Somme indicatrice dénominateur
Bonjour à tous
J'ai une petite question qui peut paraître évidente pour certains.
$ I$ est une partie finie de $ \mathbb{N} $ ; $f_i$ et $g_i$ sont des fonctions constantes sur chaque ensemble $ A_i $.
$ \mathbf{1}_{A_i}$ est la fonction indicatrice sur $A_i$.
On pose $$ f(x) = \sum_{i\in I} f_i \mathbf{1}_{A_i}(x) \quad \text{ et }\quad g(x) = \sum_{i\in I} g_i \mathbf{1}_{A_i}(x)
$$. QUESTION : Peut-on écrire $$
\sum_{i \in I }\dfrac{ f_i \times g_i}{ f_i+g_i}\mathbf{1}_{A_i}(x)= \dfrac{ f(x)\times g(x)}{ f(x)+g(x)} \quad ?
$$ Merci d'avance pour vos réponses.
J'ai une petite question qui peut paraître évidente pour certains.
$ I$ est une partie finie de $ \mathbb{N} $ ; $f_i$ et $g_i$ sont des fonctions constantes sur chaque ensemble $ A_i $.
$ \mathbf{1}_{A_i}$ est la fonction indicatrice sur $A_i$.
On pose $$ f(x) = \sum_{i\in I} f_i \mathbf{1}_{A_i}(x) \quad \text{ et }\quad g(x) = \sum_{i\in I} g_i \mathbf{1}_{A_i}(x)
$$. QUESTION : Peut-on écrire $$
\sum_{i \in I }\dfrac{ f_i \times g_i}{ f_i+g_i}\mathbf{1}_{A_i}(x)= \dfrac{ f(x)\times g(x)}{ f(x)+g(x)} \quad ?
$$ Merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
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Qui sont les $A_i$ ? $f$ et $g$ sont des fonctions définies sur quel ensemble ?
-
Les $A_i$ sont des sous-ensemble fermés et bornés de $ \mathbb{R}^2 $ (et disjoints) . $f$ et $g$ sont définies sur un domaine $\Omega \in \mathbb{R}^2 $ . En plus $\cup_{i\in I}A_i = \Omega$.
-
Dans ma jeunesse, le terme « domaine » désignait un ouvert connexe d'un espace euclidien.
Dans ces conditions les $A_i$ sont vides et l'égalité est vérifiée, non ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Visiblement, ta question vient d'un contexte que tu as du mal à interpréter. Dis nous les choses comme elles sont vraiment, ça sera plus simple que de tourner autour du pot.
-
J'explicite les remarques précédentes. Si les $A_i$ sont en nombre fini, fermés et bornés, alors leur réunion $\Omega$ est un fermé borné. Si $\Omega$ est aussi un ouvert (un domaine est un ouvert connexe) de $\R^2$, alors $\Omega$ est $\R^2$ ou $\emptyset$. De ces deux parties, seule $\emptyset$ est bornée. Problème.
Si on oublie la topologie, le fait que tu donnes un énoncé partiel, i.e. sans préciser tout de suite que les $A_i$ forment une partition, sans soupçonner que cela pourrait avoir une influence sur la validité du résultat, c'est un peu étrange. En effet, avec cette condition, la propriété est à peu près évidente : pour $x$ donné dans $\Omega$, soit $j$ l'indice de $I$ tel que $x\in A_{j}$, alors la somme du membre de gauche vaut $\frac{fjg_j}{f_j+g_j}$ et le membre de droite... aussi. -
Je ne pense pas que l'origine du problème soit trop importante ici ; mais je le précise tout de même.
$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur un borné $ \Omega $ de $\mathbb{R}^2$, et vérifiant le système d'EDP
\begin{equation}
(1)\left \{
\begin{aligned}
\dfrac{\partial\,f}{\partial t}(t,x)&= -\dfrac{f(t,x) g(t,x) }{f(t,x) + g(t,x) }+ \Delta f(t,x) \\
\dfrac{\partial\,g}{\partial t}(t,x)&= \dfrac{f(t,x) g(t,x) }{f(t,x) + g(t,x) }- g(t,x)+\Delta g(t,x)\\
x\in \Omega
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
avec conditions de Neynman au bord.
On considère un maillage du domaine $ \Omega $ ( de pas $ h $, 0< h< 1 ) , les cellules de ce maillage sont des petits carrés $ A_i$ centrés en les points $ x_i$ de la grille.
Les sytème discrétisé correspondant au système précedent est alors donné par
\begin{equation}
(2) \left\{
\begin{aligned}
\frac{d f_h}{dt}(t,x_i) &= -\dfrac{ f_h(t,x_i)g_h(t,x_i)}{f_h(t,x_i)+g_h(t,x_i)}+\Delta_h f_h(t,x_i) \\
\frac{d g_h}{dt}(t,x_i) & = \dfrac{f_h(t,x_i)g_h(t,x_i)}{f_h(t,x_i)+g_h(t,x_i)}-g_h(t,x_i) +\Delta_h g_h(t,x_i)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$\Delta_h$ est le Laplacien discret.
( $f_h $ et $g_h$ sont donc constants sur les $A_i $ et ont pour valeurs $f_h(t,x_i) $ , $g(t,x_i) $ sur $A_i$ ).
Par suite , je pose
$$\tilde{f}(t,x)=\sum_{i\in I} f_h(t,x_i)\mathbf{1}_{A_i}(x) \; \; et \; \; \tilde{g}(t,x)=\sum_{i\in I} g_h(t,x_i)\mathbf{1}_{A_i}(x)\; \; pour\; x\,\in \,\Omega \, $$
Je veux montrer que le systéme vérifié par $ \tilde{f} $ et $\tilde{g}$ converge (dans $L^2$ ou $L^{\infty} $) vers le système (1) quand quand le pas $ h$ de la grille tend vers 0.
Pour cela j'ai besoin de savoir que
$$ \sum_{i\in I} \dfrac{f_h(t,x_i)g_h(t,x_i)}{f_h(t,x_i)+g_h(t,x_i)}\mathbf{1}_{A_i}(x)= \dfrac{\tilde{f}(t,x)\tilde{g}(t,x)}{\tilde{f}(t,x)+\tilde{g}(t,x)}$$
pour pouvoir écrire
\begin{equation}
(3) \left\{
\begin{aligned}
\frac{d \tilde{f}}{dt}(t,x) &= -\dfrac{ \tilde{f}(t,x)\tilde{g}(t,x}{\tilde{f}(t,x)+\tilde{g}(t,x)}+\Delta \tilde{f}(t,x) \\
\frac{d \tilde{g}}{dt}(t,x) & = \dfrac{\tilde{f}(t,x)\tilde{g}(t,x)}{\tilde{f}(t,x)+\tilde{g}(t,x)}-\tilde{g}(t,x) +\Delta\tilde{g}(t,x)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
( en fait on multiplie les équations du systèmes (2) par $ \mathbf{1}_{A_i}(x)$ puis prendre la somme sur tout les noeuds de la grille ) -
Je pense que la dernière phrase du message de Math Coss permet de resoudre le problème.
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Bonjour!
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