Bonjour,

Je suis en train de lire un article introductif sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel, très intéressant. Mais, j'aurais besoin de quelques explications supplémentaires de votre part, si vous le voulez bien.
\begin{enumerate}
\item Pour définir une relation fonctionnelle, je cite "une relation R(x,y) à exactement deux variables libres est une relation fonctionnelle ( à 1 argument ) si : $\forall x\ \forall y\ \forall z\ (R(x,y) \text{ et } R(x,z) \Rightarrow y=z)$
Quel est l'argument dans cette proposition ?

\item Sur le même principe, comment définit-on une relation fonctionnelle à $n$ arguments ?

\item L'auteur utilise la notation $\forall z (z \in x)$..etc. Comment un élément peut-il appartenir à un autre élément ?
J'ai du mal à faire la distinction entre ensembles et éléments dans son introduction.
\end{enumerate}
Je pars de zéro. Merci pour vos éclaircissements
Cordialement,
Clotho

Bonsoir,

j'ouvre comme promis un fil en logique pour parler de la notion d'implication comme on a commencé à le faire dans mon fil "RH et TFA" avec Christophe et gerard0. Si j'ai bien compris ce qu'a écrit ce dernier (je commence à ne plus être sûr de grand-chose... :/), l'implication généralise la notion de "lien logique naturel", au sens où dès qu'il y a un tel lien entre A et B, on a A=>B, mais on peut aussi avoir l'implication A=>B sans qu'il y ait un tel lien (cf mon exemple "RH=>je mesure 1,61 m").
Notons donc $A\mathcal{L}B$ la relation "il existe un lien logique naturel entre $A$ et $B$".
L'énoncé "je mesure 1,61 m" est ce que j'appellerai un "énoncé contingent" (au sens où je pourrais parfaitement mesurer plus, ou moins, sans que la réalité mathématique en soit affectée).
Si $A$ est un énoncé mathématique vrai, i.e. un phénomène de la réalité mathématique (par exemple le TFA), on devrait avoir $(A\mathcal{L}B)\Rightarrow$ "$B$ n'est pas un énoncé contingent, mais un énoncé mathématique vrai".
De même quel que soit l'énoncé (vrai) contingent $B$, et $A$ un énoncé mathématique (pas nécessairement vrai : par exemple "2>3"), on devrait avoir $\lnot(A\mathcal{L}B)$.
Dit autrement : la "réalité mathématique" est stable par l'opération qui à $(A,B)$ associe "ce que je dérive de $A$ et de $A\mathcal{L}B$".

Qu'en pense Messire Christophe ? :)

Trois divinités $A$, $B$, et $C$ sont appelées dans un certain ordre.
Leurs noms sont $V$érité, $M$ensonge et $A$léatoire.
\begin{itemize}
\item $V$érité dit toujours la vérité;
\item $M$ensonge ment tout le temps;
\item $A$léatoire ment ou dit la vérité de manière imprévisible;
\end{itemize}
On doit identifier $A$, $B$ et $C$ en posant trois questions dont chaque issue est oui ou non.
Pour ce faire :
\begin{itemize}
\item chaque question est posée exclusivement à une seule divinité.
\item les divinités comprennent le français, mais elle répondront dans leur propre langue "ko" ou "ok" mais on ne sait pas si "ko" veut dire oui ou non, et de même pour "ok".
\end{itemize}

Peut-être que cela a déjà été posé ici, en tout cas je trouve l'énigme splendide, peut-être la réponse l'est autant.

voici la source : [blogs.myspace.com]
pour ceux qui réfléchissent seulement avec google ou qui ne réfléchissent que si la piste d'audit est avérée.

S

[attachment 16149 Cours_Polytech.pdf]

Bonjour à tous,

profitant des premières surveillances de Baccalauréat j'ai commencé d'étudier ce poly ci-joint (trouvé sur un autre fil de logique).

Plusieurs erreurs m'ont sauté aux yeux et je voudrais confirmation de leur niveau de gravité, en particulier la définition d'un polynôme de deux variables de degré $\leq d$ de $\C^2$ dans $\C^2$. (Je précise que je suis incapable d'écrire la définition similaire en $n$ variables (voir page 8 du poly).)

$f:\C^2\longrightarrow\C^2$ de degré $\leq d$, $f=(f_1,f_2)$ avec $f_1(x_1,x_2)=\sum_{i+j=2}y_{ij}x_1^ix_2^j$ et $f_2(x_1,x_2)=\sum_{i+j=2}z_{ij}x_1^ix_2^j$.

Mais j'ai une question plus conceptuelle à poser : si $F_n$ est la formule $\exists x_1\dots\exists x_n\in R$, pour $1\leq i<j\leq n$, $x_i\neq x_j$ ((*) conjonction des n(n-1)/2 propriétés exprimant que le cardinal de R est supérieur à n).
"La disjonction infinie des $F_n$ n'est pas une formule du premier ordre." (page 7 tout en bas) Pourquoi? Faut-il conceptualiser et utiliser la compacité? ou est-ce une propriété liée à la définition de "formule du 1er ordre"?

Je finis juste par : "un énoncé est une formule sans variable libre". Est-ce que $0$ est libre dans $\exists 0\forall x\in R, x+0=0+x=x$ exprimant l'existence d'un élément neutre pour l'addition dans l'anneau R? (est-ce qu'un axiome comme celui-ci est un "énoncé" dans le sens ci-devant?)

Voilà plusieurs points de détail mais, en logique, lorsque l'on débute je crois bien qu'on ne doit surtout pas négliger les détails.

Amicalement,

F.D.

PS: si un modérateur peut faire apparaître une conjonction à la place de (*) là où LaTeX m'a dépassé, merci d'avance.

[Veux-tu $\vee$ ou $\wedge$ ou $\bigvee$ ou $\bigwedge$ ? AD]

Bonsoir certains d'entre vous connaissent peut-être cet énoncé dû à Frege et nommé Basic Law V grâce auquel Frege espérait réduire les mathématiques à la logique (on appelle cette tendance le logicisme). J'aimerais m'assurer que je comprends bien cet énoncé que voici :

$(\lbrace x\vert Fx\rbrace=\lbrace x\vert Gx\rbrace)\equiv(\forall x(Fx\equiv Gx))$

S'agit t-il de dire que l'ensemble des x qui vérifient une certaine propriété F est l'ensemble des x qui vérifient une certaine propriété G ssi pour tout x dire que x vérifie la proriété F est équivalent à dire que x vérifie la propriété G.
Quelqu'un aurait t-il un exemple d'une équivalence en spécifiant une certaine propriété F et une certaine propriété G.

Merci.

Bonsoir,

d'après le théorème de (soyons fou et écorchons des noms propres) Lowenheim - Skolem si une théorie admet un modèle de cardinalité infinie, il en admet dans toutes les cardinalités.

1. Je suppose qu'il faut rajouter le mot "infinies" (avec l'accord lol) à la fin de l'énoncé?

2. Si je considère les groupes infinis, divisibles et sans torsion, $(\Q,+)$, $(\R,+)$ et $(\C,+)$ en sont des modèles mais leur cardinalité s'arrête à $\aleph_1$ (ou $\aleph_2$ selon HC ou non-HC) mais dans ce cas qui peut me produire des modèles de cardinalité $\aleph_3$ (sans HC) ou $\aleph_2$ sous HC?

3. Peut-on dire que les trois modèles ci-dessus sont "isomorphes" dans un sens raisonnable?


Merci de vos éclaircissements,

amicalement,

F.D.

Bonjour,
je ne sais pas si j'ai choisi la bonne rubrique pour cette matière.

Citation

On s'intéresse aux graphes simples $G = (S, A)$ qui ont la propriété suivante : (*) Pour tout couple $(s, t)$ de sommets distincts, les graphes induits $G \backslash \{s\}$ et $G \backslash \{t\}$ sont isomorphes

Montrer que si $G$ possède la propriété (*), $G$ est régulier (considérer les arêtes).

Voilà ce que je pense, merci de vos remarques et conseils.

Si quel que soit le sommet que l'on "enlève" au graphe et donc les arêtes qui lui sont adjacentes, on obtient des graphes isomorphes, c'est que chaque sommet de $G$ a le même nombre d'arêtes : $G$ est donc régulier.

Bojour,
suite à une suite de soucis avec l'ordre des quatificateurs, je souhaieterai y remédier, mais je ne sais pas trop comment.
Par exemple, lorsqu'on dit qu'une application $f$ définie sur un ensemble $E$ est bornée, alors on le traduit par $$\exists M > 0, \forall x \in E: |f(x)| \leq M$$ donc, il existe un $M$ pour tous les $x.$
Mais je crois que mon problème est dans la compréhension des définitions. Non?
Merci pour votre aide.

Pour info (constaté avec caml):

On se donne 10 sommets, numérotés de 0 à 9. Puis 172 fois d'affilée, on tire au sort un couple $(x,y)\in 10^2$, on rajoute l'arête $(x,y)$ (sauf si x=y).

On obtient ainsi un graphe aléatoire. On prend son nombre chromatique comme v.a.

L'espérance de cette v.a est 5. (environ, en tout cas la limite est entre 171 et 172)

Quand j'aurai le tps, je mettrai une courbe plutôt, mais mon algorithme (à l'arrache) a du mal à calculer les nb chromatiques des graphes ayant peu d'arêtes.

Bonsoir,

je voudrais faire reculer mon ignorance infinie et comprendre une phrase que je viens de lire à propos de $P \Rightarrow Q$.
\begin{center}\begin{tabular}{c|c|c}
$P$ & $Q$ & $P \Rightarrow Q$\\
\hline
V & V & V\\
V & F & F\\
F & V & V\\
F & F & V
\end{tabular}\end{center}
\og En mathématiques, l'usage le plus fréquent de l'implication correspond à la première ligne de la table de vérité : on a $P$ vrai et on démontre que $P\Rightarrow Q$ est vrai, on peut alors en déduire que $Q$ est vrai. \fg
C'est haut et clair, j'ai compris.
\og Le fait que $P \Rightarrow Q$ soit vrai lorsque $P$ est faux peut surprendre \fg
C'est vrai, mais à force je m'y suis fait, fort de la première citation, mais il est dit ensuite :
\og il s'agit ici d'une nécessité pour éviter de rendre une théorie contradictoire. En mathématiques, la seule utilisation de ce cas se situe dans le raisonnement par l'absurde. \fg
Et là j'aimerais bien une explication de texte.

S

Ayant remarqué que plusieurs questions reviennent, je fais un petit fil pour qu'on puisse l'appeler, en cas de besoin, par références-liens.

Information: en l'absence de l'axiome du choix (et à ma connaissance, de AC complet, pas d'un de ses avatars plus faibles), les cardinaux adaoptent un comportement très simple: il forment un bon ordre pour tout ensemble infini $E$, il y a bijection entre $E$ et $E^n$, pour chaque entier $n$. (dans le fil [www.les-mathematiques.net] l'utilisation des ordinaux pour le prouver a surement découragé les lecteurs)

Réciproquement, l'énoncé $\forall E: card(E)=card(E^2)$ entraine prouvablement l'axiome du choix.

Que je sache, en l'absence de tout axiome du choix, même l'énoncé "il existe E et une surjection de E² sur P(E)" n'est pas pas contradictoire avec ZF.

Bcp de gens retiennent "par coeur", que le mieux pour prouver tout ça est de passer par les ordinaux. A la rigueur, je serais aussi un adepte de l'utilité des ordinaux, mais j'ai remarqué qu' ici, ils n'étaient pas la tasse de thé des gens.

Donc, je prouve les résultats précédents sans faire usage d'ordinaux, mais en admettant Zorn, comme ce "jeu" commencé dans le fil:

[www.les-mathematiques.net]

J'appelle fonction choix sans préciser plus une fonction telle que pour tout $X$ non vide de son domaine: $f(X)\in X$. L'axiome du choix dit que tout ensemble est inclus dans le domaine d'au moins une fonction choix (je dirai "assez grande" pour dire qu'elle contient dans son domaine tous les ensembles considérés. Je dirai même "rien", elles seront toutes supposées assez grandes.

$card(X)\leq card(Y)$ signifie "il y a une injection de X dans Y"

Parfois on écrira $A<B$ pour 'il y a une injection de A dans B, mais par de surjection de A sur B ("==" veut dire ici "est équipotent", cadire il y a une bijection entre les 2 ensembles)

---

Lemme1: si $E$ est infini alors $card(E) = card (E \cup \{a\} ) $ preuve: soit $f$ une fonction choix et $u$ une suite d'éléments de $E$ telle que $u_0=a$ et $u(n+1)=f(E-\{u_p/p<n\} )$. L'image de $u$ donne une partie $D$ de $E$ telle que $D$ et $D+a$ sont en bijection. si $E$ est infini alors $E$ est mettable en bijection avec $F$ dès lors que $F-E$ est fini[/color] preuve: utiliser le lemme1 et itérer Lemme3: (le seul moment où Prendre le plus petit des $z_X$ Lemme4: ce qui est remarquable, c'est que les cardinaux vérifient une sorte de division euclidienne... :D. Soit $I$ ensemble de cardinal $<$ à celui de $E$. Il existe alors un ensemble $J$ et un ensemble R de cardinal strictement plus petit que I tel que $E$ est en bijection avec $(I\times J) \cup R$ preuve: soit $W$ un ensemble maximal pour l'inclusion d'injections de $I$ dans $E$ à images 2 à 2 disjointes. La réunion S des images des éléments de $W$ est telle qu'il existe R, avec $E=S\cup R$ et $card(R)<I$. En effet, sinon, on pourrait rajouter une injection à $W$. Or $S$ est canoniquement == à $I\times W$ via la réciproque de $(u,n)\mapsto u_n$; et $W$ sert de J dont l'existence devait être prouvée lemme5: si $card(U)<card(E)$ alors $E==E\cup U$. Et en fait, $E==n\times E$ En "divisant" $E$ par $\N$ dans la preuve ci-dessus, \times S + F$ avec $F$ un ensemble fini et donc $E==\N\times S$. Or $\N ==2\N$ et donc $E==2E$ et donc $E\geq E+U$. Remarque: Lemme6: si $E==E\times S$ pour tout $S$ dont le cardinal est strictement inférieur à celui de $E$ alors $E==E^2$ Edit: j'ai dû avoir une poussée d'Alzeimer, je ne comprends pas moi-même la preuve que j'avais mise en la relisant (elle n'était clairement pas valable car une preuve doit ne pas demander d'effrot au lecteur... Je vais la refaire) En fait, ce n'est pas si simple: voir [www.les-mathematiques.net] Ce lemme est inutile (et je ne le démontre pas, donc je ne l'efface pas mais ne l'utilise pas encuite) Lemme7: $E==E^2$ pour une preuve correcte (mais "hélas" un peu trop "facilitée" par les ordinaux), je renvoie à [www.les-mathematiques.net] sinon... (mais en me relisant, je ne me suis plus moi-même..) En divisant $E$ par $\N$, Q + R ==\N \times Q$ et avec $\N==\N ^2$ , on obtient $E\times \N == E$ (car $Q\times \N == Q\times \N \times \N$) On peut donc s'intéresser au premier cardinal infini $E$ (pris comme un ensemble de cardinal minimum ok) tel qu'il existe un ensemble $F$ de cardinal $\geq $ à celui de $E$ vérifiant $E\times F >F$. On prend alors "un plus petit" $F$ possible (cardinalement)

En divisant $F$ par $E$, on obtient $F==E\times Q + R==E\times Q$. Il s'ensuit que $Q<F$ et donc que $Q<E$ (si $Q\geq E$ alors $F== Q\times E == Q<F$) or si $Q<E$ alors $Q\times E==E$ et donc $F\times E == Q\times E\times E ==E\times E$ (car $E$ est le plus petit contre-exemple blabla, donc Q n'en est pas un). Or si $F\times E=E\times E$, alors $E\times E>E$ et donc, $F=E$, car $F$ est le plus petit possible tel que $F\times E>F$ et que $E$ est ainsi, contradiction.

Mouais, je mets encore en italique car en me relisant, je viens encore de perdre le fil et je ne vois plus ce que je prétends être une contradiction... Donc en attente, grrrr la vieillesse...

Pour assurer un caractère self-contained à ce post, je recopie une preuve classique, elle limpide et valable du lemme7 (utilisant les ordinaux):

Je rappelle "la preuve classique" que $E^2==E$. On peut supposer (c'est là que c'est abuser des ordinaux) que $E$ est le plus petit ordinal infini tel qu'il n'y a pas de surjection de $E\to E^2$. En particulier, $E$ est forcé d'être un cardinal. Sinon, $E\to A\to A^2\to E^2$, les flèches représentant des surjections avec un some $A<E$. On construit une suite ordinale $L$ d'éléments de $E^2$, en rajoutant chaque fois, pour chaque ordinal $new$, un élément $L(new)$ pas encore mis et on le choisit dans $A^2$ avec $A$ le plus petit ordinal tel que $A^2$ n'est pas inclus dans l'image de la restriction de $L$ à $new$. Quand ca s'arrête, ie quand la restriction $f$ de $L$ à $borne$ ne peut être prolongée, on prouve facilement que $borne\leq E$ et donc on a surjecté, via $f$ l'ensemble $E$ sur $E^2$. En effet, sinon, si $borne>E$, alors quand on a défini $L(E)$, on l'a choisi dans un des $A^2$***, avec $A<E$, mais comme il y a une injection de $A^2$ sur $A$, la restriction de $L$ à $E$ est alors une injection de $E$ dans $A^2$, ce qui induit une injection de $E$ dans $A$ ce qui est contradictoire avec le fait que $E$ est un cardinal.

*** vue la construction, tous les $L(u)$ avec $u<E$ était aussi dans $A^2$.




Corollaire: $E^n==E$ pour $n\in \N$

Voilà, j'ai trouvé ça rigolo de faire cette synthèse dans un mode "non ordinal", ie certains raisonnements ressemblent à des trucs habituels d'arithmétique: je vais mettre des liens vers ce fil et les fils concernés en réditant.

Bonjour,

je voudrais m'appuyer sur le livre "Logique sans peine" de Lewis Caroll pour les activités et cours relatifs au raisonnement + notations et notions mathématiques.
L'idée étant qu'il l'avait écrit à destination des enfants, cela me paraît a priori plus jouable que de partir de "Le mot et la chose" de Quine.

Je vais vous citer deux passages, le second se voulant être une illustration du premier :

Citation
généralité
Nous pouvons penser à une classe, qui ne soit pas la classe \og choses \fg, et imaginer que nous lui avons enlevé tous les membres possédant une qualité particulière que ne possède pas la classe en sa totalité. Cette qualité est dite \og particulière \fg à cette classe ainsi formée. [...]

Citation
illustration
Ainsi, nous pouvons penser à la classe \og villes \fg et supposer que nous avons choisi, à l'intérieur de cette classe, toutes les villes qui ont l'attribut \og éclairées au gaz \fg; ey nous pouvons ainsi former la classe réelle \og villes éclairées au gaz \fg. [...]

Je sais pas si je malmène les drosophiles mais je ne trouve pas que l'illustration en totale cohérence avec la généralité. Est-ce la traduction ou moi qui ne comprend pas ma langue maternelle ?

J'en viens à ma demande : quelqu'un aurait-il la version en anglais de ce livre. Les passages que je mentionne sont au début, dans les 2-3 premières pages.

S
Edit : je viens de trouver une des éditions en anglais,
[attachment 14731 SLI-classification.gif]
au final je comprends mieux en anglais.

Bonjour

Je suis toujours sur un sujet de l'an dernier et pas vraiment d'accord avec le corrigé...
voici la question:
Entre la France et Atlanta, il y a un décalage horaire : quand il est 7 h du matin à Atlanta, il est 13 h à Nice.
Des passagers se sont envolés d’Atlanta à 18 h 20 min (heure locale) et sont arrivés à Nice à 11 h 40 min (heure locale) avec une escale à Londres. Ils ont juste eu 20 minutes à Londres pour changer d’avion. Quelle est la durée totale du voyage ?

A) 22 h 20 B) 22 h 00 C) 24 h 00 D) 11 h 40 E) 18 h 20

Moi je trouve 11h40 mais le corrigé annonce 18h20 et je ne vois pas du tout où se trouve mon erreur à moins que...?