Bonsoir ,

Définition empruntée à Wikipedia: "Les Sangaku ou San Gaku sont des énigmes géométriques japonaises de géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois, apparues durant la période Edo (1603-1867) et fabriquées par des membres de toutes les classes sociales."

Dans le cadre de notre dynamique forum de les-mathematiques.net, deux sangaku au moins vous sont familiers:
--> l'avatar de Domi
--> le sangaku aujourd'hui disparu de la préfecture de Fukusima qui est décrit dans le dernier fil de Jean-Louis , page 43

...

Bonjour,
Je voudrais s'il vous plait savoir
comment les anciens mathématiciens calculaient la somme 1+2+...+N. avant la notion de suite.
Mes salutations

Bonjour à toutes et à tous;

Le 3 juin, Mauricio nous apprenait le décès de Vladimir Arnold; dans le fil correspondant, Jean-Yves proposait de procéder avec le trivium d'Arnold comme nous l'avions fait avec le Debarre-Laszlo. Just do it!

Nous vous proposons en hommage à Vladimir Igorevitch la résolution des exercices dont les numéros correspondent aux diviseurs de 1937 ou 2010, années de naissance et de décès de Vladimir Arnold.

See [michel.delord.free.fr]

Amicalement, Bernard p/o le Comité Du Mardi.

Bonjour à toutes et à tous

C'est la fête à Sylvain, faîtes lui fête. Arithmétiquement, s'entend.

Cadeau 1) Montrer qu'il existe un multiple de $2^{2010} $ dont l'écriture comporte $2010$ digits se répartissant en...
....$1005$ fois le chiffre $1$ et $1005$ fois le chiffre $2$.
Généraliser cette propriété à tout nombre pair $n=2q$.

Cadeau 2) Soit un nombre $N$ dont la somme des diviseurs $\sigma(N)$ est un nombre premier, montrer qu'alors le nombre des diviseurs $\tau(N)$ de ce nombre est également premier.

Cadeau 3) Quelle est la somme $S_{2010}$ des 2010 premiers repunits :
$$1+11+111+\ldots+\underbrace{111\ldots111}_{2010 \text{\ fois}}= ???$$
Généraliser à la somme $S_n$.

Amicalement. Le Comité Du Mardi.

Ami(e)s cosmographes, bien le bonjour!

2009 était l'année de l'astronomie, voici donc avec un léger retard quelques problèmes de cosmographie posés au bac dans les années 1880.

1) Une étoile dont la déclinaison est de $42°$ atteint dans son mouvement diurne une hauteur maxima de $84°$.
Quelle est la latitude du lieu de l'observation ? (Alger - 1885.)



2) Le rayon équatorial terrestre étant égal à $6 378 393$ m et la latitude de la Faculté de Grenoble étant $45° 11' 22"$, on demande de calculer le chemin qu'il faut parcourir vers l'est, en partant de la Faculté, pour arriver en un point dont l'heure avance de une seconde sur celle de la Faculté. La terre sera supposée sphérique. (Grenoble - 1886.)



3) Démontrer que l'extrémité de l'ombre projetée par une tige verticale sur le plan horizontal, en un lieu donné, décrit une courbe du genre ellipse, parabole ou hyperbole dans l'espace d'un jour. Connaissant la latitude du lieu et la déclinaison du soleil au jour considéré, calculer l'excentricité de la courbe. (Chambéry - 1885.)



4) Calculer l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux oppositions consécutives de la planète Mars, en admettant que la terre et Mars décrivent uniformément deux cercles dans un même plan, l'une en $365$ jours $6$ heures $9$ minutes, l'autre en $686$ jours $23$ heures $31$ minutes. (Caen - 1884)

Pour le Comité du Mardi, Bernard. Amicalement. Norbert.

Bonsoir;

1) Montrer que
$$\dfrac{1}{\sin45°\sin46°}+\dfrac{1}{\sin47°\sin48°}+....+\dfrac{1}{\sin133°\sin134°}=\dfrac{m}{\sin1°}$$ avec $m \in \N^{*}$.

2) Calculer $\cos(\theta)\cos(2\theta)\cos(3\theta)...\cos(2010\theta)$ avec $\theta= \dfrac{2\pi}{4021}$.
Généralisation avec $$S=\cos(\theta)\cos(2\theta)\cos(3\theta)...\cos(n\theta)$$ et $\theta= \dfrac{2\pi}{2n+1}.$

Amitiés, Bernard p/o le comité du mardi. Amicalement. Norbert.

Bonjour à toutes et à tous;

Pour tester votre capacité d'appartenance à un groupe, voici :

On note $S_{2010}$ le groupe des permutations de l'ensemble des nombres $E=\{1,..,2010\}$.
Déterminer le nombre des permutations $\sigma$ de $E$ telles que: \[|\sigma(1)-1|= |\sigma(2)-2|=...=|\sigma(n)-n| >0\]

Qu'en pensez-vous? Bernard p/o le Comité Du Mardi.
PS : le Comité prend ses vacances d'hiver. Rendez-vous dans trois semaines.