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ANNEAUX FACTORIELS

\fbox{ANNEAUX FACTORIELS}

On appellera anneau factoriel tout acui $ A$ dont le demi-groupe $ (A,$x$ )$ est factoriel i.e. un acui ayant des premiers( $ \mathcal{P}(A)\neq \emptyset)$ et pour lequel il existe une décomposition primaire unique pour tout élément non nul de $ A$ après choix(axiome du choix) d'un système représentatif $ S$ des premiers de A.
Autrement dit l'application de $ A^*$x $ \mathbb{N}^{(S)}$ dans $ A\setminus\{0\}$ définie par
$ (\epsilon,(\alpha_{p})_{p\in S})\longmapsto \epsilon\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$ est bijective.
Tout élément $ a$ non nul de $ A$ s'écrira de manière unique sous la forme $ a= \epsilon_a\prod_{p\in S}p^{\alpha_p}$.
Dans ce chapitre,sauf avis contraire, $ A$ désignera un anneau factoriel.

LES PROPRIETES PRECEDENTES D'UN DEMI-GROUPE
FACTORIEL SONT BIEN SUR VALABLES DANS UN ANNEAU FACTORIEL.
ELLES CONSTITUENT L'ARITHMETIQUE FACTORIELLE.

Proposition
16:
"caractérisation des éléments premiers d'un anneau factoriel grâce aux idéaux"
$ p\in \mathcal{P}(A)\iff pA$ est un idéal premier non nul(i.e. $ A/pA$ est un anneau intègre et $ pA\neq0$).
Démonstration
$ (\Longrightarrow ?)$
D'abord $ pA\neq0$ car $ p.1=p\in pA$ et $ p\neq0$ vu qu'il est premier.
Ensuite $ ab\in pA\Longrightarrow p\vert ab$ d'où comme $ A$ est factoriel $ p\vert a$ ou $ p\vert b$(théorème d'Euclide) soit $ a\in pA$ ou $ b\in pA$ et ainsi $ A/pA$ est bien intègre.

$ (\Longleftarrow ?)$ Cette implication est vraie hors factorialité de l'anneau.
Soit $ p=qr$ dans $ A$ alors $ qr\in pA$ d'où $ q\in pA$ ou $ r\in pA$
$ \bullet$Si $ q\in pA$ alors $ q=pa$ et $ p=par$ puis $ p(1-ar)=0$ et comme $ p\neq0$ (sinon $ pA=0$) on a $ ar=1$ et donc $ r\in A^*$ alors que $ q\notin A^*$(sinon comme $ q=pa$ et $ a\in A^*$ on aurait $ p\in A^*$ d'où $ pA=A$ et $ A/pA$ serait l'anneau nul ce qui contredirait l'intégrité de $ A/pA$) .En résumé on a $ q$ ou bien $ r\in A^*$ i.e. $ p\in \mathcal{P}(A)$.
$ \bullet$Si $ r\in pA$ on procède de manière analogue. Proposition
17: "écriture simplifiée des éléments de $ Q_A$"
Tout élément de $ Q_A$ s'écrit de manière unique sous la forme $ \frac{a}{b}$ où b est un élément simple et $ PGCD(a,b)=1$.
Démonstration
$ \bullet$ Si $ \frac{N}{D}(\neq0)\in Q_A$ alors $ N$ et $ D$ ont une décomposition primaire qui permet de simplifier les facteurs premiers de $ S$ communs aux 2 décompositions et d'obtenir $ \frac{n}{d}$.On peut écrire en décomposant $ n$ et $ d$:

$\displaystyle \frac{n}{d}=\frac{\epsilon_n \prod_{p\in S}p^{\nu_p}}{\epsilon_d\prod_{p\in S}p^{\delta_p}}=
\frac{a}{b}
$

$ a=(\epsilon_n.\epsilon_d^{-1})\prod_{p\in S}p^{\nu_p}$ et $ b=\prod_{p\in S}p^{\delta_p}$; $ b$ est bien simple et il est clair que $ PGCD(a,b)=1$ vu que $ a$ et $ b$ n'ont aucun diviseur premier commun.
Prouvons maintenant l'unicité.
Si $ \frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$ avec $ b$ et $ b'$ simples ainsi que $ PGCD(a,b)=PGCD(a',b')=1$ alors $ ab'=a'b$ d'où $ a\vert a'b$ et comme $ a$ est premier avec $ b$ on a $ a\vert a'$(théorème de Gauss) et de même on a $ a'\vert a$,finalement $ a$ et $ a'$ sont associés i.e. qu'il existe $ \epsilon\in A^*$ tel que $ a'=\epsilon a$. Or $ ab'=a'b\Longrightarrow \varphi{(ab')}=\varphi{(a'b)}\Longrightarrow
\varphi{(a)}\varphi{(b')}= \varphi{(a')}\varphi{(b)}$ or $ \varphi{(b)}=
\varphi{(b')}=1$ vu que $ b$ et $ b'$ sont simples d'où $ \varphi{(a)}=\varphi{(a')}=
\varphi{(\epsilon a)}=\varphi{(\epsilon)}\varphi{(a)}=\epsilon\varphi{(a)}$ soit $ \varphi{(a)}=\epsilon\varphi{(a)}$ et enfin $ \epsilon=1$ vu que $ \varphi{(a)}$ est inversible.
On a donc $ a=a'$ d'où $ ab'=ab$ et comme $ a\neq0$ $ a$ est simplifiable en vertu de la proposition 0;par conséquent $ b=b'$ et on a bien l'unicité annoncée.
$ \bullet$ Si $ \frac{N}{D}=0$ alors on convient de l'écrire $ 0=\frac{0}{1}$ où l'on constate bien que 1 est un élément simple et $ PGCD(0,1)=1$.
Finalement on a bien l'unicité de l'écriture simplifiée des éléments de $ Q_A$.
Remarque: tout élément $ a$ de $ A$ est aussi dans $ Q_A$ et à ce titre son écriture simplifiée sera $ a=\frac{a}{1}$ le 1 étant bien un élément simple et $ PGCD(a,1)=1$

Exemple:avec $ A=\mathbb{Z}$ on a $ Q_A=\mathbb{Q}$ et les éléments simples de $ \mathbb{Z}$ sont les entiers positifs(Si $ S=\mathcal{P}(\mathbb{N})).$
L'écriture simplifiée de $ \frac{1400}{-2750}=\frac{2^{3}.5^{2}.7}{-2.5^{3}.11}=\frac{2^{2}.7}{-5.11}$ sera donc $ \frac{-28}{55}$.

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Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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