Oups... si la fonction est radiale, i.e. $f(x)=f(|x|)$ pour tout $x$, et si tu fais tendre l'épaisseur des couronnes vers $0$ je pense que ca doit marcher...

ça ne résout rien du tout car tu obtiens une condition sur les $a_r$ qui ne donnent rien car ta définition des $a_r$ utilise un min et c'est le max qui nous intéresse.

Exercice : montrer que $R_{\Omega}$ est l'intersection de toutes les sous-classes $C$ de $V$ où $C$ sont des $ZF-$ univers contenant tous les ordinaux de $V$.

qu'ai-je fait ? Où je bloque ?
J'ai lu et compris l'énoncé de l'exercice, puis j'ai regardé la review de Notre Dame of Logic. Il semble que ça arrache le sac à mémé comme exo ... ah non ils parlent d'un lemme faux qui a été supprimé dans cette édition, je vais pas avoir peur de réfléchir alors.
Des idées ?

S

Solution (non convaincante)
soit $\mathcal{O}_n \subseteq C \subset V$ qui soit un $ZF-$univers
\begin{itemize}
\item $\emptyset \in C$
\item $C$ est stable par passage à la puissance d'un ensemble
\item $C$ est stable par passage à l'union sur un ensembe
\end{itemize}
j'utilise pas l'axiome de substitution ... je dois raconter n'imp
C'est l'axiome de substitution qui permet de garantir l'existence de cette suite ($R_\alpha$) via la récurrence transfinie rappellée dans un post précédent.
Donc $\forall \alpha \in \mathcal{O}, R_{\alpha} \in C$ et même $R_{\alpha} \subseteq C$ parce que $C$ est supercomplète.
Et donc $\cup_{\alpha \in \mathcal{O}} R_{\alpha} \subseteq C$, soit en fait $R_\Omega \subseteq C$.

Correct ?

Dans le cas fractionnaire, regarde avec la fonction $\Gamma$ ? Je ne vois pas trop comment faire sans…

Salut Ayman,

Avant de morfler sur le 1.8.1 dont j'avais jamais entendu parler, je voulais juste remarquer que j'ai seulement besoin ici de la mesurabilité de $x\mapsto \|f(x,.)\|_{\infty}$... et non d'identifier $L^{\infty}(X\times Y)$ avec $L^{\infty}(X,L^{\infty}(Y))$.

Chers amis
J'ai remarqué que pendant ces grandes vacances les questions posées ne se limitaient pas à la sempiternelle géométrie euclidienne plane mais s'intéressaient à des géométries plus élaborées comme la symplectique, merci Mister Da!
Ici je m'intéresse au fibré tangent à notre sympathique sphère de Riemann et je cherche à en construire effectivement des sections qui ne soient pas triviales.
Je pars de la carte obtenue par projection stéréographique à partir du pôle Nord qui projette l'ouvert $U$ de la sphère privée du pôle Nord sur son équateur qui s'identifie naturellement à $\R^2$.
Dans une telle carte, un champ de vecteurs sur la sphère, restreint à $U$ aura pour écriture:
$\R^2 \longmapsto \R^2; (x,y) \mapsto (X(x,y), Y(x,y))$

Inversement si on veut construire un champ de vecteurs sur la sphère, on commence par se donner sa restriction à l'ouvert $U$ en se donnant a priori son écriture $\R^2 \longmapsto \R^2; (x,y) \mapsto (X(x,y), Y(x,y))$ dans la carte stéréographique Nord et en priant le bon dieu s'il existe de faire le miracle .pour que ce fourbi ait le bon goût de se prolonger au pôle Nord.
Ce miracle aura-t-il lieu pour l'application la plus naïve qui soit, à savoir l'application constante: $ X(x,y)= \alpha, Y(x,y)= \beta$?
Si oui, peut-on donner sans calcul la valeur du champ ainsi prolongé au pôle Nord.
Quelles sont alors les trajectoires de ce champ de vecteurs sur la sphère?
D'une façon générale, quelles sont les conditions que doivent vérifier les fonctions $X$ et $Y$ pour que le champ ainsi défini sur $U$ se prolonge au pôle Nord?
Amicalement
Pappus

Salut,

avec $C_r$ la couronne de rayon $r$ et d'épaisseur $1$ et $a_r=\min(|f|,C_r)$, la condition d'intégrabilité assure que

$$\sum_{r\in \mathbb{N}}a_r^2r^Ne^r<+\infty$$

mais $f$ étant lipschitzienne il existe $C>0$ tel que $a_r\leq cr$ et donc
$a_r^{N+2}e^r\leq a_r^2r^Ne^r$ ce qui permet de conclure ...

Une tentative de piste :

La quantité en question est bien sûr bornée sur tout compact, il s'agit du comportement à l'infini qui pose problème.

Une réaction naïve quand on a une fonction intégrable c'est de dire qu'elle tend vers $0$ en l'infini, ici ça nous arrangerait bien puisque ce serait aussi le cas pour $f$ et tout serait terminé. Le contre-exemple classique à cette situation c'est les fonctions en "dents de scie", j'imagine qu'ici c'est justement prohibé par la lipscitzianité (on se comprend) de $f$.

--
Ayman

Je crois me souvenir qu'il y a des trucs assez infâmes avec la mesurabilité des éléments de $L^{\infty}(X\timesY)$. En régle générale cet ensemble est toujours plus gros (justement à cause de la mesurabilité) que $L^{\infty}\big(X;L^{\infty}(Y)\big)$.

Il y a ce polycopié de Droniou qui est un peu indigeste mais qui a le mérite d'être assez auto-contenu :
[www-gm3.univ-mrs.fr]
(J'avais une version .pdf, je ne sais plus où)

Regarde la section 1.8.1., un contre-exemple est donné. La tête de la fonction est toute simple mais la preuve prend un pavé :[

Ca reste pathologique comme situation, et il n'y a vraiment que la mesurabilité qui pose problème : la notion de mesurabilité utilisée pour intégrer des fonctions à valeurs dans un Banach a une définition un peu différente de celle pour les fonctions à valeurs dans $\R_+$ (ce que Droniou nomme "$ \mu$-mesurabilité"). En gros si tu es à valeurs dans un Banach et que tu prends la définition usuelle de mesurabilité (avec les boréliens de ton Banach), celle-ci ne passe pas à la limite simple je crois et ça pose problème quand tu définis l'intégrale.

A +,
Ayman

Le theoreme de Gauss Bonnet $\int_{M}K=2\pi\chi(M)$ pour M surface compact sans bord
où K la courbure de Gauss
Donc pour la surface $z^4+(x^2+y^2-1)(2x^2+3y^2-1)=0$ homéomorphe au tore on a $\int_{M}K=0$

1/ Est ce correct ?


2/ En dehors d'un calcul , comment comprendre $\int_{M}K=2\pi\chi(M)$ ?

merci pour vos lumières

Bonjour

Je voudrais savoir s'il existe des tables, un programme informatique ou une méthode algébrique simple ou "rapide" donnant les valeurs de $\dbinom{n}{k}$ pour $n$ entier et $k$ rationnel (j'entends "fractionnaire") ?
Par exemple, comment calculer $\dbinom n {\frac{3}{2}}$ ? Je n'ai rien trouvé de satisfaisant jusqu'ici et j'appréhende la méthode de calcul par les factorielles généralisées d'Euler...
Merci pour toute aide !

Hi

J'ai un problème à vous proposer dont je n'ai pas la solution. Soit $f$ une fonction Lipschitzienne sur $\mathbb R^N$ telle que
\[
\int_{\mathbb R^N} |f(x)|^2 e^{|x|} dx < \infty
\]
Montrer alors que $|f(x)| ^{N+2} e^{|x|}$ est borné.

Mon cher bs
J'ai trouvé un point de chute avec accès à la toile pour quelques jours et j'en profite pour lire ta prose.
Je ne vois pas très bien où est la difficulté.
Ca marche bien pour la parabole qui admet un paramétrage rationnel évident puisque c'est un graphe mais il me semble que des paramétrages rationnels d'une ellipse, ça existe aussi et qu'ils sont faciles à obtenir sur son équation réduite.
Il va de soi que toute cette théorie des normales à une conique issues d'un point est connue depuis belle lurette et on peut la trouver dans tous les cours de géométrie analytique classiques comme le Commissaire et Cagnac ou bien le Niewenglowski!
J'ai même entendu dire qu'Apollonnius connaissait les développées des coniques, voir un numéro récent de Quadrature.

Voici un exo amusant?, sans doute rédigé dans le Niewenglowski.
On part d'une ellipse $E$ et d'un point $P$ extérieur à l'ellipse.
On mène les tangentes $PT_1$ et $PT_2$ à l'ellipse. Les normales en $T_1$ et $T_2$ à l'ellipse se coupent en $Q$.
Du point $Q$ on mène les deux autres normales $QT_3$ et $QT_4$ à l'ellipse.
Les tangentes en $T_3$ et $T_4$ à l'ellipse se coupent en un point $P'$ dont on demande de calculer les coordonnées en fonction de celles de $P$.
Bon courage aux audacieux qui tenteront ce calcul. Nos aïeux n'avaient pas froid aux yeux!
Amicalement
Pappus