Bonjour

Je voudrais savoir s'il existe des tables, un programme informatique ou une méthode algébrique simple ou "rapide" donnant les valeurs de $\dbinom{n}{k}$ pour $n$ entier et $k$ rationnel (j'entends "fractionnaire") ?
Par exemple, comment calculer $\dbinom n {\frac{3}{2}}$ ? Je n'ai rien trouvé de satisfaisant jusqu'ici et j'appréhende la méthode de calcul par les factorielles généralisées d'Euler...
Merci pour toute aide !

Bonjour,

Indicatrice d'Euler, encore.

Si l'on excepte $0$ et $1$, connaît-on d'autres valeurs d'adhérences de $\phi(n)/n$ qui ne sont pas des valeurs prises par la suite ?

Bonjour à tous,
Comment montre-t-on que :
$$ \zeta (s) = \sum_{n \geq 1 } \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1- p^{-s}} $$
Merci d'avance.

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai une petite question à propos de sommes mettant en jeu l'indicatrice d'Euler $\varphi$, en particulier des développements asymptotiques.

J'ai déjà pu voir sur dans les messages du forum ( et une preuve en est donné dans le livre de G.Hardy "An Introduction to the Theory of Numbers" ) que
$$ \sum_{i=1}^n \varphi(i) =\frac{3n^2}{\pi^2}+\mathcal{O}(n\ln(n)). $$

Seulement je ne trouve aucune information sur la somme suivante $\displaystyle \sum_{i=1}^n i \varphi(i) $.
Il semblerait qu'on ait : $$\sum_{i=1}^n i \varphi(i) = \frac{2n^3}{\pi^2}+\mathcal{O}(n^2\ln(n))$$ mais je n'ai trouvé aucune justification dans mes notes ou sur le net.
Est ce que quelqu'un a des informations sur cette égalité ?

Merci beaucoup.

Bonjour,

en faisant joujou avec ma calculette, j'ai été amené à considérer la suite $(u_{n})$ définie pour $n>0$ par $\displaystyle{u_{n}=1+2^{2n}\sum_{i=1}^{n}i^{2}}$. Ma question est la suivante : lorsque $u_{n}$ n'est pas premier, contient-il nécessairement un facteur premier de la forme $10k+3$ ?

Merci d'avance.

Bon soir,
.........

La semaine dernière, une paysanne a apporté au marché des œufs
de dindon, de poule, et de perdrix. Elle a vendu tous les œufs de
dindon et il lui a resté 10 œufs de poule, 16 œufs de perdrix, et elle a
eu 25,8 dinars. Cette semaine, elle a apporté le même nombre et a
vendu tous les œufs de perdrix, de poules, lui a resté 12 œufs de
dindon et a eu 27.5 dinars. Elle a précisé le prix de chaque type de
sorte que la somme des prix soit 0.6 dinars.
Sachant que le prix d’un œuf de perdrix ne dépasse pas
210 millimes et supérieur à 189 millimes, calculer le prix de chaque
type d'œuf.
Remarque: 1 dinar= 1000 millimes. Le millime est la plus petite unité .
En espérant réussir de me faire comprendre..Omar

Bonjour,
deux exercices difficiles, dont j'attends le secret des chers visiteurs du dimanche

Pourquoi les rationnels

$u_n=1+1/2+..+1/n$ et

$v_n=1+\sqrt 2+...+\sqrt n$

ne sont pas entiers ?

Merci

Bonjour à tous.
Est-il vrai que si un entier $n$ est un carré modulo $p$ pour tout $p$ premier alors $n$ est un carré?
Merci de votre aide.

If $n$ is a positive integer and $n^2$ is divisible by 98, then the largest positive integer shown that must divide $n$ is ?
2
7
14
28
56
?

Je ne comprends pas trop comment le traduire de l'anglais
On a $n^2/ 98=m \Rightarrow n^2=m\times 98 \Rightarrow n\times n=m\times 98 \Rightarrow m divise n$
if $m=2$ alors $n^2=196$
if $m=7$ alors $n^2=696$
if $m=14$ alors $n^2=1372$
if $m=28$ alors $n^2=2744$
if $m=56$ alors $n^2=5488$

suis-je dans le bon chemin

[La case LaTeX. AD]

Bonjour à tous

Est-ce que quelqu'un aurait une démonstration sur la propriété suivante :

Soint $n=|E|$ et $p=|F|$. Le nombre de surjections de $E$ dans $F$ vaut 0 si $n<p$ sinon si $p\leq n$ :
$\displaystyle \sum_{i=0}^{p}(-1)^{i}\frac{p!}{i(p-i)!}(p-i)^n=p!\mathcal{P}(n,p)$ où $\mathcal{P}(n,p)$ est le nombre de partitions à $n$ éléments en $p$ sous-ensembles.

En vous remerciant, cordialement

Bonjour,

Je cherche une formule pour les coefficients $a_{\alpha}(n)$ définis par $\displaystyle \frac{\zeta(\alpha s)}{\zeta(s)}=\sum_{n\geq1}\frac{a_{\alpha}(n)}{n^{s}}$. Lorsque $\alpha=\frac{1}{m}$ avec $m$ entier $>0$, il suffit d'utiliser le produit de convolution mais ce n'est pas très pratique.
Je cherche une forme du genre $a_{\alpha}(n)=b(n)c(n)$ avec $c(n)$ multiplicative et $b(n)$ simple si ça existe ou de ce style.

Bonsoir. Je cherche une démonstration du théorème suivant : tout entier naturel non nul n s'écrit de façon unique sous la forme $ n=\sum_{i=0}^na_ix^i$ avec $ a_n\neq 0$ et $ a_i\in\{0,...,x-1\}$.
Note :
- je ne suis pas certain de l'intitulé du théorème, mais je vois l'idée ! (je sais que c'est pas bien de mal recopié le cours ... )
- ça fait 3h (voire plus !) que je cherche une démonstration (livres, internet) et j'ai rien trouvé ; les rares trucs que j'ai pu avoir sont pas à mon goût :-(
- pardon à Mr. AD pour le titre, cette fois je ne sais vraiment pas quoi mettre étant donné que je ne connais pas l'énoncé exact du théorème (td)

Dans la même veine, puisqu'on parle de décomposition, celle en facteurs premiers me cause des soucis pour l'unicité de l'écriture. Supposons avoir prouvé l'existence de k premiers $ p_1<...<p_k$ et $ a_1,...,a_k$ tous non nuls tel que $ n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$. Comment faire l'unicité ? Intuitivement, si j'ai une écriture $ p_1^{b_1}...p_k^{b_k}=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$, j'ai pensé à Gauss sans aboutir à une contradiction.
Merci à tous !

Bonjour,

j'ai deux petites questions au sujet de la fonction zeta de Hasse-Weil associée à une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$ :
1) Dans le développement en série de Taylor de cette fonction au voisinage de $1$, peut-il y avoir d'autres coefficients nuls que les $r_{an}$ premiers (où $r_{an}$ est le rang analytique, i.e. l'ordre du zéro en $z=1$) ?
2) Les coefficients non nuls de ladite série de Taylor sont-ils linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$ ?

Merci d'avance.

Bonjour,
Un entier hautement composé est un entier qui possède strictement plus de diviseurs que chacun des entiers qui le précède. Ils ont été introduits semble-t-il par Ramanujan dans un mémoire de 1915.
Il est facile de montrer que ces nombre s'écrivent sous la forme:
$p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_n^{a_n}$
où $p_1 = 2, p_2 = 3,..., p_n$ sont les premiers nombres premiers rangés dans l'ordre croissant.
Il est facile de démontrer que les exposants sont décroissants, au sens large (sinon on peut trouver un entier plus petits avec autant de diviseurs).

Ma question: il me semble plus délicat de démontrer que le dernier exposant, sauf dans le cas de 9 et 36 (qui sont hautement composés), est forcément un 1.

A moins qu'il n'y ait une approche simple qui m'aurait échappé !
Bien cordialement,
Christian

Bonjour !

Une petite question qui a l'air facile comme tout mais que je ne sais pas prendre par le bon bout de la pensée :

est-ce que pour tout entier naturel $n$, l'entier $n^2+n+41$ est premier ?

J'ai envie de dire oui, mais tout ce dont j'ai réussi à me convaincre, c'est que cet entier est impair, donc s'il est composé ses diviseurs propres sont impairs.

Cordialement,

Drasseb

Bonjour

Voici une curiosité récupérée sur le forum du site Bacamaths :

Montrer que le nombre de triangles non isométriques dont les longueurs des côtés sont des entiers et le périmètre est $n$ est :
$$a_n=\left[\frac{n^2+3n+21+(-1)^{n-1}3n}{48}\right]$$
où $[\cdots]$ désigne la partie entière.