Les-mathematiques.net - Fondements

Th�orie des fondements, le choc thermodynamique. (2 r�ponses)

annaxelle — Thu, 22 Jul 2010 20:14:41 +0200

L'usage de la logique est n�cessaire � l'intelligibilit�, le d�passement de la logique est n�cessaire � l'intelligence. La r�f�rence � la logique est n�cessaire � la v�rification. Le d�passement de la logique est n�cessaire � la v�rit�.

Edgar Morin.

J'adh�re.

Mais c'est vrai qu'il n'y a plus de saison.

Etonnant non?

C'est quoi le sujet du jours?

:)-D

Y a-t-il une structure des nombres premiers ? (30 r�ponses)

annaxelle — Thu, 22 Jul 2010 17:57:18 +0200

Titre initial : Une structure des nombres premiers existe ou n'existe pas?
[Un titre doit �tre court. :) AD]

Une question me travail franchement depuis quelques ann�es...

Est-ce qu'il existe une [structure de l'ensemble des nombres premiers] conceptuelle (ou autre cat�gorie), mais non bas�e sur la th�orie des nombres, ni analyse ?

Je ne sais pas comment formuler autrement, ni quel sous-forum cela devrait concerner, entre "fondement des math�matiques", ou "histoire des math�matiques".

A mon sens, l'angle "arithm�tique" n'entre pas dans ma conception de la notion de [structure] dans ce sens.

J'ai �norm�ment lu � ce sujet, et jamais je n'ai trouv� quelque information qui s'approche d'un [concept ou structure] pour un ensemble de nombre premiers... (est-ce un ensemble en fait ?). J'ai m�me plut�t trouv�e des infirmations de l'existence d'une telle structure clairement d�finie.

J'exclue aussi le Th. de Wilson, qui n'est qu'un th�or�me de caract�risation arithm�tique, et non pas un concept d'une structure conceptuelle.

AD> ah oui, merci AD, je me con�oit � peu pr�s aussi mal que je m'�nonce pas bien. merci, et en plus j'ai oubli�e de dire bonsoir :(

bonsoir :)

Ensemble des parties de l'ensemble ... (20 r�ponses)

Gilles Dupuy — Wed, 21 Jul 2010 14:28:59 +0200

Titre initial : Ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble vide
[Un titre doit �tre concis. Tu as tout le corps du message pour d�velopper. AD]

Bonjour,

Je me place dans le cadre des axiomes de la th�orie des ensembles ZFC.
Ma question porte sur l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble vide : Je souhaiterais d�montrer que cet ensemble contient uniquement deux �l�ments : l'ensemble des parties de l'ensemble vide, et l'ensemble vide.

J'ai bien r�ussi � d�montrer que l'ensemble des parties de l'ensemble vide ne contient qu'un �l�ment, l'ensemble vide, mais apr�s je bloque. Pourtant �a me semble �tre un r�sultat trivial. Quelqu'un peut-il m'aider ?

D'o� vient la logique ? (14 r�ponses)

Epicure21e — Sat, 31 Jul 2010 01:22:03 +0200

Bonjour � tous,

Je viens de tomber sur votre forum et c'est exactement ce que je cherchais. Un lieu o� l'on se demande d'o� viennent les maths et la logique. On y retrouve les deux ��camps�� habituels : les philosophes et les math�maticiens, qui ont beau vouloir parler de la m�me chose, mais ont bien du mal � se mettre d'accord. En tant qu'informaticien, je suis dans un troisi�me camp, et j'ai une autre vision de la logique qui est incompatible les th�ories classiques, tout particuli�rement avec cette id�e que la logique ne serait que de la manipulation de symboles, � partir de r�gles injustifiables tomb�es du ciel.

Pour changer des autres fils de discussions, je ne vous propose pas des questions, mais des r�ponses, sous la forme d'une th�orie (en cours d'�criture) qui construit de fa�on m�canique les concepts de la logique, sans utiliser des formules du genre ��il est �vident que��, ��c'est imm�diat, trivial ...�� qui tapissent tous les cours de logique classique.

Il s'agit d'une machine qui, � partir d'op�rations �l�mentaires, retrouve petit � petit, toutes les lois de la logique, en en g�n�ralisant quelques unes au passage.
Cette machine est bien s�r un ordinateur. Mais pas n'importe lequel. Le plus inefficace de tous les CPU jamais produit, car il ne poss�de aucune instruction logique binaire (ET, OU, NON �) et encore moins d'op�ration num�rique (nombres, addition � m�me sur les entiers). Il ne sait faire qu'une seule chose g�rer des �tiquettes (en info, des pointeurs qui pointent sur d'autres pointeurs).

L'id�e de cette machine m'est venue de la constatation que la logique ne pouvait pas �tre le fondement des math�matiques, car les op�rations ensemblistes permettent de construire la logique et notamment la logique multivalu�e (ce que tout informaticien qui se respecte, sait quand il manipule des op�rateurs sur des ensembles de bits). La cons�quence est qu'une th�orie comme ZFC ne peut pas �tre fondamentale, puisqu'elle est �crite � partir d'une logique admise, laquelle se construit � partir d'une th�orie des ensembles, dont on ne sait pas d'o� elle vient, mais qui a les m�mes op�rations et caract�ristiques que ZFC. Par ailleurs, tous les concepts doivent avoir une d�finition claire. Comment peut on pr�tendre avoir une th�orie de la logique sans donner un sens pr�cis (avec des d�finitions non-circulaires) � des mots comme ��proposition, vrai, faux, si, alors, d�duction, th�or�me �� ?

Pour ceux que �� int�resse, et qui ont du temps � perdre, car c'est tr�s long vu que tous est d�montr�. Vous pouvez allez voir � quoi �a ressemble, ici : th�orie du raisonnement

Pour l'instant, il ne s'agit que du d�but du texte. D'ici la fin du mois , la construction de la logique bool�enne sera compl�te jusqu'aux pr�dicats. Ensuite, faudra patienter pour les chapitres suivants qui construisent les maths, les nombres, les probas... c'est sans fin.

lemme de Zorn (3 r�ponses)

Archimondain — Fri, 18 Jun 2010 09:11:30 +0200

Bonjour
Je ne comprends pas le lemme de Zorn.
Si on choisit l'ensemble
Cet ensemble poss�de un majorant qui est par exemple est
Tout sous-ensemble de poss�de le m�me majorant.
Pourtant n'a pas d'�l�ments maximal.

Cela vient-il du fait que le lemme de Zorn ne s'applique pas pour n'importe quel ensemble et n'importe quel relation d'ordre ?
Ou est-ce que je commets une erreur de raisonnement quelque part ?

Merci d'avance

[Max Zorn (1906-1993) m�rite certainement sa majuscule. AD]

Code LaTeX

Bonjour
Je ne comprends pas le lemme de Zorn.
Si on choisit l'ensemble $[0,1[$
Cet ensemble poss�de un majorant qui est par exemple est $1$
Tout sous-ensemble de $[0,1[$ poss�de le m�me majorant.
Pourtant $[0,1[$ n'a pas d'�l�ments maximal.

Cela vient-il du fait que le lemme de Zorn ne s'applique pas pour n'importe quel ensemble et n'importe quel relation d'ordre ?
Ou est-ce que je commets une erreur de raisonnement quelque part ?

Merci d'avance

[Max Zorn (1906-1993) m�rite certainement sa majuscule. AD]

Modifi� 1 fois. Derni�re modification le 15/06/2010 par AD.

Des principes cognitifs architecturaux !? (11 r�ponses)

JYT — Sat, 10 Jul 2010 20:31:35 +0200

Madame, Monsieur,

J'ai besoin de votre aide pour avancer dans un travail qui me para�t tr�s important, comme je vais essayer de vous en convaincre.
Il s'agit � la fois de science et de philosophie.
Il s'agit de plusieurs aspects de la pens�e, dont montrer comment la vie peut produire la conscience � partir de principes et d'encha�nements causaux, mais aussi comment la connaissance de ces principes peut aboutir � des d�couvertes syst�matiques sur des composants ou regroupements de constituants permettant la composition de la pens�e active ; la biologie pouvant s'entrevoir comme cons�quence de la physique, par la m�taphysique qu'elle porte en elle, se concevoir en philosophie de la nature.
Or, jusqu'� pr�sent, je n'ai pas rencontr� de correspondant pour un dialogue constructif.
En comprenant la logique de mes �nonc�s vous trouverez comment m'aider, peut-�tre.
Ainsi, pour vous livrer ma pens�e, puis-je la resserrer sur trois principes : la causalit� relative g�n�ralis�e, le paradigme de la communication et celui de la signification.
Le principe de causalit� relative g�n�ralis�e s'appuie sur l'id�e d'interlimitation des causes et des ontologies, celles-ci �tant � tout support de mani�re d'�tre �. Car cette interlimitation des causes et des ontologies nous am�ne � consid�rer g�n�tiquement les rapports de tout syst�me en formation � ce qui le d�limite ; aussi bien dans le cadre de la communication que dans celui de la signification.
Le paradigme de communication vise � �claircir les ��bo�tes noires�� qui constituent des �tapes entre messages dans la th�orie de l'information. Il pointe les passages entre des ph�nom�nes d'�changes quasi al�atoires qui deviennent au mieux r�ciproques, puis respectifs, lorsque les parties qui prennent corps s'adressent entre elles de ce fait en tant que telles, pour leur responsabilit� dans ces communications.
Autrement dit des �l�ments et parties construites d'�l�ments peuvent progressivement, en tant que telles, entrer en contact et communiquer entre eux ; c'est-�-dire en composant des cat�gories distinctes, car c'est ��en tant que telles�� que nous comprenons les fonctions des parties. A leur tour ces compositions peuvent ou non devenir des constituants fixes.
Le compl�mentaire du paradigme de communication est celui de signification. Il en a besoin.
La signification, c'est-�-dire quoi et pour qui, appara�t avec ses protagonistes cr��s simultan�ment et r�ciproquement par la communication.
Les parties en formation se constituent depuis leurs interactions r�ciproques en laissant des traces de ces interactions dans leur voisinage jusqu'� �voluer et prendre en compte ces traces comme �tant les leures et en tirer des cons�quences. N'est-ce pas l� un seuil d'�mergence de la conscience ?
Pour resserrer encore mon propos, j'envisage l'�tude des ��sunistors��, d'un mot grec signifiant : ��qui sait avec un autre�� d'o� ��t�moin��. Les sunistors remplaceraient les transistors en �mergeant par interpr�tations r�ciproques constructives pour celles des interpr�tations qui convergent vers une m�me r�alit�. C'est une propri�t� de la r�alit� de r�sister � des interpr�tations par des sources diff�rentes.
Ainsi, vous l'avez compris, ce que je d�fends sont des principes cognitifs architecturaux c'est-�-dire constitutifs car constructifs de la personne.
Jean-Yves Tallet

Proposition ind�cente ? (72 r�ponses)

asymptotik — Thu, 08 Jul 2010 22:31:36 +0200

Bonsoir � tous, j'ai une proposition � faire aux membres du forum avec l'accord des mod�rateurs. En quoi consiste celle-ci ? J'aimerais ouvrir un fil ax� sur la philosophie des math�matiques,un fil li� aux fondements des math�matiques, le but �tant de confronter des th�ses tr�s r�centes en philo des maths avec un public de scientifiques tout particuli�rement de math�maticiens.Je pr�cise d'embl�e que ce d�bat, s'il devait avoir lieu, serait je l'esp�re tout ce qu'il y a de plus s�rieux intellectuellement et pas des �lucubrations dans le style de certains forumeurs occasionnels. Si je requiers l'accord des mod�rateurs c'est parce que ce forum est un forum de math�matiques, la philosophie n'y a pas a priori sa place, mais la cat�gorie "fondements" me semble se pr�ter en partie � ce genre de choses. J'esp�re que quelque membres du forum se montreront enthousiastes, certains comme Nicolas Patrois ont fait des �tudes d'�pist�mologie. J'envisage ce fil comme une collaboration � long terme pour �tudier quelque topics, notamment les arguments dits d'indispensabilit� et la place des nombres r�els dans les th�ories scientifiques. J'en dirai un peu plus si quelque personnes se manifestent. Si les mod�rateurs pensent que ce genre de sujets n'a pas sa place ici, je peux �ventuellement cr�er un blog pour en discuter mais tenter les choses ici peut constituer une premi�re exp�rience. Je tiens en tous cas � faire �� avec des matheux, car si comme le pensent un certain nombre de math�maticiens la t�che de fondements des math�matiques est devenue au pire une t�che impossible au mieux une t�che de philosophes, je ne doute pas que le sujet puisse int�resser certains d'entre vous. De plus, il est indispensable au philosophe des sciences de se confronter aux scientifiques ou bien m�me d'en �tre un (ou de tenter de le devenir comme moi, je viens d'ailleurs d'achever avec votre aide comme toujours ma licence 3 de math�matiques). Dans une perspective naturaliste � la Quine je con�ois la philosophie dans la continuit� des sciences empiriques et exactes.

Cordialement

Les ensembles c'est classe !? (120 r�ponses)

samok — Sat, 31 Jul 2010 21:42:20 +0200

axiome versus d�finition
Definition 0.1.
PAxiom of extensionality
.

J'ai d�j� lu des livres (techniques) de R M.Smullyan et je sais que s'il utilise deux noms diff�rents c'est qu'il y a une raison. Alors voil� pourquoi ce n'est pas une d�finition de l'�galit� de deux classes plut�t qu'un axiome ?

Qui crie au scandale et pourquoi ? si j'�cris :
.
les pr�requis
Le livre se dit auto suffisant si l'on est familier avec les notions de classes ou collections ainsi que la notion de �tre un �l�ment d'une classe .
Est-ce une fa�on d�tourn�e de dire que ce sont des notions d�licates mais qu'on en a une intuition depuis l'�cole primaire. Ou bien est-ce un ouvrage � part enti�re ?
les notations
Pourquoi cette utilisation de � la place de je ne la trouve pas naturelle et me confusionne.
Homme Mortel.
L'ensemble des hommes est inclus () dans l'ensemble des mortels

Je vais d�poussi�rer le Bourbaki en la mati�re en attendant vos r�ponses.
S

Code LaTeX

Bonsoir,

je suis entrain de lire Set theory and the continuum problem de R M.Smulyan et M. Fitting.
J'aimerais arriver � comprendre ce qu'est que ce forcing mais surtout avoir une vision claire et pr�cise des fondements des math�matiques. Je me rends compte que l'id�e que j'en ai est vague.
J'ai pas mal d'interrogations, j'ai peu regard� en cyb�rie mais je ne trouve pas de r�ponses tout � fait satisfaisantes.

Pour ce qui me pr�occupe l� maintenant :
\begin{itemize}
\item ~ axiome versus d�finition
Definition 0.1. $A \subseteq A =_{df} (\forall x)(x \in A \supset x \in B)$
$\text{P}_1 [\text{\bfseries Axiom of extensionality}]$
$(\forall x)(x \in A \equiv x \in B) \supset A = B$.

J'ai d�j� lu des livres (techniques) de R M.Smullyan et je sais que s'il utilise deux noms diff�rents c'est qu'il y a une raison. Alors voil� pourquoi ce n'est pas une d�finition de l'�galit� de deux classes plut�t qu'un axiome ?

Qui crie au scandale et pourquoi ? si j'�cris :
$(\forall x)(x \in A \equiv x \in B) =_{df} A = B$.
\item ~ les pr�requis
Le livre se dit auto suffisant si l'on est familier avec les notions de classes ou collections ainsi que la notion de �tre un �l�ment d'une classe $A$.
Est-ce une fa�on d�tourn�e de dire que ce sont des notions d�licates mais qu'on en a une intuition depuis l'�cole primaire. Ou bien est-ce un ouvrage � part enti�re ?

\item ~ les notations
Pourquoi cette utilisation de $\supset$ � la place de $\Rightarrow$ je ne la trouve pas naturelle et me confusionne.
Homme $\Rightarrow$ Mortel.
L'ensemble des hommes est inclus ($\subset$) dans l'ensemble des mortels
\end{itemize}

Je vais d�poussi�rer le Bourbaki en la mati�re en attendant vos r�ponses.
S

Modifi� 5 fois. Derni�re modification le 15/06/2010 par AD.

le gradient et sa d�riv�e (2 r�ponses)

emna_1986 — Mon, 31 May 2010 22:08:25 +0200

Bonne apr�s midi � tous,

Je me demande la question : est ce que la d�riv�e du gradient est le Laplacien aux sens des distributions cela veut dire
est ce que c'est juste d'�crire :
∀φ∈D(B) <∇u,∇φ> = <-∆u,φ> avec B un ouvert de R^n ?

Je serai reconnaissante si vous me r�pondez le plut t�t possible.

Math�matisation de l'entropie (1 r�pondre)

@l — Thu, 27 May 2010 11:52:11 +0200

Bonjour tout le monde,

je ne sais pas si ce message est plac� au bon endroit; si ce n'est pas le cas, est-ce qu'un mod�rateur pourrait le d�placer l� o� il le faut?

Ma question concerne la math�matisation du concept d'entropie. Pour pas mal de raisons, je commence � m'int�resser � ce travail et c'est naturellement que j'ai pris connaissance des articles de base Lieb et Yngvason (cf pi�ces jointes). Leur approche correspond � mes attentes et du coup, j'aurais voulu savoir si des travaux plus r�cents, plus "profonds", appliqu�s � certaines situations et/ou plus "heuristiques" existaient?

Merci d'avance pour vos r�ponses,
@l

[attachment 15832 9805005v1.pdf]
[attachment 15833 0003028v1.pdf]

Math�matiser philosophiquement la r�alit� ? (12 r�ponses)

mmx — Sat, 03 Jul 2010 11:32:19 +0200

Bonjour,

La derni�re fois que j'ai post� ici j'�tais en pr�pa. Aujourd'hui je suis en th�se d'info. C'�tait hier quoi :)

J'ai une petite question (�videmment, on poste rarement un premier message pour annoncer une r�ponse...).

Les math�matiques sont par essence, connus pour leur rigueur. Veuillez donc accepter, une fois n'est pas coutume, de laisser parler un peu votre cerveau gauche pour m'aider � r�pondre � mon petit probl�me. Veuillez m'excuser si certains mots (vocabulaires math�matique) sont mal choisis. Je souhaite �tudier les relations entre deux ensembles afin de valider ou de rejeter trois hypoth�ses : soit deux ensembles Cr et Cv.

La premi�re hypoth�se : le lien est inclusif (l'ensemble Cr est une dimension de l'ensemble Cv (ou inversement) )
La deuxi�me hypoth�se : le lien est exclusif (l'ensemble Cr s�oppose � l'ensemble Cv (ou inversement) )
La troisi�me hypoth�se : le lien est hybride (l'ensemble Cr et l'ensemble Cv coexistent).

Si je ne me trompe pas, la th�orie des cat�gorie pourrait me permettre de r�soudre ce petit probl�me � moins que vous ayez d'autres propositions ? D'abord je voudrais savoir comment je peux d�montrer que mes deux ensembles Cr et Cv sont des Cat�gories ?

Consid�rons que l'ensemble Cr est tout simplement (et sobrement) la R�alit� :) Selon la th�orie des cat�gories, Cr consiste en :

1- une collection d'objets : A : l'espace. B : Temps. C : �tres Humains, D : Atomes, ... (c'est bon �a ?)
2- une collection de morphismes : th�orie de la relativit� qui relie espace et temps, �quation de Schr�dinger qui relie espace le temps et les atomes, ... (c'est bon �a ?)
3- une op�ration de composition : C'est l� que je bloque un peu au niveau des propri�t�s d'associativit� et de l'existence de l'identit� (� moins que ce que j'ai �cris jusque l� soit d�j� du non sens :) )

Pourriez-vous, premi�rement, m'aider � "d�montrer" que la R�alit� est une Cat�gorie ? dans le but de valider ou non les hypoth�ses pr�c�demment cit�es ?

Si quelqu'un est disponible pour y r�fl�chir avec moi en priv� qu'il n'h�site pas. Je suis certain que d'autres questions vont se poser � moi..

Je vous remercie d'avance (cerveau gauche et droit ! ) pour toute �ventuelle r�ponse ou question que vous apporterez.

Axiomes ZF (7 r�ponses)

V_incent — Thu, 06 May 2010 11:22:17 +0200

Bonjour,

pour des raisons diverses, je me suis amus� � refaire la construction de derni�rement.
Cela m'a amen� � repenser aux axiomes derri�re cette construction (j'ai fait la classique construction ensembliste), et cela m'a conduit � la question suivante :
Je comprends bien que les axiomes d'extensionnalit� et de compr�hension soient justement des axiomes, mais finalement je ne comprends pas ou plus pourquoi les axiomes de la paire, de la r�union et de l'ensemble des parties en sont (soit je l'ai su un jour, nagu�re, soit, plus probablement je ne me suis pas pos� la question � l'�poque comme tout gentil �l�ve bien studieux...)
J'ai donc d� passer � c�t� de quelque chose de fondamental, mais je ne trouve pas quoi.
Je m'en remets � vos explications avis�es dont je vous remercie par avance.

Pour plus de clart�, je remets ci-dessous les axiomes tels que je les ai appris � l'�poque (d�finitions issues du Schwartz, Analyse, I).

Axiome d'extensionnalit� :
Un ensemble est parfaitement d�termin� par ses �l�ments :

Axiome de s�lection ou de compr�hension :
Etant donn� une formule portant sur un ensemble variable (ou un pr�dicat � une place), il existe un ensemble dont les �l�ments sont, parmis ceux de , ceux qui poss�dent la propri�t� .

Axiome de la paire :
Etant donn�s deux ensembles et , il existe un ensemble qui a pour �l�ments et et seulement eux.

=> n'est-ce pas une mani�re de d�finir l'ensemble � partir de ses �l�ments (axiome d'extensionnalit�) ?

Axiome de la r�union :
Etant donn�e une collection , il existe un ensemble dont les �l�ments sont les �l�ments qui appartiennent � l'un des ensembles de la collection.

=> n'est-ce pas une mani�re de d�finir l'ensemble r�union par une formule (axiome de comph�sension) ?

Axiome de l'ensemble des parties :
Pour un ensemble , il existe un ensemble dont les �l�ments sont les sous-ensembles de .

=> n'est-ce pas une mani�re de d�finir l'ensemble des parties par une formule (axiome de comph�sension) ?

Code LaTeX

Bonjour,

pour des raisons diverses, je me suis amus� � refaire la construction de $\N$ derni�rement.
Cela m'a amen� � repenser aux axiomes derri�re cette construction (j'ai fait la classique construction ensembliste), et cela m'a conduit � la question suivante :
Je comprends bien que les axiomes d'extensionnalit� et de compr�hension soient justement des axiomes, mais finalement je ne comprends pas ou plus pourquoi les axiomes de la paire, de la r�union et de l'ensemble des parties en sont (soit je l'ai su un jour, nagu�re, soit, plus probablement je ne me suis pas pos� la question � l'�poque comme tout gentil �l�ve bien studieux...)
J'ai donc d� passer � c�t� de quelque chose de fondamental, mais je ne trouve pas quoi.
Je m'en remets � vos explications avis�es dont je vous remercie par avance.

Pour plus de clart�, je remets ci-dessous les axiomes tels que je les ai appris � l'�poque (d�finitions issues du Schwartz, Analyse, I).

Axiome d'extensionnalit� :
Un ensemble est parfaitement d�termin� par ses �l�ments :
$$
(\forall a)(\forall b)\left[ (a=b) \leftrightarrow (\forall x)(x\in a \leftrightarrow x\in b)\right]
$$

Axiome de s�lection ou de compr�hension :
Etant donn� une formule $P(x)$ portant sur un ensemble variable $x$ (ou un pr�dicat � une place), il existe un ensemble $b$ dont les �l�ments sont, parmis ceux de $a$, ceux qui poss�dent la propri�t� $P(x)$.
$$
(\forall a)(\exists b)(\forall x)\left[ (x\in a\wedge P(x)) \leftrightarrow (x\in B)\right]
$$

Axiome de la paire :
Etant donn�s deux ensembles $a$ et $b$, il existe un ensemble $c$ qui a pour �l�ments $a$ et $b$ et seulement eux.
$$
(\forall a)(\forall b)(\exists c)(\forall x) \left[ x\in c \leftrightarrow (x=a \vee x=b)\right]
$$
=> n'est-ce pas une mani�re de d�finir l'ensemble $c$ � partir de ses �l�ments (axiome d'extensionnalit�) ?

Axiome de la r�union :
Etant donn�e une collection $a$, il existe un ensemble $b$ dont les �l�ments sont les �l�ments qui appartiennent � l'un des ensembles de la collection.
$$
(\forall a)(\exists b)(\forall x) \left[ (x\in b) \leftrightarrow (\exists c)\left((c\in a) \wedge (x\in c)\right) \right]
$$
=> n'est-ce pas une mani�re de d�finir l'ensemble r�union par une formule (axiome de comph�sension) ?

Axiome de l'ensemble des parties :
Pour un ensemble $a$, il existe un ensemble $b$ dont les �l�ments sont les sous-ensembles de $a$.
$$
(\forall a)(\exists b)(\forall x)\left[x\in b\leftrightarrow x \subset a\right]
$$
=> n'est-ce pas une mani�re de d�finir l'ensemble des parties par une formule (axiome de comph�sension) ?

Modifi� 1 fois. Derni�re modification le 06/05/2010 par Bruno.

une question "non maths" (21 r�ponses)

christophe chalons — Sun, 21 Mar 2010 16:51:35 +0100

J'ai failli polluer un fil:
[www.les-mathematiques.net]

J'ouvre un fil s�par� pour reposer la question sans �crire petit.

On lance un d� � 10 faces. Si on tombe sur 10 on s'arr�te. Sinon on recommence avec un d� � 100 faces. Si on tombe sur 100 on s'arr�te, sinon on recommence avec un d� � 1000 faces, etc, etc.

Quelle est la probabilit� de s'arr�ter un jour (dans la vraie vie enfin pseudo vraie vie, vues que les questions d'�ternit�)?

Bien entendu, la r�ponse acad�mique officielle, usant de sigma additivit�, est ultraclassiquement connue (elle est entre 1/10 et 1/2, peu importe)

Ce qui me parait int�ressant, c'est d'essayer d'apporter une "vraie" r�ponse, regorgeant d'arguments (s'il en existe) ing�nieux ou pertinents. En particulier, chercher au moins une preuve que .

C'est une question un zeste philosophique, mais il y a surement des choses math�matiques � dire dessus

Code LaTeX

J'ai failli polluer un fil:
[www.les-mathematiques.net]

J'ouvre un fil s�par� pour reposer la question sans �crire petit.

On lance un d� � 10 faces. Si on tombe sur 10 on s'arr�te. Sinon on recommence avec un d� � 100 faces. Si on tombe sur 100 on s'arr�te, sinon on recommence avec un d� � 1000 faces, etc, etc.

Quelle est la probabilit� de s'arr�ter un jour (dans la vraie vie enfin pseudo vraie vie, vues que les questions d'�ternit�)?

Bien entendu, la r�ponse acad�mique officielle, usant de sigma additivit�, est ultraclassiquement connue (elle est entre 1/10 et 1/2, peu importe)

Ce qui me parait int�ressant, c'est d'essayer d'apporter une "vraie" r�ponse, regorgeant d'arguments (s'il en existe) ing�nieux ou pertinents. En particulier, chercher au moins une preuve que $p\neq 1$.

C'est une question un zeste philosophique, mais il y a surement des choses math�matiques � dire dessus

Modifi� 1 fois. Derni�re modification le 20/03/2010 par christophe chalons.

partie d�cimale (4 r�ponses)

L�cureuil — Thu, 03 Jun 2010 11:52:19 +0200

Bonsoir

Apr�s avoir entendu des avis divers et vari�s, je pose ma question ici :

La partie d�cimale d'un nombre n'est-elle d�finie que pour un nombre d�cimal, ou bien peut-on dire que pour un r�el x, d(x)=x-E(x) ?? (d(x) d�signant la partie d�cimale du r�el x)
Auquel cas on accepte que la partie d�cimale ne soit pas un nombre d�cimal...

Merci de vos r�ponses

Fondements et raisonnements naturels (7 r�ponses)

Blip — Thu, 11 Feb 2010 18:35:27 +0100

Bonjour � tous.
Je d�couvre ce forum avec joie et le parcours avec int�r�t.
Quelques questions me taraudent auxquelles je n'arrive pas � trouver de r�ponses...
Si vous pouvez me dire vos points de vue ou m'aider � trouver o� chercher vous seriez sympas.

Marre des fondements formels !
Je suis convaincu qu'on peut effectivement formaliser beaucoup de choses si on veut, mais je ne trouve pas �a naturel. L'essentiel c'est quand m�me de faire l'unanimit�, pas de tout �crire.

- Existe-t-il un texte, une th�orie, un article, o� les fondements partent d'objets (reflets de notre pens�e) et non pas de symboles ?
- O� on imagine qu'il existe effectivement un univers dans lequel ces objets ont une existence (du coup pour l'instant pas grand chose de math�matiques) ?
- O� les expressions de notre langage d�signent ces objets ou des relations entre ces objets ?
- O� les connecteurs logiques ne sont pas d�finis les uns par rapport � d'autres mais intrins�quement ? Et l'�galit� aussi ?
(par exemple A partir de propositions, on peut syst�matiquement consid�rer leur disjonction. En donnant des valeurs aux variables libres des propositions, leur disjonction est fausse quand les propositions sont simultan�ment fausses et vraie sinon. C'est vraiment un exemple sans pr�tention).
- O� on se dit que naturellement on doit avoir alors certains crit�res de d�ductions (qui du coup sont plus justifi�s que d�montr�s) pour aboutir � la logique classique (ce que j'ai toujours vu c'est qu'on part de propositions incongrues pour d�montrer des �vidences... sauf en d�duction naturelle mais l� encore philosophiquement c'est plus de la r��criture de langage qu'une dissertation sur des objets math�matiques, ce qui est pourtant plus naturel en math) ?
- O� chaque d�finition d'objets n'est en fait qu'un acte de foi de l'existence de cet objet qui aboutirait � plusieurs th�ories, plus complexes en les recoupant ?
- O� les entiers naturels (et ensuite les r�els, etc... pourquoi pas dans certains cas des objets tr�s physique comme masse o� j'en sais rien) serait d�finis par leur existence abstraites et leurs propri�t�s plut�t que par le recours � un codage par des ensembles ?
- O� on ne d�finit les entiers naturels qu'en ne s'en servant jamais avant (� part les notions d'un et de plusieurs par exemple) ? Et que de leur d�finition on puisse enfin en d�duire qu'on peut consid�rer un nombre n d'objets. En d�duire des propri�t�s sur les collections finies etc...
- O� pourrait m�me faire de la musique en d�finissant l'objet note etc... ou de la philo en d�finissant l'objet art et les relations qu'il entretient avec d'autres notions. On pourrait du coup avoir pleins de points de vue diff�rents selon les objets qu'on consid�re d'une m�me notion (� l'image des th�ories physiques qui d�crivent plus ou moins fid�lement notre monde).

Je m'embrouille et j'ai l'impression de demander qu'on me d�crive la langue fran�aise.
Toutes les questions ne sont pas forc�ment li�es et sont d'importance in�gales.
Je ne vois pas tr�s bien si je m'exprime de mani�re compr�hensible, mais en tout cas tout �a me travaille.

Si vous voyez comment me montrer un bout de lumi�re...

Cordialement

l�gitimit� d'une conjecture (6 r�ponses)

leg — Fri, 29 Jan 2010 00:30:50 +0100

bonsoir
il y a le th�or�me d'incompl�tude de G�del.

mais la question que je vous pose, existe t'il la possibilit� de d�montrer si une conjecture est l�gitime?
c'est � dire que l'on suppose qu'elle est vraie sans pouvoir d�montrer sa n�gation, son affirmation ou ind�cidable.

on part du principe elle est vraie jusqu'� une limite X , cela ne change rien aux math�matiques
c'est � dire qu'elle n'apporte rien de plus .
(exclu les possibilit� d'avanc�e math�matiques qu'une probable d�mo pourrait entrainer, on pourrait en obtenir autant en d�montrant sa l�gitimit� ou sa n�gation)

je prends deux exemples
A)
HR si elle est vraie alors cela va permettre d'avoir une id�e plus pr�cise sur la r�partition des nombres premiers et autres estimations qui vont pouvoir �tre utilis�es dans les diff�rentes formules Math�matiques ..Physique..etc.
Si elle est fausse cela ne g�ne en rien, et on en reste avec les formules actuelles d'estimation, et on continu les calculs et en l'utilisant...!

elle est somme toute l�gitime...!

B) C. Goldbach , premiers jumeaux, Syracuse...

si CG est vraie cela ne change rien de plus on sait que 2n se d�compose en somme
de deux premiers, plus loin que la limite connue actuellement et qui implique les impairs somme de trois premiers ou l'inverse l'un implique l'autre.

si elle est fausse on peut se poser alors la question sur la r�partition des nombres premiers et certain fondamentaux. il en serait de m�me des premiers jumeaux.

par exemple 10 ne se d�compose pas en somme de deux premiers donc CG est Faux, il me manque 1 facteur premier < 10 cela risque d'entrainer 8 si il manque 3...etc
quelque soit ce facteur qu'il manquerait, S_n+1 = ((n+1)(n+2)) /2 est faux aussi...
la factorisation unique de tous les entiers n'est pas r�alisable....etc etc....
la densit� des premiers ne serait pas ce qu'elle est actuellement, c'est � dire calcul�;
s'en s'occuper de savoir si il y a une infinit� de jumeaux, ou si CG est faux ou si Syracuse est vrai...
autre exemple les P.jumeaux >101 et 103 il y en a plus, donc il y a une densit� de premiers nettement sup�rieur � la densit� actuelle est r�el. les algorithmes sont faux ..etc etc et on aurait donc aucun mal � d�montrer CG...ce qui serait contradictoire...ou un paradoxe...

pour Syracuse..vraie c'est bien , faux il y aurait peut �tre des manques dans les entiers car les suites pourraient tendre vers l'infini...

toutes les conjectures sont elles l�gitimes ? est ce que cela peut se d�montrer ou pas ?

Pourquoi supprimer syst�matiquement mes messages m�me dans un topic qui m'est d�di� ? (1 r�pondre)

GDN — Fri, 22 Jan 2010 18:39:22 +0100

Pourquoi
supprimer
syst�matiquement
mes messages
m�me
dans un topic
qui m'est d�di� ?

Dans Fondements,
y a que CC qui en place une,

il a peut-�tre
de gros acquis
pour en parler :

Mais en gros,
il ne fait
que tourner
en rond et autour du pot.

Mon message
est
plut�t
d'ordre philosophique et physique
que math�matique :

C'est pour cel�
qu'il est mieux placer dans
Fondements.

Pourtant
il consiste bien
� cr�er
des concepts formels abstraits :

Du moins ce qu'on peut former de .

Je sais
en quoi consiste
v�tre jeu :

Me d�courager,
afin
que je finisse
par ne plus poster.

J'esp�re
que mes travaux
porteront leurs fruits,
et que vous vous en mordrez
bien
les doigts.

Code LaTeX

Pourquoi
supprimer
syst�matiquement
mes messages
m�me
dans un topic
qui m'est d�di� ?

Dans Fondements,
y a que CC qui en place une,

il a peut-�tre
de gros acquis
pour en parler :

Mais en gros,
il ne fait
que tourner
en rond et autour du pot.

Mon message
est
plut�t
d'ordre philosophique et physique
que math�matique :

C'est pour cel�
qu'il est mieux placer dans
Fondements.

Pourtant
il consiste bien
� cr�er
des concepts formels abstraits :

Du moins ce qu'on peut former de $Univers \,\, Eternel$.

Je sais
en quoi consiste
v�tre jeu :

Me d�courager,
afin
que je finisse
par ne plus poster.

J'esp�re
que mes travaux
porteront leurs fruits,
et que vous vous en mordrez
bien
les doigts.

Modifi� 1 fois. Derni�re modification le 22/01/2010 par GDN.

Bourbaki21 (65 r�ponses)

christophe chalons — Sat, 20 Feb 2010 12:37:57 +0100

Titre plus d�taill�: les fondements expliqu�s aux matheux ordinaires.

En fait, je garde ce titre m�chant et vendeur pour une s�rie de posts et de lien. Je ne sais pas trop o� �a va mener, mais une chose est s�re, c'est absolument quasi impossible de trouver les trucs qui vont suivre dans la litt�rature "pour eux-m�mes", car l'�diteur serait alors assur� de faire faillite. Tout au plus trouve-t-on des petits bouts par ci par l�, mais chaque fois pour alimenter un sujet actuel.

A l'�poque de Boubaki, il n'�tait pas vraiment possible de faire �a car ce n'�tait pas connu. Pr�cis�ment, ce qui n'�tait pas connu, c'�tait la fa�on de voir ce qui est redondant, vue procur�e aujourd'hui par la correspondance de Curry Howard, essentiellement. L'intention existait: celle de tout faire reposer sur peu de choses, le tout �tant enti�rement formalis�. L'histoire, subjectivement a retenu UN syst�me d'aximes (ZFC), mais elle n'y �tait pas oblig�. Par contre, dans l'autre sens, il faut reconnaitre qu'il y a une immersion de n'importe quel autre dans ZF, donc il ne faut pas non plus croire que tout syst�me se vaut.

Premi�res f�lures dans ZF (30 r�ponses)

Ruscassie — Sat, 23 Jan 2010 17:47:58 +0100

Contradiction cach�e dans ZF.

Etant donn�, que je suis d'une nature angoiss�e, malgr� Cantor et G�del qui
ont du d�j� retourner cent fois la question d'une contradiction dans ZF. je ne pouvais accorder ma confiance � ZF, sans �tre all� voir de plus pr�s par moi-m�me.

Or pour pouvoir voir les maths en amont, il n'y a qu'une mati�re: la philosophie.

Si le divorce n'est pas encore consomm�, on peut dors et d�j� dire que
un groupe d'axiomes rel�ve d'un syst�me philosophique, le mat�rialisme
alors qu'un autre rel�ve d'une autre dogme philosophique: l'id�alisme. deux dogmes qui s'affrontent depuis pr�s de 3500 ans.

Vous aurez reconnu dans le r�le de l'isol� l'axiome du choix.
On nous demande de croire sans voir.

Alors que tous les autres axiomes exhibent (quasiment : oui c'est vrai on a pas exhib� l'ensemble vide ou un ensemble, mais on les a sous les yeux)
En effet dans la math�matique hors ZF, l'existence r�sulte toujours d'une exhibition

Si je dit que 4 nombres dont le produit en croix est nul forment deux lignes ou deux colonnes proportionnelles, c'est parce qu'on s'appuie sur un th�or�me qui a exhib� la proportion.

De m�me lorsque le Jacobien est nul, on s'appuie sur un th�or�me qui � exhib�
au moins une fonction de d�pendance.

De m�me lorsque dans une espace topologique convexe, ont dit que l'int�grale d'une diff�rentielles sur tous chemins ferm�s est nulle , si on peut conclure c'est parce qu'il y a un th�or�me qui a exhib� une fonction primitive.

Dans l'axiome du choix, on vous demande de croire sans avoir vu. C'est ce que les philosophes appellent de l'id�alisme

question na�ve (5 r�ponses)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaa — Thu, 31 Dec 2009 16:05:06 +0100

Existe-t-il un ensemble de la forme {{{{.......}}}} "vous voyez ce que je veux dire" peut-on le montrer dans ZF (je d�bute)
En gros existe-t-il une suite d'ensembles (H(i)) telle que H(i)={H(i+1)} pour tout i de N

M�canique quantique (14 r�ponses)

Harpagon — Sun, 03 Jan 2010 10:24:53 +0100

Bonjour

1) Bonjour j'ai entendu dire que la m�canique quantique n'est pas axiomatisable (j'entend proprement).Est-ce vrai?

2) Je connais un petit bout de la th�orie de l'information quantique. Pourquoi ne consid�re-t-on que des espaces de Hilbert de dimension finie pour d�finir l'espace des �tats? Pourquoi a-t-on le droit de faire cela?

3) Il me semble comprendre qu'il a deux formalismes �quivalents pour d�crire la m�canique quantique. Un avec des vecteurs unitaires repr�sentant les �tats (je ne suis pas bien familier avec celui ci) et un avec des matrices de densit� (op�rateurs � trace positif de trace 1). Dans ce dernier formalisme, une matrice de densit� est une mixture d'�tats purs ("combinaison convexe infinie"). J'interpr�te cette "intrication" en pensant que le syst�me est un m�lange de plusieurs �tats purs.

a) Doit-on penser plut�t que c'est � cause de notre ignorance que l'on se donne une matrice de densit� et que le syst�me a bien un unique �tat pur?
b) Comment est "mod�lis�" l'intrication avec l'autre formalisme?

Merci!

Remarquable identit�. (18 r�ponses)

ev — Sun, 24 Jan 2010 22:39:44 +0100

Bonjour � tous.

Quel parti pouvons-nous tirer de ce texte devant nos �l�ves ?

J'ai parfaitement conscience que ce sujet est br�lant et peut partir en torche � tout moment.

amicalement,

e.v.

Ensembles bien ordonn�s (16 r�ponses)

Zermelo — Wed, 18 Nov 2009 12:38:40 +0100

Bonjour,

J'aurais aim� conna�tre une d�monstration du th�or�me de Zermelo qui dit que tout ensemble peut �tre bien ordonn�. Attention, la d�monstration ne doit faire appel qu'� l'axiome du choix (fonction de choix), et ne doit utiliser ni le lemme de Zorn, ni les ordinaux. J'esp�re ne pas �tre trop exigeante.

Merci pour l'attention toute particuli�re que vous aurez pour ce fil.

:)

[Bonjour Zermelo. Il est inutile d'ouvrir deux fois le m�me sujet. Bruno]

propri�t� intrins�que (11 r�ponses)

christophe007 — Sun, 22 Nov 2009 23:30:20 +0100

Bonjour,

J�ai une question qui est des plus g�n�rales, malheureusement je n�arrive m�me pas � donner un exemple de ce que j�expose. En fait c�est une question de vocabulaire:

Dans certains textes math�matiques, j�ai lu plusieurs fois que telle ou telle propri�t� est ou n�est pas INTRINS�QUE. De par l��thimologie, j�ai une id�e intuitive de ce que cela veut dire, mais l�intuition en maths...
Bref, j�aimerais savoir s�il existe une d�finition math�matique de la qualification d�INTRINS�QUE.

Merci d�avance

Christophe

Un peu de provocation !!! (52 r�ponses)

dededede — Sat, 28 Nov 2009 23:55:03 +0100

A quoi sert la logique ?

PS C'est pas de la provocation gratuite, c'est juste pour comprendre !

Est ce que la partie des math�matiques qu'on appelle logique est utile dans le quotidien des matheux, bien entendu elle est utile pour ne pas dire de betise , mais je voulais savoir si les th�ories pronfonde de la logique avait des repercutions chez le Working mathematician ? ou si la logique �tait encore trop jeune ?

Amicalement

Fermat par J.Ghanouchi (1 r�pondre)

jean57 — Sat, 24 Oct 2009 18:59:01 +0200

Titre initial : une approche alg�brique du th�or�me de Godel ?
[J'ai chang� ton titre, qui est plus en rapport avec la pi�ce jointe. AD}

Je vous invite � lire ce lien
[knol.google.com]#
Il peut vous �tre instructif !

Existence de bases et axiome du choix. (60 r�ponses)

zephir — Sat, 05 Dec 2009 13:11:30 +0100

Bonsoir,
Aux sp�cialistes de la th�orie des ensembles.
Est-ce que l'existence d'une base dans tout espace vectoriel implique l'axiome du choix.
On sait que la r�ciproque est vrai via le th�or�me de Zorn.

De m�me est-ce que l'existence d'un ultrafiltre [non trivial] sur tout ensemble non vide implique l'axiome du choix. On sait l� aussi que la r�ciproque est vrai.

Merci aux sp�cialistes.

C'est quoi un mod�le ? (38 r�ponses)

M�diat — Mon, 26 Oct 2009 23:36:32 +0100

Bonjour,

J'ai d�j� post� cette question dans le forum de logique, mais sans succ�s, j'essaye donc ici, au cas o� quelqu'un pourrait me simplifier mes cauchemars ...

Lorsque je travaille sur un mod�le particulier (lorsque je fais des math�matiques ordinaires ;-)), j'�prouve rarement le besoin de consid�rer que l'ensemble sous-jacent est un �l�ment d'un mod�le de ZF, en particulier si je dois interpr�ter un symbole de constante dans mon mod�le, mais pour interpr�ter un symbole de fonction ou de relation, se plonger dans un mod�le de ZF est bien pratique, ou pour parler de cardinal (surtout infini), par exemple. Mais, dans la plupart des cas, une notion " na�ve " de collection suffit.

D�s que j'ai besoin de plusieurs mod�les, les consid�rer comme des �l�ments d'un mod�le de ZF devient tr�s int�ressant, par exemple pour parler de morphisme entre eux, et dans le cadre de la th�orie des mod�les, il est difficile de parler de tels morphismes ou de cardinaux sans la base formelle offerte par ZF, m�me si on n'utilise que tr�s peu de la " puissance " de ZF.

Mais si on dit qu'un mod�le (d'une th�orie quelconque) est un �l�ment d'un mod�le de ZF, cela entra�ne que ce mod�le de ZF (qui n'est qu'une th�orie parmi d'autres) est lui-m�me un �l�ment d'un mod�le de ZF qui lui-m�me est un �l�ment d'un mod�le de ZF � et ainsi de suite �

De plus, si je plonge les mod�les d'une th�orie donn�e dans un mod�le de ZF, je dois pouvoir le faire dans un autre (tous les) mod�le(s) de ZF, sans pouvoir �tablir le moindre rapport entre mes deux familles de mod�les, ou alors il faut que mes deux mod�les de ZF se plonge dans un mod�le de ZF commun, et cela sans que rien ne me garantisse que les morphismes entre mod�les de ces deux familles aient du sens (ou m�me existent) dans le " grand " mod�le. Par exemple si je prends une th�orie -cat�gorique, rien ne garantit que ses mod�les de cardinal dans les diff�rents mod�les de ZF (plong�s dans un m�me mod�le de ZF), et uniques dans chacun d'eux, soient isomorphes (au sens du grand mod�le), par exemple si l'un des " petits mod�les " est d�nombrable (au sens du grand) et pas l'autre.

J'avoue que j'ai beaucoup de mal � me dire, par exemple, que lorsqu'on fait de la th�orie des mod�les, tous les mod�les (y compris ceux de ZF)sont plong�s dans un mod�le de ZF (ou de ZFC) qui lui-m�me n'est qu'une collection (ensemble na�f) sur laquelle on ne fera rien de bien particulier.

Bref aucune de ces fa�ons de voir (un mod�le est ou n'est pas un �l�ment d'un mod�le de ZF) ne me donne satisfaction, quelqu'un aurait-il un �clairage.

Cordialement

M�diat

Raisonnement par Analyse synth�se ... (aucune r�ponse)

sub — Tue, 29 Sep 2009 18:23:35 +0200

Titre initial : Raisonnement par Analyse synth�se o� un des candidats solutions n'est pas solution...
[Un titre doit �tre concis. Tu as tout le corps du message pour d�velopper. :) AD]

Bonjour � tous,

Est-ce que quelqu'un aurait en t�te un exemple de probl�me (pas trop simple, ni trop compliqu�) que l'on r�soudrait par analyse synth�se, et o� l'un des candidats solution ne serait finalement pas solution ?

Merci d'avance

parties d'un ensemble (2 r�ponses)

lazakal — Tue, 22 Sep 2009 21:25:24 +0200

Bonsoir; comment peut on d�montrer que les intersections des parties(toutes) d'un ensemble infini sont vides
est ce qu'il faut remonter aux axiomes?