Bonjour.

Je bute sur un exercice qui semble élémentaire :

Montrer qu'une droite du plan, muni de sa topologie usuelle, ne possède pas de base dénombrable de voisinages.

Visuellement, ça semble vrai, et le problème viendrait du "comportement" à l'infini des voisinages, où ils peuvent rétrécir très rapidement autour de la droite. Mais je vois mal comment en déduire une preuve.

Merci d'avance pour vos indications. :)

Bonjour,

la question que je me pose est la suivante : dans un espace métrique, soit O un ouvert non vide, peut on toujours trouver une boule B telle que $Adh(B)\in O$, à quelles conditions ? Pourquoi ?

Merci.

Bonjour,
je suis à la recherche de quelques informations sur le jeu de Choquet. J'en rappelle les règles. On se donne un espace métrique $\left(X,d\right)$. Deux joueurs $A$ et $B$ s'affrontent de la manière suivante : $A$ choisit un ouvert non vide $U_0$, puis $B$ choisit un ouvert non vide $V_0$ inclus dans $U_0$, ..., $A$ choisit un ouvert non vide $U_{n+1}$ inclus dans $V_n$, $B$ choisit un ouvert non vide $V_{n+1}$ inclus dans $U_{n+1}$ et ainsi de suite.
On pose $\displaystyle U=\bigcap_{n\in \mathbb N}U_n=\bigcap_{n\in \mathbb N}V_n$. $A$ gagne si $U$ est vide, $B$ dans le cas contraire.
On montre que s'il existe un ouvert $O$ non vide qui s'écrit comme union dénombrable de fermés d'intérieur vide, alors $A$ a une stratégie gagnante. En effet, il commence par $U_0=O$ et à $V_n$ il répond $U_{n+1}=V_n\setminus F_n$ (qui est bien ouvert et non vide car $F_n$ est d'intérieur non vide) puis on montre que dans ce cas $U$ est vide.
Si $\left(X,d\right)$ est complet, on montre que $B$ a une stratégie gagnante (à partir de boules ouvertes incluses dans $U_n$ on construit une suite de boules fermés incluses dans $U_n$ dont le diamètre tend vers $0$, la complétude assurant que $U$ est non vide).
Comme il est impossible que les deux joueurs aient une stratégie gagnante, on obtient le théorème de Baire.

La question que je me pose est la suivante : existe-t-il des cas où l'on peut montrer qu'aucun des deux joueurs n'a de stratégie gagnante?
Y a-t-il d'autres propriétés remarquables pour certains espaces métriques?

Bonjour
Dans un espace métrique quelconque, les boules ouvertes de rayon rationnel forme une base dénombrable d'ouverts pour la topologie usuelle.

Je comprend bien en quoi les boules ouvertes de rayon rationnel forment une base pour la topologie usuelle.
Mais en quoi cette base est-elle dénombrable ?

Pour un élément donné $x$ de $A$ (espace métrique), $\{B(x, q), q \in \Q\}$ est dénombrable.
Mais si $A$ est indénombrable, $\{B(x, q), q\ fixé \}$ peut très bien être indénombrable, non ?

Je vois bien comment faire dans $R^n$, il suffit de prendre les boules ayant des centres de coordonnées rationnelles.
Mais comment fait-on par exemple pour $\mathcal{C}([a,b], \R)$ l'ensemble des fonctions continues de [a,b] dans \R, munit de n'importe quelle distance ?

d'ailleurs, ça me fait penser à une deuxième interrogation : existe-t-il une distance qui soit toujours équivalente à la topologie produit, y comprit pour des produits infinies ou indénombrables ? Je me pose la question, parce que la distance associé à la norme infinie est dite distance (de la convergence ?) uniforme, alors que la topologie produit est dite topologie de la convergence simple, du coup je me dit qu'elle ne doivent pas être équivalentes.

Merci pour vos réponses

Bonjour, je n'arrive pas à démontrer que les Boules d'un espace vectoriel normé sont convexes.

Intuitivement, j'ai envie d'écrire
(1)\quad $||x-(y_1t+y_2(1-t))|| \le t||x-y_1||+(1-t)||x-y_2||$
avec $t \in [0,1]$ cela montrerait bien que n'importe quel point du segment $[y_1, y_2]$ est contenu dans la $B(x,r)$
(avec $y_1 \in B(x,r)$ et $y_2 \in B(x,r)$).

Mais je ne vois pas comment les inégalités triangulaires peuvent me permettre d'écrire (1) sauf si la boule est centrée en 0.
Je suppose que par translation, on peut étendre la convexité de $B(0,r)$ à n'importe quelle boule, mais j'aimerais le démontrer directement.

Bonjour.
Je me posais la question suivante:; Comment fait-on pour montrer que la suite, convergente, $U_{n}=\frac{1}{n}$ est une suite de Cauchy?
En effet, a plus part du temps on utilise les suites de Cauchy pour montrer qu'une suite n'est pas convergente ou pour des démonstrations de théorème. Mais en pratique avec des Epsilons comment fait-on? Merci

Salut pour tout le monde.

Je propose quelques questions posées à l'oral de l'agrégation en Tunisie et je voudrais savoir ce qui se passe dans les autres pays francophonnes qui ont l'agrégation. Je commence avec les groupes :
\begin{enumerate}
\item Décrire les sous-groupes finis abélien de $GL_{n}(\mathbb{C})$.
\item Quelles sont les groupes finis qui agissent transitivement sur $\mathbb{R}$.
\item Le groupe $S_{n}$ est-il isomorphe à $A_{n}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ?
\item Montrer que tout groupe d'ordre 15 est cyclique.
\item Montrer que le seul sous-groupe d'indice 2 de $S_{n}$ est $A_{n}$.
\item Montrer que dans $S_{n}$ tout élément est conjugué à son inverse.
\item Quel est le nombre minimum de générateurs de $S_{n}$ ?
\item Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice 2. Montrer que $H$ est distingué dans $G$.
\item Montrer que $SO(n)$ opère transitivement sur $S^{n-1}$.
\item Montrer que $GL(n,K),\ K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, n'a pas de sous-groupe arbitrairement petit, c'est-à-dire : il existe un voisinage $V$ de $I_{n}$ dans $GL(n,K)$ tel que $\{I_{n}\}$ est le seul sous-groupe de $G$ inclus dans $V$.
\end{enumerate}
Je voudrais faire des échanges de questions d'oral d'agrégation et de temps en temps je propose quelques questions (on en discute bien sûr et si quelqu'un trouve une difficulté sur une question je peux l'aider si je peux)

Merci beaucoup.

Bonjour pour tout le monde.

Soit $X$ un espace profinis, c'est-à-dire compact et totalement discontinu. Je veux montrer que $X$ est limite projective d'espaces finis. Pour cela je considère $I$ l'ensemble des relations d'équivalences $\mathcal{R}$ sur $X$ tel que l'espace quotient $X/\mathcal{R}$ soit discret et finis. Cet ensemble est non vide (facile à voir), je le muni de la relation d'ordre $\leq$ définie par :
$$\forall \mathcal{R},\mathcal{T}\in I,\quad\mathcal{R}\leq\mathcal{T}\Longleftrightarrow \mathcal{T}\subset\mathcal{R}$$
Remarque : $\mathcal{T}\subset\mathcal{R}\Longleftrightarrow \forall x,y\in X,\ x\mathcal{T}y\Rightarrow x\mathcal{R}y$.
Pour $\mathcal{R},\mathcal{T}\in I$ tel que $\mathcal{R}\leq\mathcal{T}$, on note $f_{\mathcal{R},\mathcal{T}}: X/ \mathcal{T}\longrightarrow X/\mathcal{R}$ l'application définie par : $f_{\mathcal{R},\mathcal{T}}([x]_\mathcal{T})=[x]_\mathcal{R}$, où $[x]_\mathcal{R}$ est la classe de $x$ modulo $\mathcal{R}$. Il est facile de voir qu'on a les choses suivantes :
\begin{enumerate}
\item l'ensemble ordonné $(I,\leq)$ est filtrant.
\item le système $(X/ \mathcal{R},f_{\mathcal{R},\mathcal{T}})$ est projectif.
\end{enumerate}
On note donc $\displaystyle\widehat{X}=\lim\limits_{\longleftarrow} X/ \mathcal{R}}$. Considérons $\varphi : X\longrightarrow \widehat{X}$ définie par : $\varphi(x)=([x]_\mathcal{R})_{\mathcal{R}\in I}$.

On vérifie facilement que $\varphi$ est bien définie injective et continue. Mon problème est de monter que $\varphi$ est surjective !!!
J'ai essayé de montrer que $\varphi(X)$ est dense dans $\widehat{X}$, avec la compacité de $X$ on obtient le résultat, mais sans espoir. :S
Merci pour votre aide.

Bonjour,

Voici un exercice, qui a l'air amusant (dont je n'ai pas la solution):
Soit $C([0,1])$ l'ensemble des fonctions continues à valeur dans $\R$, $f$ un fonction de $[0,1]$ dans $\R$ continue sauf en $1/2$.
Soit $B$ la clôture pour la convergence uniforme de l'algèbre engendrée par $C([0,1])$ et $f$.
Déterminer l'espace des idéaux maximaux de $B$.
Si $f$ a une limite à gauche et à droite en $1/2$, je pense que l'espace est la réunion de deux intervalles fermés et d'un point, espace que l'on peut quotienter selon que la limite à gauche est la même que la limite à droite, ou égale à $f(1/2)$, etc...
Mais sinon, je ne vois pas...

Merci d'avance.

Bonjour,

Soit $E$ et $F$ deux espaces de Banach, $f$ une application linéaire continue de $E$ dans $F$.
On suppose que $B_F(0,1)$ est inclus dans l'adhérence de $f(B_E(0,1))$.
Comment montrer, si c'est vrai, que $f$ est une application ouverte surjective ?

Merci d'avance

Bonjour à Tous,

Le titre fantaisiste est simplement là pour faire rentrer ma question (ou ma demande...) dans le fil de Topologie, fil cher au Roi Grapher...
Pourquoi "les oranges" ?
Parce que j'aimerais avoir (si c'est réalisable) un dessin du réseau cubique faces centrées, bien connu des marchands d'oranges.
Est-ce que Grapher peut faire cela ?
En fait, je ne suis intéressée que par ses 12 vecteurs courts. Par exemple un petit dessin comme [attachment 16302 ReseauOranges.png]
ferait mon bonheur.
Si mon Roi Grapher passait par là...

Merci.
Clairon.

Bonjour,

Soit $E$ un espace de Banach, $E_1,\ldots, E_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$, tels que, pour tout $i$, $E_i$ est un espace de Hilbert, c'est-à-dire qu'il existe une forme quadratique sur $E_i$, telle que la norme de $E$ restreint à $E_i$ soit cette forme quadratique (la racine carré de la forme quadratique).

Chaque $E_i$ est donc réflexif.

Comment montrer (si c'est vrai) que la somme des $E_i$ est un espace de Banach réflexif ?
(ils ne sont pas forcément en somme directe)

Merci d'avance

Bonjour, je viens cette après-midi de commencer la Topologie, et je débute avec la notion de norme.

Un des premiers exemples de normes auquel je me confronte est la norme dite hermitienne usuelle sur $\mathbb{C}$ ; $|| \cdot ||_2\, : \mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{R}$, qui à un $x\in \mathbb{C}^n$ associe le réel : $$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^2\right)^{1/2}$$
J'ai bien compris la démonstration de $||\lambda x||_2=|\lambda|\, ||x||_2$. Ainsi que $||x||_2=0 \Leftrightarrow x=0$, mais je bloque dans la compréhension de $||x+y||_2\le ||x||_2+||y||_2$.
En effet dans mon livre, il est écrit :
$$||x+y||_2\le ||x||_2+||y||_2 \Longleftrightarrow ||x+y||_2^2\le ||x||_2^2+2||x||_2||y||_2+||y||_2^2 \Longleftrightarrow \sum_{k=1}^n(|x_k+y_k|^2-|x_k|^2-|y_k|^2)\le 2||x||_2||y||_2 $$ $$ \Longleftrightarrow \Re\left(\sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k\right)\le ||x||_2||y||_2\Longleftarrow \left|\sum_{k=1}^n \overline{x_k}y_k\right|\le ||x||_2 ||y||_2$$
Je ne comprends pas le dernier $\Longleftarrow$ ... Je ne vois pas d'où il sort, et en quoi il va nous être utile...

Merci d'avance pour vos éclaircissements... !

Bonjour,
On munit $\mathcal{C}([0,1],\R)$ de la norme $\|.\|_\infty.$ On considére l'application
\begin{align*}
\varphi: \mathcal{C}([0,1],\R) & \rightarrow (\R,|.|)\\
f & \mapsto \varphi(f)= \sin\Big(\int_0^{1/2} f(s) ds\Big)
\end{align*}
Il faut prouver que $\varphi$ est linéaire.
Pour ca, soient $f_1, f_2 \in \mathcal{C}([0,1],\R)$ et soient $\alpha,\beta \in \R.$ On doit prouver que $\varphi(\alpha f_1+ \beta f_2)= \alpha \varphi (f_1)+ \beta \varphi(f_2).$
On a:
$\varphi(f_1+f_2)= \sin(\int_0^{1/2} (f_1(s)+f_2(s)) ds) = \sin(\int_0^{1/2} f_1(s) ds+ \int_0^{1/2} f_2(s) ds)$
C'est une question bête, mais je ne trouve pas quoi faire après ça.
Merci d'avance.

Bonjour,

Un exercice classique (niveau MP*) est de démontrer le résultat suivant : dans un espace vectoriel normé, si $F$ et $G$ sont deux sev, avec $F$ fermé et $G$ de dimension finie, alors $F+G$ est un sev fermé.

A priori le résultat est faux si $G$ n'est plus supposé de dimension finie mais uniquement fermé.
Je cherche un contre-exemple... Quelqu'un en aurait-il un à me fournir ?

Merci d'avance

Bonjour,
Soit $H$ l'espace des fonctions réelles continues sur $]0, + \infty[$ telles que $\int_0^{+ \infty} |f(x)|^2 dx < + \infty$ muni du produit scalaire $u(f,g)= \int_0^{+ \infty} f(x) g(x) dx.$

On doit prouver que $H$ n'est pas Hilbert.
Comme $H$ est préhibertien, alors on doit prouver que $H$ n'est pas complet. Pour ca, on peut avoir l'idée de procéder par l'absurde et supposer qu'il est complet pour arriver à une contradiction.
Supposons que $H$ est complet, i.e., toute suite de Cauchy dans $H$ converge dans $H.$ Soit alors $(f_n)_n$ une suite de Cauchy dans $H$ celà veut dire qu'on a: $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \N, \forall (p,q) \in \N^2: p > q > n_0 \Rightarrow \sqrt{u(f_p,f_q)} \leq \varepsilon$
Après ca, plus aucune idée. Svp, comment procéder pour prouver que $H$ n'est pas de Hilbert?
En vous remerciant pour votre aide.

Bonjour à tous

Je suis un cours de topologie algébrique, je suis un peu perdu étant donné que le petit nombre de cours que nous avons. Voici un exercice que j'ai à faire :

Pour un entier naturel $n\geq 1$ on définit $C_n\subset \mathbb{R}^2$ comme l'union des cercles de rayon $1$ et de centre $(3i,1)$ pour $i=1,\cdots,n$. On quotiente $C_n$ en "gluant" tous les points $(x,0)\in C_n$. L'espace quotient est note $R_n$ (the $n$-petalled rose).

On me demande de montrer que $H_0(R_n)=\mathbb{Z},\ H_1(R_n)=\mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}$ ($n$ fois) et $H_q(R_n)=\{0\}$ si $q>1$.

Bon l'espace $R_n$ obtenu me semble bel et bien connexe par arcs, ce qui montre(rait) que $H_0(R_n)=\mathbb{Z}$. Par contre je n'ai aucune idée pour le reste, et je n'arrive pas du tout à visualiser la signification de ce résultat.

Ah oui j'oublie de préciser que les groupes $H_q$ sont issus de la "singular homology theory", je ne sais pas comment on traduit ceci en français. Bon si quelqu'un peut m'aider ?

Merci d'avance !

Bonjour,

j'ai acheté cet après-midi le livre de George Szpiro "la conjecture de Poincaré" pour la modique somme de 10€, et du coup je m'intéresse un peu à la topologie algébrique.
Soit donc un espace topologique quelconque $X$ et $\mathcal{C}(X)$ la classe (je n'ose pas dire l'ensemble, des fois que ce n'en soit pas un) des espaces topologiques homéomorphes à $X$. Pour tout couple $(A,B)$ d'éléments de $\mathcal{C}(X)$, je considère que deux homéomorphismes quelconques entre $A$ et $B$ sont équivalents, et j'appelle la classe d'équivalence correspondante une "$(A,B)$-déformation".
J'aimerais savoir si on peut associer à $X$ un groupe de Lie $\mathcal{L}(X)$ engendré par les $(X,Y)$-déformations et les $(Y,X)$-déformations pour $Y$ parcourant $\mathcal{C}(X)$ et la loi la composition des applications. Si oui, on doit avoir "les espaces topologiques $E$ et $F$ sont homéomorphes" si et seulement si les groupes de Lie $\mathcal{L}(E)$ et $\mathcal{L}(F)$ sont isomorphes non ?

Merci d'avance.

Bonsoir,
Soit $E= \mathcal{C}([0,1])$ muni de la norme $\|f\|= \int_0^1 |f(t)| dt$ et soit la forme linéaire
\begin{align*}
L: E & \rightarrow \R\\
f & \mapsto L(f)= f(0)
\end{align*}
on a montré que la forme linéaire $L$ n'est pas continue en 0.

Après, on nous demande que pouvons-nous déduire de la non-continuité de $L$ en 0 au sujet du sous-espace des fonctions qui s'annullent en 0.
Que pouvons-nous en déduire?
En vous remerciant pour votre aide.

Bonjour, j'ai le problème suivant :
$A$ et $B$ parties de $\R$
$A+B=\{a+b / (a,b) \in A \times B\}$
On montre que $A$ ouvert implique $A+B$ ouvert.
Il faut ensuite montrer que A fermé et B compact implique A+B fermé.

Mon raisonnement ne fait pas introduire la compacité de $B$, donc il est faux. Mais je ne sais pas où :( :

Je montre $A^c + B = (A+B)^c$ (c'est probablement là qu'il y a un problème)
1/
$\forall x \in A^c + B, \forall b \in B, \exists ! a \in \R\ /\ x=a+b$
or par définition $a \in A^c$
donc
$\forall x \in A^c + B, \forall b \in B, \forall a \in A\ , x \neq a+b$
donc $x \in (A+B)^c$

2/
$\forall x \in (A+B)^c, \forall b \in B, \exists ! a \in \R\ /\ x=a+b$
or par définition $a \not\in A$
donc
$\forall x \in (A+B)^c, \forall b \in B, \exists ! a \in A^c\ /\ x=a+b$
donc $x \in A^c + B$

Ensuite
$A$ fermé implique $A^c$ ouvert, implique $A^c+B$ ouvert, implique $(A+B)^c$ ouvert, implique $A+B$ fermé

où est l'erreur ?
Merci d'avance.

Bonjour,
Soit $H$ un espace de Hilbert, et soit $u: H \rightarrow H$ une application continue.
On suppose que $\exists c > 0: \|x\| \leq c \|u(x)\|, x \in (\ker u)^\bot$

On doit prouver que $u(H)$ est fermée.

Gébéralement, pour prouver un ensemble est fermé, on montre qu'il contient les limites de toutes les suites qui y convergent. Mais ici, ce n'est pas possible de l'appliquer.
Je n'ai aucune idée du raisonement à faire ici. Comment raisonner ici svp?
En vous remerciant pour votre aide.

Bonjour,

La question que je pose est laissé en exercice dans le livre "Thème de géométrie" de M.Alessandri p161.
Elle fait suite à la démonstration du lemme de Caratheodory et à la conséquence suivante :
Dans un espace vectoriel de dimension finie (sur R ou C), l'enveloppe convexe d'un compact est compact.

L'exercice est le suivant. On considère maintenant E espace de Banach, K compact de E.
On veut montrer que l'enveloppe convexe de K est précompact.

Indication : utiliser la précompacité de K et le cas de la dimension finie.

Je n'ai pas trouver (ou pas su exploiter) la bonne manière pour se ramener à la dimension finie.

Je commence par fixer n entier positif et considérer un (1/n)-recouvrement fini de K : Rn. On note x(i,n) les centres des boules du recouvrement (0<i<p+1). On note Vn l'espace engendré par les x(i,n). Vn est au plus de dimension p.

En notant C l'enveloppe convexe de K, Kn intersection de K et Vn, Cn l'intersection de C et Vn, on obtient avec le résultat préliminaire que Cn est compact dans Vn donc dans E. (Cn est bien l'enveloppe convexe de Kn dans Vn et Kn est bien compact dans Vn).

On peut considérer un (1/n)-recouvrement fini de Cn extension de Rn : R'n ce recouvrement contient Rn donc K et contient Cn.

Contient-il C?

Si la réponse est positive mon idée est donc de montrer que R'n contient un convexe qui contient K. En prenant par exemple pour les boules de R'n un rayon 2/n au lieu de 1/n.

Bref... je n'arrive pas à conclure. Est-ce la bonne piste? Etant donné l'énoncé il me semble qu'il n'y a pas d'autres résultats à utiliser, que cela doit se faire naturellement mais je bloque.

Merci pour vos éclairages.