Bonjour, j'avais une autre question, cette fois de $p$-value.

Rappel : La $p$-value est le plus petit niveau de signification à partir duquel on rejette $\mathcal{H}_0$ avec les observations dont on dispose. Si $\alpha > p$-value, on rejette $\mathcal{H}_0$, et si $\alpha \leq p$-value, on ne rejette pas $\mathcal{H}_0$

Est-ce que la définition de la $p$-value est toujours $P(\overline{X} \geq \overline{x} \mid \theta =\theta_0)$ peut importe la loi pour un test unilatéral à droite ?

Si par exemple, je sais que $X \approx N(\mu,\sigma^2)$, que $n=16,\ \overline{x}=113.5,\ s^2 = 109$, et on sait que $\mu = 110$.
et mes hypothèses sont $H_0: \mu_0 = 110$ et $H_1: \mu > \mu_0$. Qu'elle est ma $p$-value ?
Est-ce que c'est :
\begin{enumerate}
\item $P(\overline{X} \geq 113.5 \mid \mu = 110) = P(Z \geq \frac{113.5-110}{\sigma/\sqrt{16}}) = P(Z \geq \frac{3.5}{\sigma/4} = 1 - \phi (\frac{3.5}{\sigma/4})$ avec $Z \sim N(0,1)$
ou bien encore
\item si je sais que $\displaystyle{t:=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$, qu'au seuil $\alpha = 0.025$ je définis ma région critique comme étant :
\begin{align*}
~ &\mathcal{C}= \{(x_1,\cdots,x_{16}) \mid \frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\geq t_\alpha(n-1) \} \\
\Longleftrightarrow &\mathcal{C}= \{(x_1,\cdots,x_{16}) \mid \frac{\overline{x}-110}{s/4}\geq t_{0.025}(15) \} \\
\Longleftrightarrow & \mathcal{C}= \{(x_1,\cdots,x_{16}) \mid \frac{\overline{x}-110}{s/4}\geq 2.131 \}
\end{align*}
et donc la $p$-value est :
\begin{align*}
p\mathrm{-value} &= P(t \geq t_\alpha(n-1) \mid \mu = \mu_0 )= P (t \geq t_{0.025}(15) ) } \\
&=1 - P (t \leq t_{0.025}(15)) = 1 - P (t \leq 2.131) = 1 - 0.975 = 0.025}
\end{align*} \end{enumerate}
J'ai aussi pensé à ceci et je crois que ce pourrait être la bonne façon de résoudre le problème. Corrigez-moi si je me trompe.

Soit $\displaystyle{t:=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$. Alors,
\begin{align*}
p\mathrm{-value}& = P(T \geq t) \mid \mu = 110 )= P (T \geq \frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} ) \cong P(T\geq \frac{3.5}{2.61})} \\
& \cong P(T \geq 1.341) =1 - P (T\leq 1.341) = 1 - 0.90 = 0.10}$ car $T \sim t(15)
\end{align*}
Qu'en pensez-vous ?

Bonjour,

Considérons $X=(X_1,X_2)$ et $Z=(Z_1,Z_2)$ les vecteurs tels que $E(X_1)=0$ et $cov(X_1,X_2)=0$.
Considérons la régression de $X_1$ sur $Z_1$, à savoir $X_1=E(X_1\mid Z_1)+\varepsilon$ où $\varepsilon$ est centrée et orthogonale à $E(X_1\mid Z_1)$.
Considérons également le vecteur gaussien $Y=(Y_1,Y_2)$ de mêmes espérance et variance que $X$.

Supposons maintenant que la loi de $X_1\mid X_2$ soit la même que celle de $Y_1\mid Y_2$.
Alors $E(X_1\mid X_2)=E(Y_1\mid Y_2)$ et $E(Y_1\mid Y_2)=E(Y_1)=0$ car $cov(X_1,X_2)=0$.

Et ainsi, $X_1=E(X_1\mid Z_1)+\varepsilon+0=E(X_1\mid Z_1)+\varepsilon+E(X_1\mid X_2)$
i.e. $X_1-E(X_1\mid X_2)=E(X_1\mid Z_1)+\varepsilon$

Que peut-on alors dire de $X$ et de $Z$ ?
idem si $E(X_1)\not=0$

Le pourcentage d'impureté dans une certaine quantité d'un mélange chimique est une variable aléatoire X ayant pour densité $f(x) = \theta x^{\theta-1}, 0\leq x \leq 1, \theta > 0$.

On se propose de confronter $H_0 :\theta \leq \theta_0 et H_1: \theta > \theta_0$ sur la base d'un échantillon de taille $n = 2$, et ce, à l'aide de la région critique $C = \{(x_1,x_2)\mid x_1x_2 \geq c, x_1\geq 0, x_2 \geq 0 \}$ où $c < 1$ est
une constante fixée.

Montrez que la fonction de puissance du test est donnée par $K(\theta)= 1 - c^\theta(1-\theta\ln c)$.

Je ne vois pas comment faire apparaitre le log néperien. Habituellement, quand on a une probabilité il n'y a pas ce genre de choses.

Je peux dire que x1 et x2 sont indépendants, trouver l'espérance de
$E[X_1X_2] = E[X_1]E[X_2] = E^2[X]$ qui me donne $\frac{\theta}{\theta+1}$
Ensuite je trouve
$E[(X_1X_2)^2]=E[X_1^2X_2^2]=E[X_1^2]E[X_2^2]=E^2[X^2]= \cdots = \frac{\theta^2}{(\theta+2)^2}$

Donc, $Var(X_1X_2)=E[X_1^2X_2^2]- E^2[X1X2]= \frac{\theta^2}{(\theta+2)^2} - (\frac{\theta}{\theta+1})^2$

Enfin,
La fonction de puissance est définie ainsi:
$K(\theta)$= P(Rejeter $H_0$ | $\theta$) = $P(x_1x_2\geq c \mid \theta)$.

Ensuite je soustrais la moyenne et divise par l'écart-type, afin d'appliquer le théorème central, mais bon je ne vois pas comment faire apparaitre ce qui est demandé dans la question.

La seule autre avenue que j'aurais pu considérer est de trouver le ln de $f(x_1,x_2)$, mais ce n'est pas tout a fait clair que j'obtiens la bonne chose.

Enfin, à part le fait que ln soit une fonction monotone croissante qu'est-ce qui justifie l'emploi du log dans ce cas?

Pourriez-vous me conseiller sur la marche à suivre?

Bonjour,

A la recherche d'une explication (et non de la démonstration) de la loi de Little, je suis tombé sur l'excellente page suivante : [networks.ecse.rpi.edu]\~{}vastola/pslinks/perf/node46.html
qui donne un très bon exemple en bas pour visualiser l'idée.

Cependant j'ai un problème. Considérons un client qui arrive dans la file d'attente. Il a alors $E(n)$ personnes devant lui. Comme celles-ci partent du système à un taux (selon la notation d'usage) $\mu ^{ - 1} $, nous avons alors le nombre de personnes qui partent pendant un temps $E(T)$ qui est donné par :
$$E(n) = \frac{E(T)}{\mu }$$
Or si je prends la loi de Little cela donnerait au final un truc aberrant... \quad $\lambda = \frac{1}{\mu }$

J'ai beau essayer de conceptualiser le phénomène mais je ne vois pas la source de mon erreur.
Merci d'avance à celui qui pourra m'aider.

[Il vaut mieux encadrer les expressions mathématiques par des (simple) \$ plutôt que par des doubles \$\$. ;) AD]