Chers amis
J'ai remarqué que pendant ces grandes vacances les questions posées ne se limitaient pas à la sempiternelle géométrie euclidienne plane mais s'intéressaient à des géométries plus élaborées comme la symplectique, merci Mister Da!
Ici je m'intéresse au fibré tangent à notre sympathique sphère de Riemann et je cherche à en construire effectivement des sections qui ne soient pas triviales.
Je pars de la carte obtenue par projection stéréographique à partir du pôle Nord qui projette l'ouvert $U$ de la sphère privée du pôle Nord sur son équateur qui s'identifie naturellement à $\R^2$.
Dans une telle carte, un champ de vecteurs sur la sphère, restreint à $U$ aura pour écriture:
$\R^2 \longmapsto \R^2; (x,y) \mapsto (X(x,y), Y(x,y))$

Inversement si on veut construire un champ de vecteurs sur la sphère, on commence par se donner sa restriction à l'ouvert $U$ en se donnant a priori son écriture $\R^2 \longmapsto \R^2; (x,y) \mapsto (X(x,y), Y(x,y))$ dans la carte stéréographique Nord et en priant le bon dieu s'il existe de faire le miracle .pour que ce fourbi ait le bon goût de se prolonger au pôle Nord.
Ce miracle aura-t-il lieu pour l'application la plus naïve qui soit, à savoir l'application constante: $ X(x,y)= \alpha, Y(x,y)= \beta$?
Si oui, peut-on donner sans calcul la valeur du champ ainsi prolongé au pôle Nord.
Quelles sont alors les trajectoires de ce champ de vecteurs sur la sphère?
D'une façon générale, quelles sont les conditions que doivent vérifier les fonctions $X$ et $Y$ pour que le champ ainsi défini sur $U$ se prolonge au pôle Nord?
Amicalement
Pappus

C'est Noradan qui m'en a donné l'idée.
Puisque les vacances sont encore longues, je vais étudier un peu sous toutes les coutures la configuration de trois normales concourantes à une parabole.
Cela nous fera passer un peu le temps, oublier la canicule ainsi que toutes les affaires qui nous attendent à la rentrée!

Soit donc $P$ un point d'un plan euclidien contenant une parabole.


[attachment 16588 NormalesParaboles.gif]

J'ai tracé en jaune la région où doit se trouver $P$ pour qu'il existe 3 normales à la parabole issues de $P$.
Soient $M_1$, $M_2$, $M_3$ les pieds de ces 3 normales.
On définit le point $Q$ par:
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM_1} +\overrightarrow{PM_2} +\overrightarrow{PM_3} $

Montrer que l'application $P \mapsto Q$ est la restriction d'un endomorphisme affine du plan dont on déterminera le rang et l'image.
Amicalement
Pappus

Bonjour,

Gerbes et/ou épis ont été étudiés dans certains problèmes, par exemple:
-> EDHEC 2000- partie 3
-> CCP MP 2006 Épreuve 2 - partie ll
-> Capes externe 1993: [megamaths.perso.neuf.fr]
-> Agrégation math géné 1979: [megamaths.perso.neuf.fr]

Une définition de gerbe et/ou épi ? D'un problème à l'autre, les définitions diffèrent sensiblement (parfois on considère des droites, parfois des vecteurs), deux exemples:

1) soit un espace vectoriel de dimension $n$, et un réel $t$, dans ce cas, c'est une famille de $m$ vecteurs vérifiant les conditions suivantes :
--> ces $m$ vecteurs $(x_1,x_2,...,x_m)$ sont de norme 1, et,
--> pour tout couple $(i,j)$ d'entiers distincts entre $1$ et $m$, $<x_i,x_j>=t$

2) Ensemble de $m$ droites concourantes dans un espace affine tel que toute paire formée de deux de ces droites aient le même angle; on parle parfois de famille équiangulaires..

Ces épis proposent des résultats à la fois amusants et surprenants. J'essaie de trouver sans succès sur la toile un cours ou un pdf sur le sujet, ou alors peut-être (certainement) connaissez-vous un livre pour une approche théorique de ces objets mathématiques, ce afin de m'aider à remettre en ordre toutes ces différentes approches ?

Merci bien, amicalement.

\newcommand{\fracpartial}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
Bonjour tout le monde,

Je suis en train d'étudier les crochets de Poisson et de Lie et plusieurs questions me sont venues à l'esprit.
Est-ce que je peux résumer la situation en disant~:
\begin{enumerate}
\item Crochet de Poisson = dérivée de Lie d'une fonction
\item Crochet de Lie = Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs ?
\end{enumerate}
D'autre part, j'ai vu la relation suivante~: $X_{\{f,g\}} = -[X_f,X_g]$ où
\begin{align*}
\{f,g\} &= \fracpartial{f}{q}\fracpartial{g}{p} - \fracpartial{f}{p}\fracpartial{g}{q} \\
X_f &= \left(\fracpartial{f}{p},-\fracpartial{f}{q}\right) = \fracpartial{f}{p}\fracpartial{}{q}-\fracpartial{f}{q}\fracpartial{}{p} \\
[X_f,X_g] &= X_f^i\fracpartial{X_g^j}{x^i}\fracpartial{}{x^j} - X_g^i\fracpartial{X_f^j}{x^i}\fracpartial{}{x^j}
\end{align*}
avec $x = [q,p]^t$.
J'ai vérifié cette égalité en faisant intervenir les coordonnées locales.
J'ai mis le calcul dans un fichier joint à ce message car je n'en suis pas convaincu (si une âme charitable pouvait y jeter un coup d'\oe il ça serait gentil).
J'ai trouvé des démonstrations plus intéressantes qui ne font pas intervenir les coordonnées locales mais elles dépassent largement mon niveau en mathématiques.
Quelqu'un en connaitrait-il une qui soit accessible pour un non-mathématicien ?

Je vous remercie par avance de votre aide.
Cordialement,
Mister Da
[attachment 16579 CrochetPoissonLie.pdf]

Bonjour à tous,

Ces derniers temps j'essaie de devenir quelqu'un de bien (= faire de la géométrie), j'ai une petite question peut-être très facile mais qui me torture.

Si je me donne deux droites parallèles $D,D'$ , un point $M$ dans la bande entre les deux, peut-on, et si oui comment, construire un triangle équilatéral dont les trois sommets sont $M$, sur $D$, sur $D'$?

Bonjour,

J'ai trouvé une solution à un exercice, mais qui ne me convient pas. Je la trouve trop calculatoire et elle fait apparaître la solution de manière un peu "magique". Je vous sollicite pour une solution plus géométrique et "naturelle" :

Soit $ABC$ un (vrai) triangle. Déterminer le point $M$ à l'intérieur de ce triangle qui maximise la fonction $f(M) = d(M,AB).d(M,AC).d(M,BC)$ (où $d(M,AB)$ est la distance de $M$ au côté $[AB]$, etc.).

bonjour,
ma question provient de la troisième composition du concours ENSAE de 1979.
dans un premier temps on transforme assez simplement une équation cartésienne :
x²(x² +y²) + 4x²y-2x²+3y²-4y+1=0 en une représentation paramétrique :
x=sin t, y=cos²t/(2+cost) pour t dans [-pi/2, 3pi/2]; jusque là ça va.
il s'agit alors de montrer que la courbe a un axe de symétrie pour en déduire qu'on peut se contenter de prendre t entre 0 et pi et de compléter par symétrie; l'axe en question est (Oy), mais comment peut-on se contenter de cet intervalle puisque le premier n'est pas symétrique par rapport à 0.
quelqu'un pourrait-il m'aider ?
par avance merci
gaetan michel

bonjour,

Comment définir rigoureusement l'élément de métrique $ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 $ ? c'est quoi ; c'est une forme différentielle au carré ou une fonction ou un nombre ? sur quoi agit cette métrique et que donne t-elle ? Je n'arrive pas à trouver une définition rigoureuse comme celle d'une forme différentielle qui, elle, en revanche est trés bien comprise ! donnez-moi des exemples de son calcul

Bonjour,
Soient $M$ une variété différentielle et $\mathfrak{X}(M)$ l'enseble de ses champs de vecteurs. Soient $G$ un groupe de Lie et $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie.
Connaissez-vous un moyen pour intégrer une action infinitésimale de $\mathfrak{g}$ sur $\mathfrak{X}(M)$, i.e. un homomorphisme d'algèbres de Lie $\lambda : \mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{X}(M)$
$$\lambda\left([x,y]\right)=[\lambda(x),\lambda(y)]$$
en une action du groupe $G$ sur $M$.
Je sais qu'il y a un théorème de Palais dans ce sens, il "suffit" que l'image de $\lambda$ soit constituée de champs complets
mais je ne sais pas quelle sont les techniques, la démonstration est-elle accessible et où la trouver.
Merci beaucoup de votre aide.

Bonjour,

Dans le récent fil intitulé Triangle et recherche de minimum(s) qui aborde la question suivante: "On donne un triangle ABC dans le plan affine euclidien. Déterminer les points du plan pour lesquels la somme des distances aux droites (AB), (BC), (CA) est minimale" ,

notre ami Pierre pldx1 propose cet exercice:

"Bonjour,
une suite : on se donne une constante k. Déterminer les ensembles $AM+BM+CM=k$.
Cordialement, Pierre."

Rien trouvé sur le sujet dans MathCurves mais peut-être (certainement) ai-je mal cherché ?

Par contre un lien sur le sujet, le seul que j'ai déniché sur le net:
[www.apmep.asso.fr]

Merci pour vos approches et solutions à cette énigme... dont Pierre connaît la solution (?)
Il existe quelques liens vers la fin de mon lien vers l'APMEP d'Amiens.

Amicalement.

Bonjour tout le monde !
\section{Invariance à droite}
Si $f : M\rightarrow N$ est un difféomorphisme on peut transporter, par $f$, les tenseurs sur $M$ en tenseurs sur $N$ (de même type) et on a pour les champs de vecteurs ; si $X\in\frak{X}(M)$, $f_*X\in\mathfrak{X}(N)$ défini par:
$$f_*X(y)=T_xf(X(x)),\ (y=f(x))$$
on a alors
$$f_*[X,Y]=[f_*X,f_*Y]$$
Si $G$ est un groupe de Lie, et $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie (considérée comme l'espace tangent à $G$ en son élément neutre $e$), alors à tout vecteur tangent $X\in\mathfrak{g}$ on associe le champ de vecteurs invariant à droite $X^-$ défini par
$$X^-(g)=T_eR_g(X)=R_{g*}X$$
où $R_g$ est la translation à droite $R_g(x)=xg$.
\begin{enumerate}
\item Pourquoi $[X^-,Y^-]=-[X,Y]^-$ ? J'arrive pas à le montrer, car "normalement"
$$[X^-,Y^-]=[R_{g*}X,R_{g*}Y]=R_{g*}[X,Y]=[X,Y]^-$$
En d'autres termes est-ce que l'application $X\mapsto X^-$ est un homomorphisme d'algèbres de Lie ? (entre $\mathfrak{g}$ et $\mathfrak{X}(G)$).
\item Si $\alpha\in\mathfrak{g}^*$ (espace cotangent) et $\alpha^-$ est la $1$-forme différentielle invariante à droite associée, i.e. $\alpha^-(g)=R_{g*}\alpha$, pourquoi $d\alpha^-=-(\delta\alpha)^-$ ?
où $$(\delta\alpha)(x,y)=-\langle\alpha,[x,y]\rangle$$
pour $\alpha\in\mathfrak{g}^*$ et $x,y\in\mathfrak{g}$. On a
\begin{align*}
d\alpha^-(X^-,Y^-)=&\mathscr{L}_{X^-}\langle\alpha^-,Y^-\rangle-\mathscr{L}_{Y^-}\langle\alpha^-,X^-\rangle-
\langle\alpha^-,[X^-,Y^-]\rangle\\
=&\pm\langle\alpha^-,[X,Y]^-\rangle
\end{align*}
car $\langle\alpha^-,X^-\rangle$ et $\langle\alpha^-,Y^-\rangle$ sont constants par invariance à droite de $\alpha^-$ ; et là $[X^-,Y^-]=\pm[X,Y]^-$ ?
\end{enumerate}
\section{Tenseurs}
Soit $M$ une variété différentielle et soient $\mathfrak{X}(M)$ l'ensemble des champs de vecteurs et $\Omega^1(M)$ l'ensemble des $1$-formes différentielles.
Un tenseur (champ de tenseurs) de type $(s,r)$ est une section du fibré vectoriel
\[T^{(s,r)}M=\coprod_{x\in M}T_x^{(s,r)}M=\coprod_{x\in M}\underbrace{T_x^*M\otimes...\otimes T_x^*M}_{\text{s-fois}}\otimes\underbrace{T_xM\otimes...\otimes T_xM}_{\text{r-fois}}\]
On dit aussi tenseur $s$-fois covariant et $r$-fois contravariant.
Une fonction $f\in\mathscr{C}^\infty(M)$ est un tenseur de type $(0,0)$ (par convention), un champ de vecteur est un tenseur de type $(0,1)$, une $1$-forme différentielle est un tenseur de type $(1,0)$...
Le point le plus important est que la donnée d'un tenseur de type $(s,r)$ est équivalent à la donné d'une application $(s+r)$-linéaire et $\mathscr{C}^\infty(M)$-linéaire
$$T : \underbrace{\mathfrak{X}(M)\times...\times\mathfrak{X}(M)}_{\text{s-fois}}\times\underbrace{\Omega^1(M)\times...\times\Omega^1(M)}_{\text{r-fois}}\longrightarrow\mathscr{C}^\infty(M)$$
i.e. pour tout $f\in\mathscr{C}^\infty(M)$,
\begin{align*}
T\Big(X_1,...,fX_i,...,X_s,\omega_1,...,\omega_j,...,\omega_r\Big)=&T\Big(X_1,...,X_i,...,X_s,\omega_1,...,f\omega_j,...,\omega_r\Big)\\
=&fT\Big(X_1,...,X_i,...,X_s,\omega_1,...,\omega_j,...,\omega_r\Big)
\end{align*}
On déduit qu'une connexion linéaire $\nabla : \mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\rightarrow\mathfrak{X}(M)$, $(X,Y)\mapsto\nabla_XY$ n'est pas un tenseur, ; elle est $\mathscr{C}^\infty(M)$-linéaire par rapport à $X$ mais une dérivation par rapport à $Y$
$$\nabla_X(fY)=f\nabla_XY+(\mathscr{L}_Xf)Y$$
La torsion est un tenseur de type $(2,1)$, en effet
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
T : &\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)&\rightarrow&\mathfrak{X}(M)\\
&(X,Y)&\mapsto&T(X,Y)=[X,Y]-\left(\nabla_XY-\nabla_YX\right)
\end{array}
\end{equation*}
est bilinéaire et $\mathscr{C}^\infty(M)$-linéaire et elle s'identifie à l'application $3$-linéaire et $\mathscr{C}^\infty(M)$-linéaire
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
S : &\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\times\Omega^1(M)&\rightarrow&\mathscr{C}^\infty(M)\\
&(X,Y,\omega)&\mapsto&\langle\omega,T(X,Y)\rangle
\end{array}
\end{equation*}
De même la courbure $R(X,Y)Z=\nabla_{[X,Y]}Z-\nabla_X\nabla_YZ+\nabla_Y\nabla_XZ$ est un tenseur de type $(3,1)$.
Ceci est-il vrai ? car j'ai trouvé des papiers où un champ de vecteurs est considéré comme un tenseur de type $(1,0)$ (au lieu de $(0,1)$...!). Ou c'est simplement une question de convention ?
\section{Dérivée de Lie}
Soit $X\in\mathfrak{X}(M)$ (un champ de vecteurs) et soit $T$ un tenseur sur $M$. La dérivée de Lie de $T$ suivant $X$ est définie par
$$\left(\mathscr{L}_XT\right)(x)=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\exp(tX)^*\left(T(\exp(tX)(x))\right)$$
où $\exp(tX)$ est le flot local de $X$. On montre que $\mathscr{L}_XT$ reste un tenseur de même type, et la dérivée de Lie agit comme dérivation par rapport au produit tensoriel, (et donc aussi par rapport au produit extérieur).
$$\mathscr{L}_X(T\otimes S)=\mathscr{L}_XT\otimes S+T\otimes\mathscr{L}_XS$$
Pour mon problème, j'ai un tenseur de Poisson, i.e. une application bilinéaire antisymétrique
$$\pi : \Omega^1(M)\times\Omega^1(M)\rightarrow\mathscr{C}^\infty(M)$$
et $\mathscr{C}^\infty(M)$-linéaire ; donc un tenseur de type $(0,2)$ ($2$-fois contravariant). Le morphisme de fibrés $\pi_\sharp : T^*M\rightarrow TM$ définit sur les sections par
$$\beta\left(\pi_\sharp(\alpha)\right)=\pi(\alpha,\beta)$$
est un tenseur de même type. J'ai trouvé dans un article de Weinstein (Some remarks on dressing transformations, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect.IA Math. 35 (1988), no. 1, 163–167.)
$$\mathscr{L}_X\left(\pi_\sharp(\alpha)\right)=\left(\mathscr{L}_X\pi_\sharp\right)(\alpha)+
\pi_\sharp\left(\mathscr{L}_X\alpha\right)$$
C'est une propriété de dérivation (formule de Leibniz) que j'arrive pas à montrer.
\section{Dérivée intrinsèque}
Soit $G$ un groupe de Lie et $\mathfrak{g}$ sont algèbre de Lie. Soit $K : G\rightarrow\wedge^2TG$ un tenseur $2$-fois contravariant. Il est écrit dans une article de Weinstein (The local structure of Poisson manifolds, J. Differential Geom. 18 (1983), no. 3, 523–557.) que si $K(e)=0$ ($e$ étant l'élément neutre de $G$) alors on peut définir la dérivée intrinsèque de $K$ en $e$ par
\begin{equation}
\begin{array}{cccc}
d_eK : & \mathfrak{g}&\rightarrow&\wedge^2\mathfrak{g}\\
& v&\mapsto&d_eK(v)=\mathscr{L}_XK(e)
\end{array}
\end{equation}
où $X$ est n'importe quel champ de vecteurs tel que $X(e)=v$. Je ne vois pas pourquoi le fait que $K(e)=0$ implique que la définition de $d_eK$ ne dépend pas de $X$. Est-il vrai que si $X(e)=Y(e)=v$ alors
$$\mathscr{L}_XK(e)=\mathscr{L}_YK(e)\ ?$$
i.e. la dérivée de Lie en un point $x_0$, suivant un champ de vecteur $X$, ne dépend que de la dérivée suivant le vecteur $X(x_0)$ et donc ici le fait que $K(e)=0$ n'est pas important !
[attachment 16487 questions.pdf]

Titre initial : Calcul du flot géodésique et du transport parallèle sur des variétés simples
[Un titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour développer. AD]

Bonjour,

J’aimerais calculer (trouver une expression explicite exploitable par ordinateur pour du calcul approché) le flot géodésique et le transport parallèle sur des variétés riemanniennes simples, en particulier la sphère $\mathbb{S}^3$ et l’espace hyperbolique de dimension 3.
À vrai dire je n’ai pas suivi de cours de géométrie riemannienne (juste de géométrie différentielle), donc je ne connais pas trop les notions comme le transport parallèle ou la connexion de Levi-Civita, je sais juste que vu les dessins qu’il y a sur Wikipédia c’est probablement ça dont j’ai besoin (j’essaie de faire un programme permettant de se déplacer dans un monde tridimensionnel ayant une géométrie non euclidienne, et le flot géodésique et le transport parallèle semblent être les bonnes notions pour déplacer la caméra le long d’une géodésique)

En ce qui concerne $\mathbb{S}^3$, le flot géodésique n’est pas très difficile à calculer, il s’agit simplement de rotations dans des sous-espaces de dimension 2, j’ai juste un problème pour comprendre comment le transport parallèle peut être calculé.
Pour l’espace hyperbolique, on sait que les géodésiques sont les demi-cercles orthogonaux au plan $z = 0$ (dans le modèle du demi-espace), mais la formule que ça donne pour le flot géodésique semble horrible (je l’ai calculée pour l’espace hyperbolique de dimension 2 et c’est pas joli à voir).

Merci de votre aide :-)
Fractal ;)

Bonjour,

Soit le produit scalaire
$$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = - x_A \, x_B - y_A \, y_B + z_A \, z_B$$
La sphère unité (hyperboloïde à deux nappes) a pour équation
$$ -x^2-y^2+z^2=1$$
Pourriez-vous me montrer, par des calculs, comment la connexion et le transport parallèle (Lévi-Civita,Christoffel ?) donne, sur cette demi-sphère $z>0$, des hyperboles comme géodésiques ?

Merci d'avance.
Excellente journée.

[Transféré dans la rubrique "Géométrie". AD]

Bonsoir,

je poste dans le forum "Géométrie" bien qu'il s'agisse autant d'un problème de mécanique mais enfin...
J'ai eu une petite idée à propos de RH : en considérant le domaine du plan complexe $D$ délimité par les droites $\Re(s)=0$, $\Re(s)=1$, $\Im(s)=T$, $\Im(s)=-T$ et en prenant pour densité surfacique de masse au point $s$ la quantité $\xi(s)\overline{\xi(s)}$ (où $\xi(s)=\frac{s(s-1)}{2}\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$) , ne peut-on pas dire que l'hypothèse de Riemann est équivalente à la maximalité du moment d'inertie de $D$ par rapport à la droite critique ?

Merci d'avance.