Bonsoir.
Je cherche à étudier les orbites non "périodiques (à partir d'un certain rang)" de l'application de doublement de l'angle, c'est-à-dire $$\begin{array}{rrcl}
f:&\mathbb{U}&\rightarrow&\mathbb{U}\\
& x&\mapsto& x^2
\end{array}$$ où $\mathbb{U}$ est le cercle unité.
Plus précisément, je cherche à décrire les ensembles (adhérence, équirépartition, etc) $(f^n(x_0))_{n\in\mathbb{N}}$ ($f^n$ désigne "$f$ composée $n$ fois avec elle-même") où $x_0$ est de la forme $e^{i\theta}$ avec $\theta \in \mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Q}$.

-> Ce que je cherche à montrer exactement, c'est que "la plupart" (en un sens à préciser) de ces orbites sont denses, mais qu'il en existe certaines dont l'adhérence est homéomorphe à l'ensemble de Cantor.

Je ne sais pas du tout comment procéder. Si vous avez des pistes de recherche où des théorèmes/notions utiles pour résoudre mon problème je suis preneur !
Merci par avance.
PS: J'ai le niveau maths spé.

Bonjour l'assemblée,
J'ai vague souvenance que si on a deux probabilités de densités respectives $f$ et $g$, la distance en variation totale entre elles est $k\times \int\min(f,g)$ avec $k=\frac{1}{2}$ ou $k=2$, je ne sais plus. Est-ce exact ? Sinon je confonds certainement avec quelque chose, y a-t-il une autre distance en relation avec $\int\min(f,g)$ ?

EDIT : sorry ce serait plutôt $2(1-\int\min(f,g))$

Bonjour

un énoncé propose de déterminer un équivalent de $\sum\limits_{p=1}^n 2^p \ln p$ quand $n$ tend vers $+\infty$

J'ai trouvé que cet équivalent est $2^{n+1}\ln n$. Je ne compte pas donner la méthode utilisée tout de suite.

Comment feriez-vous pour obtenir ce résultat ?

Cordialement,

Jean-éric.

Bonjour,

Dans la lignée d'une question que j'avais déjà posée, je cherche des exemples naturels d'espace topologiques dont le groupe fondamental est le suivant:

$$G_n=\langle x_1,\dots, x_n \vert x_1x_2\dots x_n\text{ est central}\rangle$$

Bien sur, $G_n$ est isomorphe à $F_{n-1}\times \Z$ (où $F_{n-1}$ est un groupe libre) donc par exemple le produit de $\C$ privé de $n-1$ points par un cercle convient, si je ne dit pas d'ânerie. Mais ca brise la symétrie et je cherche un truc plus naturel.

Si je demande ça c'est que je tombe sur un espace topologique que j'ai du mal à "formaliser" mais dont je conjecture que le groupe fondamental est $G_n$.

Je prends $\zeta$ une racine primitive $n$-ème de l'unité, et pour $z\in \R, z\geq 0$ je regarde l'espace

$$\C-\{z,\zeta z,\dots,\zeta^{n-1}z\}$$

sauf que j'autorise $z$ à varier (je ne sais pas si c'est clair). Du coup le groupe fondamental change suivant que $z=0$ ou $z\neq 0$. J'ai conscience que c'est assez mal défini et c'est bien mon problème :)

Une autre façon de voir, peut être, c'est de dire que je prends $\C-\{z,\zeta z,\dots,\zeta^{n-1}z\}\times[0,1]$ (donc $\C\times [0,1]$ auquel j'enleve $n$ "chemins verticaux" images les un des autres par l'action de $\zeta$) mais que je regarde "à homotopie de ces chemins près" c'est à dire que je les autorise à se croiser en 0.

Si quelqu'un a une piste pour écrire tout ça rigoureusement je suis preneur !

Bonjour,

Je dois faire un exposé à l'anglais, et je m'aperçois que c'est une catastrophe, je ne sais pas du tout comment on dit certaines choses très simples (et pourtant j'ai déjà assisté à des exposés en anglais...).

Ne vous moquez pas... Est-ce que :
\begin{enumerate}
\item $f^{-1}(c)$ se dit "f minus one of c" ?
\item $F\times G$ se dit "F cross G" ?
\item $\frac{f}{g}$ se dit "f on g" ?
\item Et comment diriez-vous $\frac{\partial f}{\partial x}$ ?
\end{enumerate}
D'avance merci,
Cordialement,
Omega.

Bonsoir

Un nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle. On considère $d_1, d_2, d_3$ les tangentes respectives à $A,B,C$ au cercle circonscrit au triangle $ABC.$. Soit $D,E,F$ les milieux respectifs de $[BC], [CA], [AB].$ On considère les droites perpendiculaires passant respectivement par $D,E,F$ à $d_1, d_2, d_3.$
Montrer que les trois droites perpendiculaires sont concourantes en le centre du cercle d'Euler.

Bonsoir,

comme je le disais ce soir à notre ami Yalcin, je me suis aperçu d'un truc intéressant ces jours-ci.
On considère une fonction de la variable complexe entière d'ordre fini, fonction notée $F$, l'ensemble de ses zéros noté $Zer(F)$ et le groupe $G_{F}$ des isométries de $\mathbb{C}$ qui conservent $Zer(F)$ globalement.

Soit $g$ un élément de $G_{F}$. On note $\phi_{g}$ l'opérateur qui à $F$ associe $g\circ F\circ g^{-1}$.
Alors $\phi_{g}(F)=F$ implique $g(0)=0$.

En effet soit $s$ un zéro de $F$. Par hypothèse, $g^{-1}(s)$ est aussi un zéro de $F$. Donc $(F\circ g^{-1})(s)=0$.
Dès lors, si $g(0)\neq 0$, alors $g\circ F\circ g^{-1}(s)\neq 0$. Donc $s$ est un zéro de $F$ mais pas un zéro de $\phi_{g}(F)$. Donc $\phi_{g}(F)\neq F$.

Par contraposition, $\phi_{g}(F)=F$ implique $g(0)=0$.

Qu'en pensez-vous ?

De possibles développements à venir demain ou plus tard dans la semaine...

Bonjour, on me demande de montrer que $\{1,i,-1,-i\}$, muni de la loi de multiplication usuelle, qui est le groupe des éléments inversibles de l'anneau des entiers de Gauss, est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$. Sommes-nous d'accord que ce n'est pas possible?
Parce qu'il me semble que s'il existe un homomorphisme de groupes $\phi$ entre les deux, on aurait $\phi(1) = (\bar{0},\bar{0})$ et : $\phi(-1) = \phi(i^2) = \phi(i) + \phi(i)$. Or, pour tout élément $a \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, on a $a+a = (\bar{0},\bar{0})$ d'où $\phi(-1) = (\bar{0},\bar{0})$ et $\phi$ n'est donc pas un isomorphisme.

Bonjour

Si $f$ est une fonction continue, alors le support de $f$ est l'ensemble $\supp f= \overline{\{x \in \Omega, f(x) \neq 0\}}$

Et si $f$ est mesurable, alors son support est donné de la manière suivante :
Soit $(\omega_i)_i$ une famille d'ouverts de $\Omega,$ telle que $f= 0$ presque partout sur $\omega_i,$ et on pose $\omega= \cup_i \omega_i$ alors $f= 0$ sur $\omega$ presque partout, et $\supp(f)= \Omega \setminus \omega.$

Je ne sais pas comment faire le lien entre les deux définitions, et montrer que dans le cas où $f$ est continue, il y a équivalence entre les deux définitions du support.

Bonsoir,
je cherche à majorer les moments d'une intégrale stochastique en montrant pour $T>0$ et $m\geq 1$
$$\textbf{E} \left| \int_0^T X_t dW_t \right|^{2m}\leq (m(2m-1))^mT^{m-1}\textbf{E} \int_0^T |X_t|^{2m} dt$$
avec $W$ un brownien standard, $X$ un processus adapté vérifiant $\textbf{E} \int_0^T |X_t|^{2m} dt<\infty$.
(cf. Karatsas Shreve p163)

En appliquant la formule d'Ito à la fonction $|\cdot|^{2m}$ et en posant $M_s= \int_0^s X_t dW_t$, le passage à l'espérance donne

$$\textbf{E} \left|M_t \right|^{2m}= (m(2m-1)) \textbf{E} \left( \int_0^t |M_s|^{2m-2}X_s^2 ds\right)$$
Je souhaiterais faire une récurrence sur $m$ et utiliser alors l'inégalité qui serait vérifiée pour $|M_s|^{2m-2}$ mais je n'arrive pas à appliquer mon hypothèse de récurrence à $\textbf{E}(|M_s|^{2m-2}X_s^2)$ tel quel.

Merci de votre aide

Bonjour tous

J’essaie de faire en vain la preuve de l'existence d'un entier \(k\in \mathbb{Z}^{*}\) qui réponde aux contraintes suivantes :

\(0< a+k(y_{1}-y_{2}-1) \leq d_{y}\)
\(0< b+k(x_{1}-x_{2}+1) \leq d_{x}\)
où \((d_{x},d_{y})\in \mathbb{Q}^{2}\), \((a,b,x_{i},y_{i})\in \mathbb{Z}^{4}\), \(0<a\leq b\), \((y_{1}-y_{2}-1,x_{1}-x_{2}+1)\neq(0,0)\), et \((y_{1}-y_{2}-1)(x_{1}-x_{2}+1)\geq 0\)
 

Avez-vous, s'il vous plaît, des idées de comment y parvenir ? Je suis parti sur les cas où \((y_{1}-y_{2}-1)\) et \((x_{1}-x_{2}+1)\) sont tous positifs ou négatifs. cela me permet d'aboutir à des contraintes de la forme \(\dfrac{-b}{x_{1}-x_{2}+1}< k\leq \dfrac{\delta _{x}-b}{x_{1}-x_{2}+1}\) \(\dfrac{-a}{y_{1}-y_{2}-1}< k\leq \dfrac{\delta _{y}-a}{y_{1}-y_{2}-1}\) ou \(\dfrac{-b}{x_{1}-x_{2}+1}> k\geq \dfrac{\delta _{x}-b}{x_{1}-x_{2}+1}\)
\(\dfrac{-a}{y_{1}-y_{2}-1}> k\geq \dfrac{\delta _{y}-a}{y_{1}-y_{2}-1}\)
Dans chacun des cas l'existence de $k$ est montrée si \(\lfloor borne _{superieure}\rfloor \geq \lceil borne _{inferieure}\rceil\)
Mais après je bloque.

Salut,

Soit $ B^{1}, B^{2} $ deux mouvements brownien orthogonaux. i.e. $ \langle B^{1}, B^{2}\rangle = 0 $
1) Montrer que ces deux mouvements brownien sont indépendants.

Je sais que $ B^{1}\amalg B^{2} \Longleftrightarrow \forall s,t,\ \mathbb{E}(B_{s}^{1}B_{t}^{2})=0, $ mais je n'ai pas trouvé une piste pour le démontrer.
Merci pour toute idée.

Bonjour,

A partir d'une fonction $T$-périodique dans $L^1(0,T)$ on peut calculer la suite de coefficients $\left(c_n\right)_{n\in\mathbb{Z}}$ appartenant à $\ell^\infty(\mathbb{Z})$. Donc en appelant $\mathcal{F}$ cette opération on peut écrire $\mathcal{F}\colon L^1(0,T)\to\ell^\infty(\mathbb{Z})$.

J'ai vu dans un autre cours le raffinement suivant $\mathcal{F}\colon L^2(0,T)\to\ell^2(\mathbb{Z})$.

Je me demande si on a le droit de généraliser à coup d'inégalité de Hölder de la manière suivante : $\mathcal{F}\colon L^p(0,T)\to\ell^q(\mathbb{Z})$ avec la contrainte $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$.

D'autre part, est-ce que $p=q=2$ est le seul cas où on peut avoir des espaces de Hilbert dont les produits scalaires sont invariants par l'application $\mathcal{F}$ ?

Je vous remercie par avance de votre précieuse aide.

Cordialement,
Mister Da

Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer quelles sont les différences, pour une application linéaire $u : E \longrightarrow F$, entre la notion d'adjoint de $u$ et celle de transposée de $u$ ?

Voici les définitions que je connais :
Si $E$ et $F$ sont des espaces préhilbertiens et $u: E \longrightarrow F$, alors, s'il existe, l'adjoint $u^*$ de $u$ vérifie : $$\forall (e, f) \in E \times F \ , \ \left < u(e) \,; f \right >_F = \left < e \,; u^*(f) \right >_E \ .$$
Si $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels et $u : E \longrightarrow F$, alors ${}^t u : F^* \longrightarrow E^*$ est définie par : $$\forall f^* \in F^*\ , \ {}^t u (f^*) = f^* \circ u \ .$$
Si $E$ et $F$ sont euclidiens ou hermitien, matriciellement, cela est la même chose. Mais pourtant ${}^t u : F \longrightarrow E$ et $u^* : F \longrightarrow E$ , si je ne dis pas de bêtise. Bon, c'est un changement de base.
Quels sont donc les liens, s'ils en existent, entre $u^*$ et ${}^t u$ lorsque $E$ et $F$ sont préhilbertiens de dimension infinie ?
Que sait-on de l'existence de l'adjoint de $u$ si $E$ et $F$ sont de dimension infinie ?

Typiquement, le genre de questions que je me pose est semblable à celle-ci : je voudrais savoir si toute application linéaire $u : \mathbb{K} [X] \longrightarrow \mathbb{K} [X]$ possède un adjoint pour le produit scalaire $$ \begin{array}[t]{llll} \varphi : & \mathbb{K} [X]^2 & \longrightarrow & \mathbb{K} \\ & (P ; Q) & \longmapsto & \displaystyle {\sum _{n \geq 0} p_k q_k} \ ,\end{array}$$ où l'on note $P = \displaystyle {\sum _{n = 0}^{p} p_k X^k}$ et $Q = \displaystyle {\sum _{n = 0}^{q} q_k X^k}$. Par exemple, si $D$ désigne la dérivation des polynômes, $D^* (P) = XP + X^2 D(P)$.
Cela me semble être tout à fait possible car $\mathbb{K} [X] = \displaystyle { \bigcup _{n = 0} ^{+ \infty} \mathbb{K}_n [X]}$. Je pense qu'il faut utiliser des limites inductives ...

Pourriez vous m'aider ?
Merci à tous