La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

De tous temps les mathématiciens ont été fascinés par les problèmes liés à la description des solutions d'une équation algébrique. Euclide a par exemple décrit en son temps l'ensemble des solutions en nombre entier de la fameuse équation

$\displaystyle x^2+y^2=z^2.$

Mais cela est extrêmement difficile pour des équations plus compliquées. En

, Yu. V. Matiyasevich a prouvé que le

problème de Hilbert était insoluble. Cela signifie qu'il n'existe pas de méthode générale permettant de déterminer quand des équations algébriques possédent ou pas des solutions en nombre entier. Dans des cas particuliers les mathématiciens pensent tout de même pouvoir affirmer des choses. Quand les solutions sont situées sur une variété abélienne, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer avance que la taille du groupe des solutions rationnels est reliée au comportement de la fonction zeta $\zeta(s)$ associée au voisinage de

. Cette conjecture étonnante affirme que si $\zeta(1)=0$ alors il y a une infinité de solutions rationnelles et réciproquement, si $\zeta(1)\neq 0$ , il y a seulement un nombre fini de solutions rationnels.