Bonjour,

Mes souvenirs sont lointains.

Pour résoudre l'équation suivante d'inconnue complexe $z$, $z^2-(1-2i)z+1-7i=0$. Et en partant de l'égalité $(x+iy)^2 = -7+24i$, je vous passe les détails, on aboutit au système constitué des 3 équations suivantes
$$ \begin{cases}
x^2-y^2 &= -7\hspace{1.85cm}(1) \\
xy&=12 \hspace{2cm}(2) \\
|x+iy|^2&=|-7+24i|\qquad(3)
\end{cases}$$
Comment fait-on pour arriver à $(3)$ ?
Je me souviens bien sûr de l'égalité $|z|^2=x^2+y^2$ pour un complexe $z$ quelconque. Mais ensuite, j'ai perdu mes automatismes sur les complexes.

Merci pour votre rappel.
Cordialement,
Clotho

Bonjour à tous,

Quelqu'un pour démontrer
$$\sum_{k+\ell+m = n}\binom nk \binom n\ell \binom nm = \sum_{k+\ell+m = 2n}\binom nk \binom n\ell \binom nm = \binom {3n}n\;?$$

amicalement,

e.v.

Bonjour,

On me demande de calculer le déterminant suivant en utilisant le pivot de Gauss pour faire apparaître un déterminant triangulaire plus simple à calculer.

$D= \begin{vmatrix} a_1 &a_2 &a_3 & \ldots & \ldots &a_n \\
a_1 &a_1 &a_2 &\ddots & & \vdots \\
a_1 &a_1 &a_1 &a_2 &\ddots&\vdots \\
\vdots & &\ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots && &a_1 &a_1&a_2 \\
a_1 & \ldots & \ldots &a_1 &a_1 &a_1
\end{vmatrix}$

Pour être certain d'avoir bien compris, ce déterminant avec 4 éléments donne bien :

$D_4 = \begin{vmatrix} a_1 &a_2 &a_3 &a_4 \\
a_1 &a_1 &a_2 &a_3 \\
a_1 &a_1 &a_1 &a_2 \\
a_1 &a_1&a_1&a_1
\end{vmatrix}$

C'est bien ça ?

Je débute sur les déterminants.

Merci
Clotho

Bonjour,

Je dispose d'une correction assez détaillée pour la résolution du système suivant. Seulement, j'aimerais connaître votre rédaction à partir de l'étape ci-dessous :

Voilà, le système "intermédiaire" équivalent obtenu à partir d'opérations élémentaires sur les lignes.
$$\left\{ \begin{array}{rcl}
x+2y+z+t&=&7\\
y-z&=&0\quad(l_2)\\
3y+2z+6t&=&16\\
y+t&=&3
\end{array}\right.$$
Comment feriez-vous à partir de là ? Vous vous en doutez, ma question porte sur la "gestion" de l'égalité $y-z=0$.
Moi, j'aurais une rédaction différente de celle de ma correction. J'écrirais "en constatant grâce à $(l_2)$ que $y=z$, on aboutit alors au système équivalent suivant :
$$\left\{ \begin{array}{rcl}
x+3z+t&=&7\\
5z+6t&=&16\\
z+t&=&3
\end{array}\right.$$
Soit encore :
$$\left\{ \begin{array}{rcl}
x+3z+t&=&7\\
5z+6t&=&16\\
t&=&1
\end{array}\right.$$ et par remontée, on obtient $z=2$ et $x=0$.
Au final, j'aboutis au même résultat qu'eux, mais avec une rédaction plus "concise" : correcte ? Je vous pose la question.
Merci pour votre avis
Cordialement,
Clotho

Existe-t-il un polynôme $P \in \R[X,Y,Z]$ tel que les deux conditions suivantes soient satisfaites

i) Pour tout $(x,y,z) \in \R^3$ on a $P(x,y,z)>0$

ii) le système $ P_{x}(x,y,z)= P_{y}(x,y,z)= P_{z}(x,y,z)=0$ n'a pas de solutions réelles dans $\R^3$

Ici $P_{x}(x,y,z)$ désigne la dérivée partielle de $P$ par rapport à $x$

Bonjour

$A,B$ des matrices de $GL(n,\Q)$. Montrer que $ \mathrm{rg}(A+2^{\tfrac{1}{3}}B) \geq \dfrac{2n}{3}$
_________________________

Je n'ai pas vu grand chose hormis $2^{\frac{1}{3}}$ a pour polynôme minimal $x^3-2$
Comment attaquer cette inégalité ?

Merci

Bonjour !

J'ai un peu de mal à voir pourquoi dans une catégorie monoïdal (symétrique, complète ?) quand on a un objet $X$ rigide, alors pour tout objet $V$ on a $[X,V] = X^* \otimes V$ (enfin la flèche naturelle est un iso...)

(la définition d'objet rigide étant, de ce que j'ai compris, que si on pose $X^* = [X,I]$ le morphisme de $I \rightarrow [X,X]$ induit par l'identité de $X$, se factorise à travers la flèche naturelle de $X^* \otimes X \rightarrow [X,X]$ )

Pourriez-vous m'expliquer cela ?

Bonjour

Le système suivant \qquad \begin{cases}
X^{\prime }(t) &= A.X(t)+B \\
X(t_{0}) &= X_{0}
\end{cases}
a pour solution :
\[
\forall t\geq 0,\quad X(t)=e^{A(t-t_{0})}X_{0}+B\text{ }e^{At}\int_{t_{0}}^{t}e^{-Au}du
\] Je voudrais savoir s'il y a un moyen pour adapter cette solution au système suivant :
\begin{equation*}
X^{\prime }(t)=H.X(t)+B
\end{equation*} où $H=A+\alpha (t).I$ avec $ \alpha (t)$ une fonction de $t$ et $I$ matrice identité.

Merci d'avance

Soit la matrice $M = \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
b & c & d & a \\
c & d & a & b \\
d & a & b & c
\end{pmatrix}$ avec $a,b,c,d$ racines de $X^4+pX^3+qX+r$

Exprimer $\det(M)$ à l'aide $p,q,r$

Bonjour,

Est ce que que quelqu'un peut me dire comment montrer que pour une matrice carré diagonalisable dont les éléments diagonaux dépend d'un paramètre $t$ on a des vecteurs propres qui dépend pas de $t$ .

exemple matrice symétrique (diagonalisable) :

\begin{equation*}
A(t)=
\begin{pmatrix}
1-t & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1-t & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1-t & 1 \\
3 & 2 & 1 & 1-t
\end{pmatrix}
\end{equation*}

dont les vecteurs propres sont : $v_{1}=(-1,-1,1,1)$ , $v_{2}=(-1,1,-1,1)$ , $v_{3}=(1,-1,-1,1)$ , $
v_{4}=(1,1,1,1)$

merci d'avance

Bonjour,

Dans un livre de géométrie algébrique (Hartshorne), on y trouve la définition suivante.

Soit $X$ un espace topologique. Un préfaisceau $F$ de groupes abéliens sur $X$ consiste en les données suivantes:
(a) pour chaque ouvert $U$ de $X$, on se donne un groupe abélien $F(U)$ et
(b) pour toute inclusion $V \subseteq U$ de $X$, $V$ et $U$ deux ouverts de $X$, on se donne un morphisme de groupes abéliens $\rho_{U, V} : F(U) \rightarrow F(V)$,
satisfaisant les conditions
(0) $F(\emptyset) = 0$,
(1) $\rho_{U, U}$ est l'identité sur $F(U)$,
(2) si $W \subseteq V \subseteq U$, $W$, $V$ et $U$ trois ouverts de $X$, alors $\rho_{U, W} = \rho_{V, W} \circ \rho_{U, V}$.

Il est ensuite précisé que cela revient à se donner un foncteur contravariant de $\textsf{Top}(X)$ (la catégorie dont les objets sont les ouverts de $X$ et dont les flèches sont les inclusions) vers la catégorie des groupes abéliens. Enfin, on peut généraliser en remplacer la catégorie des groupes abéliens par une catégorie quelconque.

Ce que je ne comprends pas, c'est la condition (0). Si je prends un foncteur $F$ quelconque, il n'a aucune raison de vérifier (0). Par exemple, le foncteur qui à tout ouvert d'un espace topologique $X$ associe un groupe abélien fixé $G$ ne vérifie pas (0). D'où sort cette condition? A quoi sert-elle? Y a-t-il un endroit où un théorème utiliserait cette hypothèse? N'est-il pas dommage d'exclure l'exemple que j'ai donné? Enfin, si l'on veut généraliser à une catégorie quelconque, je ne vois pas bien ce que peut devenir la condition (0) (elle semble dire $F$ envoie l'ensemble vide sur l'objet terminal).
Merci pour tout éclairage sur cette mystérieuse condition (0).

$S$ et $T$ des applications linéaires de $M(n,\C) \rightarrow M(n,\C)$, telles que $S^n=T ,\ T^n=S$. On suppose que $S$ a toutes ces valeurs propres distincts
Montrer que $S$ et $T$ sont semblables
_______________________________________________________

Ce que j'ai remarqué $ST=S^{n+1}=TS=T^{n+1}$
$S$ et $T$ commutent
$S$ annule un polynôme scindé simple car ces valeurs propres sont distincts
$S$ est diagonalisable donc $T$ aussi car $T=S^n$
Les endomorphismes $S$ et $T$ commutent et diagonalisables. Ils sont diagonalisables dans une base commune

Et après je ne vois pas.
Pouvez-vous m'aider ?

[La case LaTeX. :) AD]

bonjour,

je me place dans un espace de dimension finie. J'ai un opérateur représenté par une matrice $\mathbf{M}$ de dimension $m$ dans une base bien choisie. Je construis une matrice carrée $\mathbf{P}$ de changement de base. On sait que les valeurs propres de $\mathbf{M}$ et $\mathbf{P}^T\mathbf{M}\mathbf{P}$ sont identiques. Maintenant, je tronque la matrice $\mathbf{P}$ à ses $n$ premières colonnes (donc $n\leqslant m$). Les $n$ valeurs propres de $\mathbf{P}^T\mathbf{M}\mathbf{P}$ de taille $n\times n$ sont alors des estimations supérieures des $n$ premières valeurs propres de $\mathbf{M}$. Comment s'y prend-t-on pour démontrer que quand $n$ augmente, les valeurs propres de $\mathbf{P}^T\mathbf{M}\mathbf{P}$ de taille $n\times n$
convergent vers les $n$ premières valeurs propres de $\mathbf{M}$ ? (jusqu'à ce que $n=m$ auquel cas, elles sont égales)

merci

Bonsoir, j'ai une petite question autour des corps cyclotomiques que je vous soumets.

Soit $k$ un corps de nombres, $\zeta\in \C$ une racine primitive $n$-ième de l'unité et $K=k(\zeta)$.
Je note $A$ l'anneau des entiers de $k$ et $B$ l'anneau des entiers de $K$.
Soit $\mathfrak p$ un idéal premier de $k$ tel que $n \not\in \mathfrak p$.
Je voudrais montrer que, $[B:A[\zeta]] \not \in \mathfrak p$ afin de pouvoir utiliser le critère de décomposition des idéaux de Kummer.

Déjà, est-ce correct et comment peut-on montrer cela ?

Bonjour
J'ai lu dans des documents traitant de l'énergie éolienne l'affirmation suivante :
La moyenne des cubes d'un ensemble de vitesses de vent est toujours supérieure au cube de la moyenne de ce même ensemble de vitesses de vent.
Autrement dit :
\[
\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n v_i^3 > \Big(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n v_i \Big)^3
\]
Quelqu'un a-t-il une idée de la façon de démontrer cela de la façon la plus générale ?
Merci d'avance pour votre aide.

Salut,

Sur un ev de dimension finie $E$, une propriété classique dit que si $f$ est un endomorphisme alors les suites $(\ker f^n)_n$ et $(\mathrm{im\,} f^n)_n$ sont constantes à partir d'un certain rang $N$ et qu'alors
\[
\ker f^N \oplus \mathrm{im\,} f^N=E.
\]
que l'on peut aussi réécrire
\[
\cup_n (\ker f^n) \oplus \cap_n (\mathrm{im\,} f^n)=E.
\]
Je cherche à savoir si la dernière égalité reste vrai si $E$ est de dimension infinie. Je n'ai pas trouvé de contre exemples ni de démonstration.

Bonsoir,

Je voudrais calculer le nombre des éléments d'ordre quatre dans un $2$-Sylow de $\mathfrak A_8$ !

Merci de toute idée utile

Bon soir,
Je vous propose ce problème afin de découvrir d'autres méthodes, différentes de la mienne :

Soit ABC un triangle rectangle en A.On désigne AB, BC et AC respectivement par c, a et b. Soient les variables réelles strictement positives (dont on connait les valeurs) p et q tels que :
p* racine (a-b) + racine (a-c) = q * racine (2a)

* On demande de proposer une méthode de résolution de cette équation (b et c sont inconnus) en fonction de p, q et a.

En espérant réussir de me faire comprendre..Omar

Bonjour,

Dans le cadre d'un petit projet, j'ai une question plutôt concrète sur un groupe. J'ai essayé avec un calculateur [GAP] mais c'est compliqué.
Peut-être quelqu'un pourra m'aider.

Listons les éléments de $\mathfrak{S}_9$ à l'aide de tableaux à 9 colonnes et 2 lignes. Un élément $\sigma \in \mathfrak{S}_9$ est représenté par le tableau suivant :
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3& 4& 5& 6& 7& 8 & 9 \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4)& \sigma(5) & \sigma(6) & \sigma(7) & \sigma(8) & \sigma(9)
\end{pmatrix}
$$
Pour simplifier les notations, nous utiliserons la forme suivante
$$
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 & A_3 \\
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
$$
où $A_1=(1,2,3),\ A_2=(4,5,6),\ A_3= (7,8,9),\ B_1=(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3)), \dots$.
Nous pouvons construire un morphisme $ \theta : \mathfrak{S}_3 \rightarrow \mathfrak{S}_9$ défini par :
$$\tau \in \mathfrak{S}_3 \longmapsto \theta(\tau)= \begin{pmatrix}
A_1 & A_2 & A_3 \\
A_{\tau(1)} & A_{\tau(2)} & A_{\tau(3)}
\end{pmatrix} $$
Ce morphisme permet de créer une action de $\mathfrak{S}_3$ sur $\mathfrak{S}_9$
$$\begin{array}{ccc}
\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_9 &\longrightarrow &\mathfrak{S}_9 \\
(\tau,\sigma) &\longmapsto & \theta(\tau).\sigma
\end{array}$$
Finalement, formons le produit semi-direct $G=\mathfrak{S}_3 \ltimes \mathfrak{S}_9$

Ma question concerne les classes de conjugaison de ce groupe, je voudrais savoir combien il y en a ?
Même une majoration me suffit au final, enfin une majoration non triviale.

Merci d'avance

Bonjour à vous tous,

Je suis à l'étranger, et ne peux pas écrire correctement en Latex, car ce n'est pas mon clavier habituel
[Quel est le rapport ? :S AD]

Pour illustrer la notion de la matrice identité associée a une application linéaire, on me donne l'exemple suivant .
Soient $B=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et la base $B'=(e'_1,e'_2,e'_3)$ avec $e'_1=(1,1,0),\ e'_2=(1,0,1),\ e'_3=(0,1,1)$ alors, la matrice de passage de la base $B$ à la base $B'$ sera :
$[Id_E]_{B'}^B=$ [(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)] première parenthèse égale à la première colonne. C'est ok pour moi.

Par contre, c'est ensuite que je ne comprends plus.
$[Id_E]_{B}^B'=$1/2 [(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)].
Il est mentionné "on peut aussi écrire la matrice associée à l'application identique en prenant la base canonique sur l'espace de départ et la base $B'$ sur l'espace d'arrivée"

N'est ce pas le contraire ?
Merci pour vos explications
Cordialement
Clotho

edit . Merci Alain pour la remise en forme, Le rapport avec le clavier, c'est que je ne suis pas habitué aux touches de raccourçi. Mais c'est temporaire. Je serais de retour chez moi demain.

Soit $A$ un sous-anneau maximal pour l'inclusion de $\R$ tel que $1/\pi$ ne soit pas dedans.

Ensuite on regarde $A[X]/(\pi X)$. Est-ce que ça a été étudié?

J'ai pris$\pi$, mais d'une manière générale, a-t-on des idées pour essayer de faire des modulo bizarres?

Motivation: si on essaie de se représenter certaines probas quantiques comme des éléments d'un anneau, on a souvent une disparition de l'intégrité de l'anneau et l'intervention d'autre chose que des nombres entiers vus comme non réguliers dans un quotient de $\Z$

Il y a aussi l'exemple du paradoxe de Banach Tarski: si on prend une structure formelle naturelle avec un + et un × et qu'on veut déclarer que des morceaux sont "de volume égal", c'est à dire faire passer au quotient le + et le ×, on tombe sur des choses du même genre. Avec BT par exemple tous les sous-ensemble ouverts de la boule unité de $\R ^3$ sont le même objet.

Bonjour,
J'ai besoin d'un peu d'aide concernant la question suivante :
Etudier sur $ \mathbb{R} $ le signe de la fonction suivante :
$$ f(x)=\frac{1}{3} \left( e^{x} + 2 e^{ - \frac{1}{2} x } \cos\big( \tfrac{\sqrt{3}}{2} x \big) \right) $$
Merci d'avance de votre aide.