Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
169 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Théorème de permanence de la factorialité(Gauss) next up previous
suivant: Théorème des contenus: monter: Arithmétique factorielle précédent: ANNEAUX FACTORIELS

Théorème de permanence de la factorialité(Gauss)

$ A$ est un anneau factoriel $ \Longrightarrow A[X]$ est un anneau factoriel.
(En fait Gauss a montré que $ \mathbb{Z}[X]$ était factoriel.)

On adoptera pour les polynômes non nuls de $ A[X]$ la notation:
$ P=p_0+p_1X+p_2X^2+...p_nX^n$ et $ Q=q_0+q_1X+q_2X^2+...q_kX^k$ etc...
Ces écritures supposent que $ p_n\neq0$ et $ q_k\neq0$ donc tous les coéfficients de $ P$ ne sont pas nuls et ainsi $ PGCD(p_i)$ existe même si certains des $ p_i$ sont nuls.
Définition
:
$ P\in A[X]$ sera dit primitif si et seulement si les seuls diviseurs des coéfficients de $ P$ sont les inversibles de $ A$ ce qui revient à $ P\neq0$ et $ PGCD(p_i)=1$
c'est immédiat avec la proposition 6.
Lemme
de Gauss:
$ P$ et $ Q$ primitifs $ \Longrightarrow \quad PQ$ est primitif.
Démonstration
$ \bullet$ Si $ P$ ou $ Q$ est constant, par exemple $ P$, alors $ P$ constant et primitif implique $ P$ est inversible sinon $ P$ serait non inversible,il admettrait donc un diviseur premier(proposition 2)qui bien sûr ne serait pas inversible d'où une contradiction. $ P$ étant inversible on a $ \epsilon_P=\varphi(P)=P$.De plus comme $ P$ est primitif on a $ P\neq0$ et idem pour $ Q$ donc $ PQ\neq0$ d'où d'après la proposition 8 $ PGCD(Pq_i)=\epsilon_P^{-1}.P.PGCD(q_i)\Longrightarrow
PGCD(Pq_i)=P^{-1}P=1$ i.e. $ PQ$ est primitif.
$ \bullet$ Si $ P$ et $ Q$ ne sont pas constants
Par l'absurde,si $ PQ$ n'était pas primitif ses coéfficients admettraient un diviseur non inversible qui admettrait lui-même en vertu de la proposition 2 un diviseur premier $ p$;dès lors $ A/pA$ serait intègre(proposition 16) ainsi que $ (A/pA)[Y]$ Soit $ \phi$ l'application définie par
$ A[X]\ni P=p_0+p_1X+..p_nX^n\quad\mapsto\quad \overline
{p_0}+\overline{p_1}Y+...\overline{p_n}Y^n \in (A/pA)[Y]$
C'est clair que $ \phi(PQ)=\phi(P)\phi(Q)$.
On aurait $ \phi(PQ)=\overline{0}$ car $ p$ diviserait tous les coéfficients de $ PQ$ or $ \phi(P)\neq\overline{0}$ et $ \phi(Q)\neq\overline{0}$ car $ p$ ne divise ni tous les coéfficients de $ P$ ni tous ceux de $ Q$ car $ P$ et $ Q$ sont primitifs d'où la contradiction, vu l'intégrité de $ (A/pA)[Y]$.
Définition
:contenu d'un polynôme
On rappelle que $ Q_A$ désigne le corps des fractions de $ A$.On notera conformément à l'usage $ \frac{a}{b}$ pour $ cl(\frac{a}{b})$.
Si un polynôme $ P\in Q_A[X]$ peut s'écrire sous la forme $ P=\frac{a}{b}P'$ avec
$ \frac{a}{b}\in Q_A\setminus \{0\}$ et $ P'\in A[X]$ primitif on dira que $ \frac{a}{b}$ est un contenu de $ P$ et alors nécessairement $ P\neq0$ car $ P'$ est primitif donc $ P'\neq 0$.Le polynôme nul n'a donc pas de contenu et un contenu n'est pas nul par définition.
Proposition
18:
"Deux contenus d'un polynôme non nul de $ Q_A[X]$ sont associés sur $ A$"
Démonstration
$ P=\frac{a}{b}P'=\frac{c}{d}P''\Longrightarrow \exists \epsilon\in A^*\qquad
\frac{a}{b}=\epsilon\frac{c}{d}$
Si on note $ p_i'$ les coéfficients de $ P'$ et $ p_i''$ ceux de $ P''$ comme $ a,b,c,d$ sont tous non nuls les $ adp_i'$ ne sont pas tous nuls ainsi que les $ bcp_i''$.On peut alors appliquer la proposition 8 et $ adP'=bcP''\Longrightarrow PGCD(adp_i')=
PGCD(bcp_i'')$ puis $ \epsilon_{ad}^{-1}.ad.PGCD(p_i')=\epsilon_{bc}^{-1}.bc.PGCD(p_i'')$ soit $ \epsilon_{ad}^{-1}.ad=\epsilon_{bc}^{-1}.bc$ CQFD. On va montrer que tout polynôme non nul $ P\in Q_A[X]$ admet un contenu.
Posons $ P=p_0+p_1X+...+p_nX^n\in Q_A[X] $.D'après la proposition 17 tout $ p_i$ peut s'écrire de manière unique sous la forme $ p_i=\frac{a_i}{b_i}$ avec $ PGCD(a_i,b_i)=1$ et $ b_i$ qui est simple.Comme tous les $ b_i$ sont non nuls on a $ M=PPCM(b_i)\neq0$ et si on pose$ M=b_ic_i$ alors $ p_i=\frac{a_i}{b_i}=
\frac{a_ic_i}{b_ic_i}=\frac{a_ic_i}{M}$ d'où
$ P=\frac{a_{0}c_{0}}{M}+ \frac{a_{1}c_{1}}{M}X+...+\frac{a_{n}c_{n}}{M}X^n=\frac{1}{M}(a_{0}c_{0}+
a_{1}c_{1}X+...+a_{n}c_{n}X^n)$
Posons $ D=PGCD(a_{i}c_{i})$ d'où $ PGCD(\frac{a_{i}c_{i}}{D})=1$(proposition 7) et
$ P=\frac{D}{M}(\frac{a_{0}c_{0}}{D}+\frac{a_{1}c_{1}}{D}X+...+\frac{a_{n}c_{n}}{D}X^n)=
\frac{D}{M}P'$ avec $ P'\in A[X]$ primitif.
Quant à $ \frac{D}{M}$ on dira que c'est LE contenu de $ P$ et on le notera $ C_P$.
$ D$ et $ M$ étant simples on aura $ \varphi(D)=\varphi(M)=1$.
Si $ P\in A[X]$ est primitif alors $ C_P=1$ car pour $ i=1$ à $ n\quad b_i=1$ donc

$\displaystyle M=PPCM(b_i)=1$

et $ D=PGCD(a_ic_i)=PGCD(p_i)=1$ car $ p_i=\frac{a_i}{1}=a_i=a_ic_i$ vu que $ M=b_ic_i$ donne $ 1=1c_i$ soit $ c_i=1$.

next up previous
suivant: Théorème des contenus: monter: Arithmétique factorielle précédent: ANNEAUX FACTORIELS
Guy_Philippe
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page