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Voici une petite énigme qui pourrait servir de divertissement au sujet du théorème des valeurs intermédiaires :

(ne recourir aux indices que lorsqu'on " craque ")

Un moine part de son monastère à 7 h du matin. Il monte jusqu'au sommet d'une montagne, s'arrêtant quand il est fatigué et selon son rythme. Il arrive au sommet à midi. Il y passe l'après midi, y dors et repart le lendemain à 7 h, il suit exactement le même chemin qu'à l'allé pour arriver à midi au monastère. Existe-t-il un endroit où le moine serait passé exactement à la même heure que la veille ?

Indice 1 : Nous ne demandons pas de définir cet endroit, ni l'heure du passage, mais bien si oui ou non ce lieu existe.

Indice 2 : Pour mieux comprendre, il faut imaginer que le jour de l'ascension, un autre moine descend, partant à 7 h et arrivant à 11 h au monastère. Ceci ne change rien au problème.

Réponse : Ce lieu existe car les deux moines vont se rencontrer.

Aspect mathématique : Soit F(t) la distance monastère-moine en fonction du temps lors de l'ascension et g(t), lors de la descente. Ces deux fonctions sont continues. F(t)-g(t) l'est aussi. F(0)-g(0)<0 et F(midi)-g(midi)>0 donc il existe un temps t° où f(t°)-g(t°)=0 par le théorème des valeurs intermédiaires.

Remarque : On peut souvent retrouver des questions qui sont courantes en mathématiques dans des énigmes ou des jeux. Ces questions ne sont pas toujours naturelles dans la vie courante. Par exemple, le fait ne demander que la preuve de l'existence de ce lieu est parfois déroutant.

Lionel_Maillot_pour_les.mathematiques

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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