Cher tous,

si cela n'est pas trop hors sujet, je voudrais attirer l'attention des etudiants en maths-fi qui visitent regulierement ce forum probabilite, qui n'est pas toujours la meilleurs place pour poser leurs questions - un nouveau forum specialise, qui je pense possede un fort potentiel, est en train de se creer: il est en phase de creation et a besoin de gens motives comme il y en a beaucoup ici. Cela serait une place beaucoup plus adaptee pour les questions orientees math-fi.

Soit $( X_n )$ une famille de va positives à valeurs réelles indexée par les entiers naturels. On suppose que $E(X_n \ln X_n) =E(X)$ pour tout $n$ où $X$ est une va positive de $L^1$. On est censé pouvoir en déduire que $X_n$ est une famille uniformément intégrable, mais je ne vois pas comment. Si des hypothèses nécessaires manquent, n'hésitez pas à les rajouter. Merci.

Bonjour à tous,

Le titre est volontairement provocateur. J'ai un problème de raisonnement : J'ai un processus $ X_t = \int_0^t K_s H_s ds$, avec $H_s = \int_0^s a_u dW_u$, où $(W_u)_u$ est un brownien standard. Je suppose $a$ et $K$ suffisamment sympathiques pour que $H$ soit une martingale et pour que l'on puisse appliquer un Fubini stochastique à $X$ :

\[ X_t = \int_0^t K_s (\int_0^s a_u dW_u) ds = \int_0^t (\int_s^t K_u du) a_s dWs =: \int_0^t b_s dW_s
\]

Voilà mon problème : sauf erreur, $X$ est à variation finie. Mais, sauf re-erreur (dans mon Fubini peut-être...) $\int_0^{.} b_s dW_s$ est une martingale locale. Or, une martingale locale nulle en 0 et à VF n'est-elle pas nulle ?

Il y a donc sûrement une erreur quelque part, merci d'avance à celui qui me la signalera.

Bonne journée,

Alexandrov

Soit $R$ un processus de Bessel de dimension $d\geq3$, partant de zero. Comment montrer que le processus defini par:
$$M_t\sim\frac{1}{R_t^{d-2}},\ 1\leq t<\infty$$
Est une martingale locale?
Merci d'avance pour votre aide.

Titre initial : famille uniformement intégrable et convergence en proba
[Un titre doit être concis. Tu as tous le corps du message pour donner des précisions. AD]

Bonjour, je suis en train de lire une démo, et les étapes "triviales" qui ont été omises me manquent :
\begin{enumerate}
\item On a une suite de variables aléatoires positives avec deux indices qui parcourent chacun les entiers naturels :$X_{n,m}$. On sait que $\forall n,m,\ E(X_{n,m})=1$. Par ailleurs, on sait que $X_{n,m}$ tend EN PROBA vers une v.a. $X$ positive d'espérance 1. Apparemment on est censé en déduire :

\item La famille $X_{n,m}$ est uniformément intégrable
\item A $m$ fixé, $X_{n,m}$ est uniformément intégrable
\end{enumerate}

Comment montre-t-on que$1. \Rightarrow 2.$, puis que $2. \Rightarrow 3.$. Merci.

[La case LaTeX. :) AD]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème à propos d'un algorithme et je ne maîtrise pas vraiment les probabilités. Peut-etre pourrez vous m'aider.
J'ai un ensemble fini $\Omega$ de cardinal $n$ et un sous ensemble strict non vide $ A\subset\Omega$ de cardinal $m<n$.
Mon algorithme est le suivant :
1 : Tirer un élément $\omega$ dans $\Omega$ uniformément.
2 : Si $\omega\in A$ : Stop.
3 : Sinon retour à l'étape 1.

Donc on a $\mathbb{P}(\omega\in A)=\dfrac{m}{n}=p$ et si j'ai bien compris en appelant $X$ la v.a. qui compte le nombre d'itérations nécessaires avant de trouver un élément $\omega\in A$ suit une loi géométrique de paramètre $p$.
A présent je souhaiterais m'assurer que mon algorithme me fournit des $\omega$ uniformément répartis. Je trouve normal que la probabilité de tirer $\omega_1\in A$ soit la même que celle de tirer $\omega_2\in A$ malgré des itérations possibles mais je n'arrive pas l'exprimer mathématiquement et à le montrer.
Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?

Merci par avance pour toute aide : )

Je cherche la preuve du résultat (simple) suivant :
Soit $\mathcal{F}$ une filtration et $\mathcal{\tilde{F}}=\sigma(\mathcal{F\cup N})$ sa filtration augmentée, où $\mathcal{N}$ désigne l'ensemble des négligeables. Pour tout $A\in\mathcal{\tilde{F}}$ on peut écrire :
$$A=B\Delta N$$
où $B\in\mathcal{F}$ et $N\in\mathcal{N}$, i.e. tout élément de la filtration augmentée peut être vu comme la différence symétrique d'un élément de la filtration d'origine et d'un négligeable.
Ce résultat est très précieux pour les preuves impliquant les filtrations augmentées.
Pouvez-vous m'aider ?
Existe-t-il une version plus générale de ce résultat, par exemple pour les algèbres engendrées ?
Merci d'avance.

Chères amies amis du forum

Je bloque sur ceci :
Sur le marché financier on trouve un actif risqué de prix $(S_t,\ t\geq 0)$ vérifiant $dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t)$ et un actif sans risque de prix $S^0$ vérifiant $dS^0_t=S^0_trdt$. On se donne un processus $(c_t,\ t\geq 0)$ à valeurs positives adapté et un processus $(\pi_t,\ t\geq 0)$ de carré intégrable $\mathcal{F}_t$-adapté. Soit $(X_t,\ t\geq 0)$ la solution de
\[ dX_t=rX_tdt+\pi_t(dW_t+\frac{\mu - r}{\sigma}dt)-c_tdt. \]
1) Déterminer la probabilité risque neutre $Q$ associée au marché financier.
==> pas trop dure j'ai trouvé ceci :
Soit $\textbf{P}$ et $\textbf{Q}$ deux probabilités sur $\left(\Omega, F, (F_t)_{0\leq t\leq T}\right) $, que l'on supposera équivalentes (elles ont les mêmes ensembles négligeables, c'est à dire si $P(A)=0\Longleftrightarrow Q(A)=0$). Alors il existe un processus $(L_t)_{0\leq t\leq T}$, la densité de Radon-Nikodym, $\textbf{P}\ \mathcal{F}_t$-martingale, strictement positive d'espérance $1$ telle que $d\textbf{Q}=L_td\textbf{P}$.
De plus par Girsanov, nous savons que le processus $(B_t)_{0\leq t\leq T}$ défini par $B_t=W_t +\int_0^t\theta_sds$, avec $(\theta_t)_{0\leq t\leq T}= \frac{(\mu-r)}{\sigma}$ un processus adapté, est un M.B.S.. Nous pouvons définir la probabilité risque neutre $\textbf{Q}$ ainsi :
\[ \boxed{d\textbf{Q}=L_td\textbf{P}}, \quad\mathrm{ avec: }\qquad L_t =\exp\left(\int_0^t\frac{(\mu-r)}{\sigma}dW_s-\frac{1}{2}\int_0^t\left( \frac{(\mu-r)}{\sigma}\right)^2ds\right). \]
Mais la suite qui bloque :
2) Le processus $X$ est il un processus de prix ?
dans le cours j'ai trouver ceci mais je ne sais pas comment y arriver :
Si $X$ est un processus de prix, le prix forward $(X_t/P(t; T)\geq 0\geq t\geq T)$ est une martingale sous $Q_T$.

Pourriez-vous m'aidez svp
Merci

Cheres amies , amis du forum
Je souhaite quelques éclairage sur une proposition :

Un processus $V = (V_t, t\geq 0)$ est dit à variation bornée sur $[0; t]$ si :
\[ \sup_{t_{i}} \Sigma_i |V_{t_{i+1}}-V_{t_{i}}|\leq K\]
le sup étant pris sur les subdivisions $0\leq t_0\leq \dots\leq t_i\leq t_{i+1} \leq t$

Tout d'abord le sup ici indiqué est-il la plus grande subdivision de la suite, ou alors les subdivision sont-elles égales, si c'est le cas le sup signifie quoi ?
Y a-t-il une conditions sur la continuité à droite ?
Y aurait-il un lien avec Taylor et les accroissements finis ?
Ensuite je souhaite montrer que que le processus $A_t=\exp(\int_0^t\alpha_sds)$ est un processus à variations bornée, auriez-vous une idée SVP ?

Merci

Amis Forumeurs Bonsoir !

Est-ce que quelqu'un sait me dire ou trouver de la documentation sur des propriétés élémentaires de la transformée de Cramer (d'une VA) ?

Autre chose qui est en rapport direct avec la dite transformée, je ne comprends pas le sens de cette phrase :
"Denote by $P_{\lambda} $ the probability corresponding to the respective Cramer transform of the distribution $\{X_{t}\}$ ..."
$X_{t}$ est défini comme un processus de Levy.

Je ne vois pas à quoi correspond la probabilité $P_{\lambda}$ ?
Serait-ce la loi de la transformé de Cramer de $X_{t}$ ? Si oui pourquoi le mot "respective" ?

Merci
B.

[Pour 1 \$ de plus :) AD]

Bonjour, je suppose que vous connaissez l'exercice classique autour du théorème de Bayes : "un individu est testé pour une maladie rare, avec un test qui est fiable à $99\%$ indépendamment du résultat. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement malade ?"

Je note M l'évènement "l'individu est malade", T l'évènement "le test est positif".
Les données de l'énoncé donnent $p(T|M)=p(\overline T|\overline M)=0.99$ et je choisis $p(M)=0.001$ par exemple.
Je trouve sans problème $p(T)=0.01098$ puis $p(M|T) \approx 0.09$.

Je me suis demandé quelle était la probabilité que l'individu soit malade sachant qu'il a été testé positif $n$ fois.
Pour cela, je suppose qu'on fait $n$ fois le même test et que ceux-ci sont indépendants.
Je commence avec $n=2$ et je note $T_1$ l'évènement "le premier test est positif" et idem pour $T_2$.
$p(M| T_1 \cap T_2)=\frac{p(M \cap T_1 \cap T_2)}{p(T_1 \cap T_2)}$.
Le dénominateur est facile à calculer puisque les tests sont indépendants.

En revanche, le numérateur me pose plus de problème. J'utilise le fait qu'il est égal à $p(T_1 \cap T_2| M)p(M)$ mais je ne sais pas trop quoi faire du premier facteur puisque l'indépendance de $T_1$ et $T_2$ ne suffit pas pour dire qu'il est égal à $p(T_1 | M) p(T_2 |M)$.
Voilà, j'imagine que je ne voie pas quelque chose de très classique mais ce serait sympa si une bonne âme pouvait me débloquer.

On m'a fait remarquer récemment que dans mon cours [www.iecn.u-nancy.fr], je notais $L^p$ l'espace des fonctions et $\mathcal{L}^p$ l'ensemble des classes de fonctions, tandis que la plupart des auteurs adoptent la convention inverse.
J'étais tout prêt à me mettre au diapason, mais je réalise qu'en probabilité, une variable aléatoire $X$ est bien une fonction, et non une classe de fonctions, or on lit bien couramment $X\in L^p$, et non $X\in \mathcal{L}^p$.

Qu'en pensez vous ?

Bonjour,
j'aurais une question rapide pour vous.

Si $X \sim \Gamma(\alpha,\theta)$ est-ce que l'on peut dire que $P(X \leq 0,10) + P(X \geq 0.30) = 1 - P(0.10 \leq X \leq 0.30)$ ?

Bonjour,

Je dois faire un exercice qui me rend perplexe: soit je ne me pose pas les bonnes questions, soit c'est l'énoncé qui est ambigu. Quelqu'un aurait des pistes de réflexion à me fournir ? Le strict minimum bien sûr, je tiens à y arriver par moi-même.

Je dispose de deux échantillons N1 et N2, dont je sais qu'ils sont issus de 2 populations (Normale Multivariée de dimension 4) de rendements aléatoires. Je ne connais pas les paramètres de ces 2 populations, sinon qu'elles possèdent même matrice de variance-covariance Sig. L'énoncé de la question dit alors ceci:

?"A partir de votre ?echantillon de N = N1 + N2 = 100 + 100 = 200 vecteurs de rendements, d?eriver les estimateurs de u?_A, u?_B et ?Sig par maximum de vraisemblance
(faites attention ?a la n?ecessit?e de supposer certaines matrices d?e?finies positives).
Quelques propri?et?es pouvant être utiles pour A et B deux matrices carr?ees de rang
p, C, une matrice sym?etrique de rang q et D, une constante :
- tr(D) = D;
- tr(AB) = tr(BA) ;
- det(AB) = det(BA) = det(A) det(B) ;
- det(A^-1) = det(A)^-1 ;
- (A^t )^-1 = (A^-1)^t ;
- tr(C) =somme (valeurs propres de C)
- det(C) = produit (valeurs propres de C)

Ce dernier exercice est plutôt diffi?cile (surtout pour l'obtention de l'estimateur de Sig?). Pour y arriver, vous devez utiliser les propri?et?es des traces, d?eterminants et
valeurs propres plutôt que d'utiliser la technique habituelle consistant ?a d?eriver la log-vraisemblance par rapport ?a Sig?."

Il y a deux choses qui me rendent perplexe dans cet énoncé:

1) Il a été établi théoriquement que l'EMV de la moyenne pour une population NM est le barycentre de l'échantillon. Donc, il me semble très simple de calculer les u_A et u_B. Est-ce que j'oublierai quelque chose ?
2) Il a aussi été établi théoriquement que l'EMV de la matrice de variance-covariance est la matrice de variance-covariance empirique de l'échantillon (résultat que l'on m'a d'ailleurs demandé d'admettre dans mon ouvrage de référence, parce que trop difficile à établir !). La seule complexité que je vois encore, serait donc de savoir comment combiner les matrices de variance-covariance empiriques des 2 échantillons pour former l'estimateur de la matrice de variance-covariance ?

Ai-je trop simplifié le problème ?

Merci pour toutes pistes de réflexion.

Soit $W_t$ un Brownien unidimensionnel. Quelle est la valeur de $\mathbb{P} \Big(\sup\limits_{0\leq t\leq 1}|W_t|\leq 1 \Big)$ ?
En particulier, est-il possible de trouver une formule close pour cette probabilité ?

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour à tous,

J'ai du mal avec l'exercice suivant :

Soit $(e_i)_{i\geq 1}$, une famille de variables exponentielles indépendantes de paramètre 1. On demande de montrer que pour tout $n$ :
\[
P[e_1+\dots+e_n\geq n]\geq \frac{1}{3}
\]
J'ai essayé les deux approches suivantes :
\begin{enumerate}
\item Je sais que la loi de $e_1+\dots+e_n$ est une loi $\Gamma$ mais je n'arrive pas à estimer correctement l'intégrale que j'obtiens.
\item Je peux considérer que \quad $P[e_1+\dots+e_n\geq n]=P[N[0,n]< n] $ où $N[0,n]$ est une variable de Poisson de paramètre $n$. Mais là encore avec cette approche je coince pour minorer la probabilité de droite.
\end{enumerate}
Merci pour toute aide,

Alain

[Corrigé selon tes indications. AD]

Bonjour, j'ai une hésitation quant à la dernière question...

$M$ suit une loi de Pascal ou loi géométrique de paramètre $p$
$M_c$ suit une loi de Pascal ou loi géométrique de paramètre $p\lambda$
$N_c$ suit une loi binomiale $B(m,p\lambda)$
Mais pour la dernière question je ne vois pas comment calculer
$P ( M_c=M_a ) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} P \left( M_c =k \cap M_a =k \right)$ selon moi.... help please !

Sur l'île du Crozet, il passe au plus un bateau par mois. Tous les mois ont la même probabilité, $p$, qu'il passe un bateau et on suppose que la venue de chaque bateau est indépendante de ce qui s'est passé les autres mois. Arrivé par bateau sur l'île au mois 0, soit $M$ le nombre de mois qu'il faudra attendre avant l'arrivée du prochain bateau.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $M$.
\item Chaque bateau a une probabilité $\lambda$ de contenir des cigarettes et cela indépendamment de tout le reste (arrivée du bateau, mois précédents). Soit $M_c$ le nombre de mois qu'il faudra attendre avant le ravitaillement en cigarettes. Quelle est la loi de $M_c$ ?
\item Donner la loi de $N_c$ le nombre de cargaisons de cigarettes reçues entre le mois $1$ et le mois $m$.
\item Il se peut aussi qu'il y ait de l'alcool dans la cargaison avec probabilité $\mu$ et cela de manière totalement indépendante du reste (entre autres la présence ou non de cigarettes).
\end{enumerate}
Soit $M_a$ le nombre de mois qu'il faudra attendre avant le ravitaillement en alcool. Quelle est la probabilité pour que $M_c=M_a$ ?

Bonsoir à tous,

Je me pose une petite question :

Si j'ai 2 va indépendantes admettant une densité, est-ce que leur différence admet une densité ?

J'ai très envie de dire que oui mais je sais pas pourquoi j'ai un petit doute.

Par ailleurs, est-ce qu'on peut savoir à partir de la fonction caractéristique d'une va si celle-ci admet une densité ?

Merci d'avance de votre aide.