)\neq 0$ et une contradiction.
Proposition
12:
$ \forall i\in I_n\quad a$ est premier avec $ b_i\quad\Longrightarrow a$ est premier avec $ b_1b_2...b_n$
Démonstration
Sinon il existerait un diviseur premier $ p$ de $ a$ et $ b_1b_2..b_n$ or $ p\vert b_1b_2...b_n$ $ \Longrightarrow
val_p(b_1b_2..b_n)=val_p(b_1)+val_p(b_2)+... +val_p(b_n)\geq
...
...grightarrow \exists i\in I_n\quad
val_p(b_i)\geq 1 \Longrightarrow
p\vert b_i$ mais alors $ p$ diviserait $ a$ et $ b_i$ d'où une contradiction.
Proposition
13:
Si les $ b_i$ sont premiers deux à deux alors $ (un)ppcm(b_i)=b_1b_2...b_n$.
Démonstration
$ \forall i\in I_n\quad b_i\neq0$ donc $ b_i$ admet la décomposition primaire: $ b_i=\epsilon_{b_i}\prod_{p_{\in S}}p^{\beta_p^i}$
alors $ \forall p\in S$ les $ \beta_p^i$ sont soit tous nuls soit tous nuls sauf un. sinon
$ \exists (i,j)\in I_n^2\quad i\neq j$ et $ \beta_p^i>0$ et $ \beta_p^j>0$ d'où on aurait $ p\vert b_i$ et $ p\vert b_j$ ce qui contredirait l'hypothèse.D'où avec des notations évidentes et pour tout $ p$ dans $ S$ on a $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i=0 $ ou bien $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i=\beta_p^{i_{0}}>0$.
Alors $ B=b_1b_2...b_n$ est un $ ppcm(b_i)$ i.e.$ B$ est un multiple des $ b_i$ ce qui est clair et tout multiple $ a$ des $ b_i$ est un multiple de $ B$.
En effet si $ a=0$ alors $ B\vert a$ et si $ a\neq0$ alors $ a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$
et $ \forall i\in I_n\quad b_i\vert a\Longrightarrow \forall p\in S\quad\forall i\in I_n\quad\beta_p^i
\leq \alpha_p$
Dès lors $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i $ soit est égal à 0 et alors $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i\leq \alpha_p$ soit $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i=\beta_p^{i_{0}}$ et là encore $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i=\beta_p^{i_{0}}\leq \alpha_p$
Finalement $ \forall p\in S\quad \sum_{i=1}^n\beta_p^i\leq \alpha_p
\Longrightarrow B\vert a$ car $ val_p(B)=val_p(b_1b_2..b_n)=\sum_{i=1}^n\beta_p^i\leq
\alpha_p=val_p(a)$
Proposition
14:
Si les $ b_i$ sont premiers deux à deux alors les $ \frac{B}{b_i}$ sont premiers entre eux.
Démonstration
En utilisant les notations précédentes on a

$\displaystyle \forall i\in
I_n\quad \frac{B}{b_i}=
\prod_{j\neq i}b_j=\\
(\...
...S}p^{\beta_p^j})=
(\prod_{j\neq i} \epsilon_{b_j})\prod_{p\in S}p^{\gamma_p^i}$

avec $ \gamma_p^i=
\sum_{j\neq i}\beta_p^j$
Si $ d$ est un diviseur des $ \frac{B}{b_i}\quad d $ n'est pas nul,il s'écrit $ d=\delta\prod_{p\in S}p^{\delta_p}$ et alors $ \forall p\in S\quad\forall i\in I_n
\quad \delta_p \leq \gamma_p^i (2)$
Comme les $ b_i$ sont premiers deux à deux on a vu dans la proposition 13 que $ \forall p\in S\quad \sum_{i=1}^n\beta_p^i=0$ ou bien $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i=\beta_p^{i_{0}}.$
$ \bullet$ si $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i=0 $ les $ \beta_p^i$ sont tous nuls d'où $ \gamma_p^i=\sum_{j\neq i}^n\beta_p^j=0$ et donc d'après $ (2)\quad \delta_p=0$
$ \bullet$ si $ \sum_{i=1}^n\beta_p^i=\beta_p^{i_{0}}$ alors $ \forall j\neq i_0\quad
\beta_p^j=0$ d'où $ \gamma_p^{i_{0}}=\sum_{j\neq i_{0}}\beta_p^j=0$ et donc d'après $ (2)$ avec $ i=i_0\qquad\delta_p
=0$
Finalement $ \forall p\in S\quad \delta_p=0$ c'est à dire que $ d$ est inversible et donc que les $ \frac{B}{b_i}$ sont premiers entre eux.
Cette proposition 14 est utilisée dans un théorème fondamental d'algèbre linéaire:le théorème de décomposition des noyaux.

Proposition
15:
$ b=(un)ppcm(b_i)\quad\iff \forall i\in I_n\quad b_i\vert b$ et les $ \frac{b}{b_i}$ sont premiers entre eux.
Démonstration
$ (\Longrightarrow ?)$
$ b=ppcm(b_i)$ donc par définition $ b$ est un multiple des $ b_i$ i.e. que $ \forall
i\in I_n\quad b_i\vert b$ et donc $ \forall i\in I_n\quad \forall p\in S\quad
\beta_p^i\leq \beta_p$ si on pose $ b=\epsilon_b
\prod_{p\in S}p^{\beta_p}$ vu que $ b\neq 0$.
Par l'absurde,si les $ \frac{b}{b_i}$ n'étaient pas premiers ils admettraient un diviseur non inversible donc un diviseur premier $ p$(proposition 2) d'où on aurait $ \forall i\in I_n\quad p\vert\frac{b}{b_{i}}\Longrightarrow val_p(p)\leq val_p(\frac{b}{b_i})$ soit $ 1\leq \beta_p-\beta_p^i$
Or $ b=(un)ppcm(b_i)$ est un associé de $ PPCM(b_i)$ et par construction de $ PPCM(b_i)$ on a $ \beta_p=max_{i\in I_n}\beta_p^i=\beta_p^{i_{0}}$ d'où on aurait $ \beta_p-\beta_p^{i_{0}}=0$ ce qui contredirait l'inégalité précédente pour $ i=i_0$. Finalement les $ \frac{b}{b_i}$ sont bien premiers entre eux.
$ (\Longleftarrow ?)$
$ \forall
i\in I_n\quad b_i\vert b$ donc $ b$ est bien un multiple des $ b_i$.Il reste à montrer que tout multiple $ m$ des $ b_i$ est un multiple de $ b$.
Si $ m=0$ alors $ m$ est bien multiple de $ b$. Si $ m\neq0$ alors posons $ m=\epsilon_m\prod_{p\in S}p^{\mu_p}$.Comme les $ b_i$ divisent $ m$ on a $ \forall i\in I_n\quad \forall p\in S\quad\beta_p^i\leq \mu_p$
De plus les $ \frac{b}{b_i}$ sont premiers entre eux d'où d'après la proposition 11
$ \forall p\in S\quad\exists i_0\in I_n\quad val_p(\frac{b}{b_{i_{0}}})=val_p(b)-val_p(b_{i_{0}})=
\beta_p-\beta_p^{i_0}=0$
Donc $ \forall p\in S\quad\exists i_{0}\in I_n\quad
\beta_p=\beta_p^{i_{0}}\leq \mu_p$ d'où $ b\vert m$ i.e. que $ m$ est bien multiple de $ b$.

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Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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