Hi

J'ai un problème à vous proposer dont je n'ai pas la solution. Soit $f$ une fonction Lipschitzienne sur $\mathbb R^N$ telle que
\[
\int_{\mathbb R^N} |f(x)|^2 e^{|x|} dx < \infty
\]
Montrer alors que $|f(x)| ^{N+2} e^{|x|}$ est borné.

Bonjour,

Avez vous déjà vu un théorème à la Fubini dans $L^{\infty}$ affirmant :

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Théorème : Soient $X,Y$ deux espaces mesurés et $f\in L^{\infty}(X\times Y)$, alors ... et
$$\|f\|_{\infty}=\big\|\big(x\mapsto \|f(x,.)\|_{\infty}\big)\big\|_{\infty}=\big\|\big(y\mapsto \|f(.,y)\|_{\infty}\big) \big\|_{\infty}$$

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Ca me parait correct même si je n'ai pas vérifié les questions de mesurabilité...

Est-ce $z^4+(x^2+y^2-1)(2x^2+3y^2-1)=0$ est homéomorphe à la sphère $S^2$ de $\R^3$ ?
Je l'ai dessiné sur maple, je trouve qu'elle ressemble à un ballon un peu aplati.
Je dirais oui mais je ne suis pas certain.

Hello,

j'ai du mal à voir la différence entre un opérateur linéaire borné et un opérateur linéaire continu. Quelqu'un pourrait il m'expliquer la différence ?

Bonjour,

Aujourd'hui je vois une propostion dans un livre comme suit :

Soit $O$ un ouvert relativement compact de $\mathbb{R}^3$ et $\phi : O\to \mathbb{R}^3$ une application différentiable. Soit $x\in \mathbb{R}^3$ une valeur régulière de l'application $\phi$. Alors, comme $O$ est relativement compact, $\phi^{-1}(x)$ est un sous-ensemble fini de $O$.

J'ai l'impression que cette proposition n'est pas correcte.

Qu'en pensez-vous?

Merci d'avance.

Bonjour,

Il y a un truc de base que je ne comprends pas dans une démo du Breizis et qui correspond à une grosse lacune que je me traîne depuis longtemps.

"Soient E et F deux espaces de Banach, T un opérateur linéaire, continu de E dans F qui est de plus bijectif. Le théorème de l'application ouverte nous dit qu'il existe un c tel que $||Tx||<c \Rightarrow ||x||<1,\ \forall x \in E$" . Jusque là tout va bien pour moi.
Ensuite il dit : "Par homogénéité $||x||\leq \dfrac{||Tx||}{c}$".
Quelqu'un pourrait-il avoir la gentillesse de me détailler proprement une bonne fois pour toutes tout ce qui est contenu dans ce "par homogénéité".
Merci de m'aider à combler cette lacune inexcusable.

Salut à tous,

Voilà deux résultats dont je ne connais que des preuves non constructives :

1) Pour tout $p>2$ il existe des éléments de $L^p(\R)$ dont la transformée de Fourier (au sens tempérée) n'est pas une fonction localement intégrable.

2) De même, pour tout $s>0$, $H^{-s}(\R)$ contient des éléments qui ne sont pas des fonctions localement intégrables.

Dans les deux cas on s'en sort en utilisant le graphe fermé pour construire une inégalité dont on on prouve qu'elle ne peut avoir lieu en jouant sur une famille de Gaussiennes bien choisie.

Quelqu'un aurait-il un exemple concret pour le 1) ou le 2) ?

Je dois dire que lorsqu'on m'a posé le 2) j'étais presque sûr qu'il existait des contre-exemples très simples de type masse de Dirac, mais cela ne marche que pour $s>1/2$...

A +,

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Ayman

Bonjour

Je suis en train de lire "Analyse fonctionnelle" de Mr Brezis, et j'ai du mal avec le point (a) du corollaire II.2 :
"Soient E et F deux espaces de Banach. Soit $(T_n)$ une suite d'opérateurs linéaires continus, telle que pour tout $x \in E,\ T_nx$ converge vers une limite noté $T x$. Alors on a :
(a) $\sup_n\|T_n\|_{L(E,F)}<\infty$
(b)...
"
Le point (a) est clairement une conséquence du théorème de Banach Steinhaus. Le problème est que je ne comprends pas comment montrer que $\sSup_n\|T_nx\|_F<\infty$ (qui permet d'appliquer B-S et d'avoir le résultat) à partir des hypothèses de l'énoncé.
Merci

Bonjour,

Je fais un blocage sur une notion toute simple.

Je ne me souviens plus de ce qu'il faut comprendre à " la limite de cos x quand x tend vers 0 est 1 par valeurs inférieures"

C'est le "par valeurs inférieures" qui me bloque. Je tourne dans quel sens sur mon cercle trigo par rapport à 0.

Y-a longtemps que je n'ai pas fait de trucs comme ça. C'est pour ne pas perdre la main, et la preuve...

Merci pour votre ba.

Clotho

Bonsoir,

Dans mon bouquin, il y a une majoration que je ne comprends pas :
Soit $f$ de période $a$, continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable avec $f'$ continue par morceaux sur $[0;a]$.
On note $c_n(f)=\frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(x)e^{2i\pi nx}dx$
On a $c_n(f')=\frac{2i\pi n}{a}c_n(f)$

Je voudrais comprendre pourquoi :
$|c_n(f)|=\frac{a}{2\pi |n|}|c_n(f')|\leq \frac{a}{4\pi}(\frac{1}{n^2}+|c_n(f')|^2)$

Je ne pense pas qu'il s'agisse d'une IPP car il y a du $c_n(f')$ des deux côtés.
J'ai essayé de majorer en distinguant les cas où $c_n(f') < 1$ et ceux où $c_n(f') \geq 1$ mais je n'y suis pas arrivé.

Quelqu'un pourrait m'aider svp ?

Bonjour, c'est une simple question de notations. Dans plusieurs articles, on parle de convergence au sens de $L^0$. J'ai l'impression qu'il s'agit de la convergence en probabilité.
Est-ce cela ?
Et si oui pourquoi cette notation ?
En quoi la convergence $L^p$ pour $p\to 0$ évoque-t-elle la convergence en proba ?

Amicalement, Raoul.

Bonjour

Si $H$ est un opérateur sur $L^2(\mathbb{R})$ défini par
$$
H f = h \star f
$$
i.e. une convolution avec $h$, alors $H$ est un opérateur compact. Ma question est : a quoi ressemblent les fonctions propres de $H$ et quelles sont les valeurs propres ?

Dans un papier, je lis que la transformée de Fourier $F$ diagonalise $H$ au sens ou $F H F*$ est diagonal. Cela veut-il dire que les valeurs propres sont les coefficients de Fourier de $h$ ?

Merci de m’éclairer...

Bonjour,

La fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ est développable en série entière, et de rayon de convergence $R=2$

Sur $]-2,2[$, sa somme est donnée par $y= \dfrac{1}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1)}{2^{3n+1} n!} x^{2n}$

Comment fait-on pour étudier ce qui se passe sur le cercle de convergence, lorsque $x=2$ ou $x= -2$ ?

Si une âme charitable pouvait me faire un petit développement à ce sujet en cette période de vacances, ça serait sympa.

Je n'ai encore jamais résolu une telle question. Donc ne sais pas comment cela fonctionne.

Merci
Cordialement,
Clotho

Bonjour à tous,

Pour le travail, je m'intéresse actuellement aux fonctions à croissances sous-polynomiale et sous-linéaires :
$$
\exists C >0,\ \exists p >1 :
\forall x\in\mathbb R,\ |f(x)|\leqslant C(1 + |x|^p).
$$
La question que je me pose (peut-être naïve si on la regarde d'une façon qui ne m'a pas traversée l'esprit) est : si $f$ est à croissance sous-polynomiale, en est-il de même de sa dérivée $f'$ si $f$ est $\mathcal C^1$. Intuitivement je dirais oui et pour une telle fonction définie sur $[1,\infty[$ il me semble qu'on peut le montrer par l'absurde comme suit :

Supposons que $f'$ n'est pas à croissance sous-polynômiale : alors il existe $x_{p,C}\in [1,\infty[$ tel que :
$$
f'(x_{p,C}) = |f'(x_{p,C})| > Cp(1 + x_{p,C}^{p - 1}).
$$
Alors, puisque $f'$ est continue, il existe $1\leqslant a < b$ tel que $f'(x) > \frac{C}{p}(1 + x^{p - 1})$ pour tout $x\in ]a,b[$. D'où, en intégrant cette inégalité sur $]a,x[$ :
$$
f(x) >
f(x) - f(a) >
Cpx + Cx^p > C(1 + x^p).
$$
Si ceci est juste, alors le résultat fonctionne t'il aussi pour les fonctions à croissances sous-linéaires et si la dérivée d'une fonction à croissance sous-linéaire est sous-linéaire, que dire de sa majoration ?

Par ailleurs si vous connaissez une bonne référence bibliographique qui aborde ce thème, cela m'intéresse, car je n'ai trouvé que peu de chose là dessus sur internet ou dans les livres.

Merci d'avance,
NM

Bonsoir à tous,

J'aimerais savoir si l'équation aux dérivées partielle suivante est résoluble explicitement (ie on peut trouver une famille de solution exprimable par des fonctions usuelle):

$$\frac{\partial f}{\partial x}-2f\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

Je vous remercie par avance,

Blue

Bonjour.

Si $(X,\mathcal{A}, \mu)$ est un espace mesuré, $f \in L^1(\mu, \mathbb{K})$, avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on définit une mesure à valeurs dans $\mathbb{K}$ par $\nu(A) = \int_A f \, d\mu$.

Il est facile de vérifier, à l'aide du théorème de Radon-Nikodym qui nous fournit une densité $g$ de $\nu$ par rapport à $|\nu|$, avec $|g| = 1$ partout, que l'on a $|\nu|(A) = \int_A |f| \, d\mu$.

Qu'en est-il si l'on prend $f \in L^1(\mu, E)$, où $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie ?
Le théorème de Radon-Nikodym est toujours valable, et on a donc $d\nu = g \, d|\nu|$, avec $|g| = 1$ partout, mais la preuve de $|\nu|(A) = \int_A |f| \, d\mu$ ne fonctionne plus, car on a plus le droit de diviser par $g$ ...

Ce résultat est-il toujours vrai, et si oui, comment le prouve-t-on ?

Merci d'avance. :)

Bonjour, j'ai un exo d'analyse fonctionnelle difficile (en tout cas pour moi). La question est de démontrer la formule suivante
\[
\forall f \in L^1(\mathbb R^d),\qquad f= \int_{x \in \mathbb R^d} f(x) \ \delta_x \ dx
\]
ou l'intégrale est à comprendre au sens vectoriel i.e. on intègre une fonction de $x \in \mathbb R^d$ à valeurs dans l'espace de Banach $M$ des mesures bornées (l'intégrale est bien convergente car $\int \| f(x) \delta_x \|_M dx = \int | f(x) | dx < \infty$).

Soit $f$ une fonction de $]0;1[ \rightarrow \R$ de classe $C^{\infty}$ et pour tout $n \in \N$ et tout $x \in\, ]0;1[$, on a $f^{(n)}(x) \geq 0$

Montrer que $f$ est DSE dans $]0;1[$

Bonjour,

Je lis que l'on obtient l'égalité ci-dessous en inversant l'ordre de l'intégration.
$P(y)$ est une fonction de répartition.
Mais je n'y arrive pas ... Quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Merci
$$\int_{x}^{\infty}\int_{t}^{\infty}e^{-\rho(y - t)}dP(y)dt =\frac{1}{\rho}\left[\big(1-P(x)\big) - e^{\rho x} \int_{x}^{\infty}e^{-\rho y}dP(y)\right]$$

Bonsoir,

Je cherche à calculer l'intégrale suivante : \quad $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos(t)\sin(2nt)dt$
Dans le bouquin d'exos, on me donne la solution suivante : $\displaystyle -\frac{1}{\pi n} \Big(\frac{1}{n}-\frac{\pi}{4n}\Big)$
Je m'embrouille dans le calcul mais suis très loin de la solution du bouquin.

Je linéarise et je trouve que l'intégrande est égal à : $\displaystyle \frac{1}{4i}(\cos(t+2nt)-\cos(t-2nt))$ puis j'intègre chacun des deux termes.
J'obtiens $\displaystyle \frac{1}{4i} \Big(\frac{-\sin(t+2nt)}{1+2n}+\frac{\sin(t-2nt)}{1-2n} \Big)$
J'intègre entre $0$ et $\pi$ et obtiens : $\displaystyle \frac{1}{4i} \Big(\frac{-(-1)^n}{1+2n}+\frac{(-1)^n}{1-2n} \Big)$
Ce qui donne $\displaystyle \frac{1}{4i} \Big(\frac{4n^2(-1)^n}{1-4n^2} \Big)$

Merci pour votre aide.

Bonjour,

J'ai une question concernant une équation différentielle à second membre discontinu :
$$\dot{x}=v(x),\quad x(0)=0.2, \qquad \mathrm{avec\ } v(x)= \begin{cases}
0.5, & \mathrm{si\ } x <0.5, \\
1.5, &\mathrm{si\ } 0.5 \leq x.
\end{cases}$$
Dans ce cas précis, peut-on donner un sens à la solution comme raccord des deux solutions classiques qui sont des droites :
$$x(t)= \begin{cases}
0.2+0.5 t, & \mathrm{si\ } t <0.6, \\
0.5+1.5(t-0.6), & \mathrm{si\ } 0.6 \leq t.
\end{cases} $$
Comment montrer la convergence du schéma d'Euler vers cette solution dans ce cas ?

Merci d'avance.

Bonsoir à tous,
J'ai besoin d'aide concernant le problème suivant :
Determiner toutes les fonctions continues $ f : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} $ telles que pour tous $ x,y \in \mathbb{C} $ :
$$ f(x+iy) = x+y $$
Merci d'avance.

Bonjour

Je suis en train d'étudier les applications $f$ de $S^1$ dans $S^1$ où $S^1$ est le cercle unité. Dans le doc que je lis, il est question des applications qui conservent l'orientation des points. Comment traduire en termes mathématiques cette propriété?
J'imagine que cela conserve l'ordre des points, mais ca donne quoi en terme mathématique?

Je vous remercie

Bonjour

Pourriez-vous me donner la définition précise d'un ouvert de $\R^n$ dont la frontière est de classe $\mathcal C^k$ où $k=0,1,\ldots,+\infty$? Et de même celle d'un ouvert de $\R^n$ de frontière lipschitzienne?

J'ai une idée intuitive de ce que c'est mais je voudrais bien connaitre les "vraies" définitions.

Merci mille fois!