Chers amis
J'ai remarqué que pendant ces grandes vacances les questions posées ne se limitaient pas à la sempiternelle géométrie euclidienne plane mais s'intéressaient à des géométries plus élaborées comme la symplectique, merci Mister Da!
Ici je m'intéresse au fibré tangent à notre sympathique sphère de Riemann et je cherche à en construire effectivement des sections qui ne soient pas triviales.
Je pars de la carte obtenue par projection stéréographique à partir du pôle Nord qui projette l'ouvert $U$ de la sphère privée du pôle Nord sur son équateur qui s'identifie naturellement à $\R^2$.
Dans une telle carte, un champ de vecteurs sur la sphère, restreint à $U$ aura pour écriture:
$\R^2 \longmapsto \R^2; (x,y) \mapsto (X(x,y), Y(x,y))$

Inversement si on veut construire un champ de vecteurs sur la sphère, on commence par se donner sa restriction à l'ouvert $U$ en se donnant a priori son écriture $\R^2 \longmapsto \R^2; (x,y) \mapsto (X(x,y), Y(x,y))$ dans la carte stéréographique Nord et en priant le bon dieu s'il existe de faire le miracle .pour que ce fourbi ait le bon goût de se prolonger au pôle Nord.
Ce miracle aura-t-il lieu pour l'application la plus naïve qui soit, à savoir l'application constante: $ X(x,y)= \alpha, Y(x,y)= \beta$?
Si oui, peut-on donner sans calcul la valeur du champ ainsi prolongé au pôle Nord.
Quelles sont alors les trajectoires de ce champ de vecteurs sur la sphère?
D'une façon générale, quelles sont les conditions que doivent vérifier les fonctions $X$ et $Y$ pour que le champ ainsi défini sur $U$ se prolonge au pôle Nord?
Amicalement
Pappus

Bonjour

Je voudrais savoir s'il existe des tables, un programme informatique ou une méthode algébrique simple ou "rapide" donnant les valeurs de $\dbinom{n}{k}$ pour $n$ entier et $k$ rationnel (j'entends "fractionnaire") ?
Par exemple, comment calculer $\dbinom n {\frac{3}{2}}$ ? Je n'ai rien trouvé de satisfaisant jusqu'ici et j'appréhende la méthode de calcul par les factorielles généralisées d'Euler...
Merci pour toute aide !

Hi

J'ai un problème à vous proposer dont je n'ai pas la solution. Soit $f$ une fonction Lipschitzienne sur $\mathbb R^N$ telle que
\[
\int_{\mathbb R^N} |f(x)|^2 e^{|x|} dx < \infty
\]
Montrer alors que $|f(x)| ^{N+2} e^{|x|}$ est borné.

Bonjour,

Avez vous déjà vu un théorème à la Fubini dans $L^{\infty}$ affirmant :

---

Théorème : Soient $X,Y$ deux espaces mesurés et $f\in L^{\infty}(X\times Y)$, alors ... et
$$\|f\|_{\infty}=\big\|\big(x\mapsto \|f(x,.)\|_{\infty}\big)\big\|_{\infty}=\big\|\big(y\mapsto \|f(.,y)\|_{\infty}\big) \big\|_{\infty}$$

---

Ca me parait correct même si je n'ai pas vérifié les questions de mesurabilité...

Bonjour,

Mes souvenirs sont lointains.

Pour résoudre l'équation suivante d'inconnue complexe $z$, $z^2-(1-2i)z+1-7i=0$. Et en partant de l'égalité $(x+iy)^2 = -7+24i$, je vous passe les détails, on aboutit au système constitué des 3 équations suivantes
$$ \begin{cases}
x^2-y^2 &= -7\hspace{1.85cm}(1) \\
xy&=12 \hspace{2cm}(2) \\
|x+iy|^2&=|-7+24i|\qquad(3)
\end{cases}$$
Comment fait-on pour arriver à $(3)$ ?
Je me souviens bien sûr de l'égalité $|z|^2=x^2+y^2$ pour un complexe $z$ quelconque. Mais ensuite, j'ai perdu mes automatismes sur les complexes.

Merci pour votre rappel.
Cordialement,
Clotho

Est-ce $z^4+(x^2+y^2-1)(2x^2+3y^2-1)=0$ est homéomorphe à la sphère $S^2$ de $\R^3$ ?
Je l'ai dessiné sur maple, je trouve qu'elle ressemble à un ballon un peu aplati.
Je dirais oui mais je ne suis pas certain.

Cher tous,

si cela n'est pas trop hors sujet, je voudrais attirer l'attention des etudiants en maths-fi qui visitent regulierement ce forum probabilite, qui n'est pas toujours la meilleurs place pour poser leurs questions - un nouveau forum specialise, qui je pense possede un fort potentiel, est en train de se creer: il est en phase de creation et a besoin de gens motives comme il y en a beaucoup ici. Cela serait une place beaucoup plus adaptee pour les questions orientees math-fi.

Bonjour à tous,

Je suis actuellement confronté à un problème que je ne suis pas parvenu à résoudre, pourtant je suis persuadé qu'il s'agit d'une problématique connue des mathématiciens (je suis chercheur en informatique).

Voici le problème.
Je dispose d'un vecteur $x=(x_1,\dots,x_n)$ à valeurs entières (entiers relatifs), non nécessairement distinctes.
Soit $s$ la somme de $k$ valeurs du vecteurs, éventuellement les mêmes ($k$ est fixé), prises aléatoirement.
Par exemple, pour $k = 2$, $s = x_1 + x_1$ est une possibilité. $k$ peut être supérieur à $n$.
En gros, on tire $k$ fois une valeur du vecteur, avec relance, et on les somme.

Plus précisément, soit $y=(y_1,\dots,y_k)$ un vecteur d'indices aléatoire, avec $y_i \in \{1,\dots,n\}$.
A partir de $x$ et en fonction de $y$, on peut générer une somme $s = x_y_1 + x_y_2 + \dots + x_y_k$.

Ma question est la suivante : étant donné un vecteur $x$, quelle est la probabilité qu'une somme $s$ obtenue à partir d'un vecteur $y$ aléatoire (mais de taille connue) soit supérieure à une constante donnée $c$ ?

Je ne cherche pas une réponse théorique, mais une solution pouvant être mise en pratique par un algorithme polynomial en temps et en espace.

Par exemple, si $x=(-1, -1, 5)$ et $k=4$, je somme 4 valeurs, chacune étant soit -1, soit 5, sachant que -1 a deux fois plus de chances d'apparaitre que 5.
Après une simple simulation sur les $3^4 = 81$ cas possibles, cela nous donne les probabilités suivantes :
$p(s=-4) = 16/81$
$p(s=2) = 32/81$
$p(s=8) = 24/81$
$p(s=14) = 8/81$
$p(s=20) = 1/81$
Donc, par exemple, $p(s>0) = 65/81$.
Comment arriver à ce résultat sans simulation ?

Je remercie les courageux qui m'auront lu jusqu'au bout.
Si vous êtes certains qu'un tel calcul est impossible par un algorithme polynomial (ce qui était ma première conviction), je suis également preneur, même si je serais déçu...

Hello,

j'ai du mal à voir la différence entre un opérateur linéaire borné et un opérateur linéaire continu. Quelqu'un pourrait il m'expliquer la différence ?

Bonjour.

Je bute sur un exercice qui semble élémentaire :

Montrer qu'une droite du plan, muni de sa topologie usuelle, ne possède pas de base dénombrable de voisinages.

Visuellement, ça semble vrai, et le problème viendrait du "comportement" à l'infini des voisinages, où ils peuvent rétrécir très rapidement autour de la droite. Mais je vois mal comment en déduire une preuve.

Merci d'avance pour vos indications. :)

Bonjour à tous,

Quelqu'un pour démontrer
$$\sum_{k+\ell+m = n}\binom nk \binom n\ell \binom nm = \sum_{k+\ell+m = 2n}\binom nk \binom n\ell \binom nm = \binom {3n}n\;?$$

amicalement,

e.v.

Bonjour,

Indicatrice d'Euler, encore.

Si l'on excepte $0$ et $1$, connaît-on d'autres valeurs d'adhérences de $\phi(n)/n$ qui ne sont pas des valeurs prises par la suite ?

Bonjour,

Aujourd'hui je vois une propostion dans un livre comme suit :

Soit $O$ un ouvert relativement compact de $\mathbb{R}^3$ et $\phi : O\to \mathbb{R}^3$ une application différentiable. Soit $x\in \mathbb{R}^3$ une valeur régulière de l'application $\phi$. Alors, comme $O$ est relativement compact, $\phi^{-1}(x)$ est un sous-ensemble fini de $O$.

J'ai l'impression que cette proposition n'est pas correcte.

Qu'en pensez-vous?

Merci d'avance.

Bonjour,

la question que je me pose est la suivante : dans un espace métrique, soit O un ouvert non vide, peut on toujours trouver une boule B telle que $Adh(B)\in O$, à quelles conditions ? Pourquoi ?

Merci.

Bonjour,

Il y a un truc de base que je ne comprends pas dans une démo du Breizis et qui correspond à une grosse lacune que je me traîne depuis longtemps.

"Soient E et F deux espaces de Banach, T un opérateur linéaire, continu de E dans F qui est de plus bijectif. Le théorème de l'application ouverte nous dit qu'il existe un c tel que $||Tx||<c \Rightarrow ||x||<1,\ \forall x \in E$" . Jusque là tout va bien pour moi.
Ensuite il dit : "Par homogénéité $||x||\leq \dfrac{||Tx||}{c}$".
Quelqu'un pourrait-il avoir la gentillesse de me détailler proprement une bonne fois pour toutes tout ce qui est contenu dans ce "par homogénéité".
Merci de m'aider à combler cette lacune inexcusable.

Salut à tous,

Voilà deux résultats dont je ne connais que des preuves non constructives :

1) Pour tout $p>2$ il existe des éléments de $L^p(\R)$ dont la transformée de Fourier (au sens tempérée) n'est pas une fonction localement intégrable.

2) De même, pour tout $s>0$, $H^{-s}(\R)$ contient des éléments qui ne sont pas des fonctions localement intégrables.

Dans les deux cas on s'en sort en utilisant le graphe fermé pour construire une inégalité dont on on prouve qu'elle ne peut avoir lieu en jouant sur une famille de Gaussiennes bien choisie.

Quelqu'un aurait-il un exemple concret pour le 1) ou le 2) ?

Je dois dire que lorsqu'on m'a posé le 2) j'étais presque sûr qu'il existait des contre-exemples très simples de type masse de Dirac, mais cela ne marche que pour $s>1/2$...

A +,

--
Ayman

C'est Noradan qui m'en a donné l'idée.
Puisque les vacances sont encore longues, je vais étudier un peu sous toutes les coutures la configuration de trois normales concourantes à une parabole.
Cela nous fera passer un peu le temps, oublier la canicule ainsi que toutes les affaires qui nous attendent à la rentrée!

Soit donc $P$ un point d'un plan euclidien contenant une parabole.


[attachment 16588 NormalesParaboles.gif]

J'ai tracé en jaune la région où doit se trouver $P$ pour qu'il existe 3 normales à la parabole issues de $P$.
Soient $M_1$, $M_2$, $M_3$ les pieds de ces 3 normales.
On définit le point $Q$ par:
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM_1} +\overrightarrow{PM_2} +\overrightarrow{PM_3} $

Montrer que l'application $P \mapsto Q$ est la restriction d'un endomorphisme affine du plan dont on déterminera le rang et l'image.
Amicalement
Pappus

Bonjour,

Gerbes et/ou épis ont été étudiés dans certains problèmes, par exemple:
-> EDHEC 2000- partie 3
-> CCP MP 2006 Épreuve 2 - partie ll
-> Capes externe 1993: [megamaths.perso.neuf.fr]
-> Agrégation math géné 1979: [megamaths.perso.neuf.fr]

Une définition de gerbe et/ou épi ? D'un problème à l'autre, les définitions diffèrent sensiblement (parfois on considère des droites, parfois des vecteurs), deux exemples:

1) soit un espace vectoriel de dimension $n$, et un réel $t$, dans ce cas, c'est une famille de $m$ vecteurs vérifiant les conditions suivantes :
--> ces $m$ vecteurs $(x_1,x_2,...,x_m)$ sont de norme 1, et,
--> pour tout couple $(i,j)$ d'entiers distincts entre $1$ et $m$, $<x_i,x_j>=t$

2) Ensemble de $m$ droites concourantes dans un espace affine tel que toute paire formée de deux de ces droites aient le même angle; on parle parfois de famille équiangulaires..

Ces épis proposent des résultats à la fois amusants et surprenants. J'essaie de trouver sans succès sur la toile un cours ou un pdf sur le sujet, ou alors peut-être (certainement) connaissez-vous un livre pour une approche théorique de ces objets mathématiques, ce afin de m'aider à remettre en ordre toutes ces différentes approches ?

Merci bien, amicalement.