Précision des calculs avec tikzmaths

Une autre piste : Sagetex.

Voila un essai avec luaLaTeX.
J'ai commenté la partie qui donne l'animation parce que je ne sais pas comment ça marche.
J'ai aussi réécrit certains morceaux que je trouvais maladroits.
J'enlève le code, parce que le forum a l'air de ne pas l'aimer.
Je ne sais pas si l'animation marche parce que je n'ai pas de lecteur pdf qui sache faire ça.

@laulite

Je retire le code de l'animation (que je ne peux pas compiler) et te fabrique un exemple complet avec une image au choix (ici, par exemple, j'ai mis \def\n{20} ce qui, peut-être à une unité près, revient à la plus grande valeur de \n dans ta boucle). Puisque tu te souciais de problèmes de compatibilité entre TikZ et babel/french, j'ajoute le code standard pour gérer cela, bien que ça n'intervienne pas ici. Si \usetikzlibrary{babel} provoque une erreur, c'est sans doute que la distribution TeX est trop vieille (installer une vraie distro, pas Overleaf).

Si tu as une distro à jour, normalement tu n'as plus qu'à remettre ton animate et ça devrait rouler. Tu peux vérifier que le même code en enlevant :

  \pgfset{fpu=true}

et

  \pgfset{fpu=false}
  \clistMapInline{\a,\xA,\yA,\xB,\yB,\xC,\yC,\xM,\yM,\h,\xh}
    { \convertResultToFixedFormat{#1} }

provoque une erreur telle que :

./docu.tex:42: Dimension too large.
<recently read> \pgfmath@xa 

Voici donc l'exemple complet, avec une image au choix définie par \n :

\documentclass[french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
\usepackage{expl3}
\usetikzlibrary{babel,fpu,math}

\ExplSyntaxOn
\cs_set_eq:NN \clistMapInline \clist_map_inline:nn
\ExplSyntaxOff

\newcommand*{\convertResultToFixedFormat}[1]{%
  \pgfmathfloattofixed{#1}%
  \let#1\pgfmathresult
}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[xscale=1.7, yscale=0.7]
  \def\n{20}                    % par exemple
  \pgfset{fpu=true}

  \tikzmath{
    function g(\x)
    {
      return 2*\x+1;
    };
%
    \y=g(3);
    \xA=1;
    \yA=(\xA)^3+1;
    \h=1/1.1^((\n)^2);
    \xM=\xA+\h;
    \yM=(\xM)^3+1;
    \xh=(\xA+\xM)/2;
    \e=0.25;
    \xB=\xA-2*\e;
    \a=3*(\xA)^2+\h*(\xA+2)+(\h)^2;
    \yB=\yA+\a*(\xB-\xA);
    \xC=\xA+1+\e;
    \yC=\yA+\a*(\xC-\xA);
    \y=10^(-\n);
  }

  \pgfset{fpu=false}
  \clistMapInline{\a,\xA,\yA,\xB,\yB,\xC,\yC,\xM,\yM,\h,\xh}
    { \convertResultToFixedFormat{#1} }

  \draw[->,color=black] (-1.5,0) -- (6,0);
  \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,11.5);
  \draw[domain=-1:2.1, color=blue, smooth,line width=0.5mm, line cap=butt] plot(\x,{\x*\x*\x+1});
  \draw(-1,0) [ color=blue] node[above]{{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
  \coordinate(B) at (\xB,\yB) node at (B) {};
  \coordinate(C) at (\xC,\yC) node at (C) {};
  \draw[ color=red,line width=0.5mm, line cap=butt](B)--(C);
  \draw[ color=red] (\xA,0) node[below] {$a$};
  \draw[ color=red] (0,\yA) node[ left] {$f(a)$};
  \draw[ color=red,loosely dashed] (\xA,0)--(\xA,\yA);
  \draw[ color=red,loosely dashed] (0,\yA)--(\xA,\yA);
  \draw[ color=red,fill=red] (\xM,0) node[below right] {$a+h$};
  \draw[ color=red,fill=red] (0,\yM) node[above left] {$f(a+h)$};
  \draw[ color=red,loosely dashed] (\xM,0)--(\xM,\yM);
  \draw[ color=red,loosely dashed] (0,\yM)--(\xM,\yM);
  \draw[ color=red, ->] (\xA,0.2)--(\xM,0.2);
  \draw (\xh,0.2) [ color=red,above] node{$h$};
  \coordinate(A) at (\xA,\yA) node[ color=red] at(A) {$\bullet$} node[ color=red,above left] at (A) {$A$};
  \coordinate(M) at (\xM,\yM) node[ color=red] at(M) {$\bullet$} node[ color=red,right] at (M) {$M$};
  \draw (2.5,10) node [ right]{$n=\n$};
  \draw (2.5,8) node [ right]{$f:x \mapsto x^3+1$};
  \draw (2.5,6) node [ right]{$a=1$};
  \draw (2.5,4) node [ right]{$h=\h$};
  \draw (2.5,1.5) node[ right] {$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\a$};
\end{tikzpicture}

\end{document}

(Les espaces après de nombreux crochets ouvrants servent à éviter une mauvaise interprétation par le logiciel du forum.)

Pour l'implémentation de ma macro \convertResultToFixedFormat, on pourrait aussi utiliser \pgfset{fpu/output format=fixed} et \pgfmathsetmacro comme ici, mais je pense que ma technique est (un peu) plus rapide.

Note : tu peux obtenir un joli formatage des nombres dans ta « légende » en utilisant \pgfmathprintnumber. C'est très paramétrable(*). Exemple simple : remplace la fin du document précédent par ceci :

  % Pour le formatage des nombres par \pgfmathprintnumber
  \pgfset{number format/precision=5}
  \draw (2.5,10) node [ right]{$n = \pgfmathprintnumber{\n}$};
  \draw (2.5,8) node [ right]{$f\colon x \longmapsto x^3+1$};
  \draw (2.5,6) node [ right]{$a = \pgfmathprintnumber{1}$};
  \draw (2.5,4) node [ right]{$h = \pgfmathprintnumber{\h}$};
  \draw (2.5,1.5) node[ right]
    {$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \pgfmathprintnumber{\a}$};
\end{tikzpicture}

\end{document}

(*) Exemple sympathique tiré du manuel de TikZ & PGF :

\pgfkeys{
  /pgf/number format/.cd,
  sci,
  sci generic={mantissa sep=\times,exponent={10^{#1}}}}
\pgfmathprintnumber{12.345};
\pgfmathprintnumber{0.00012345}

Edits : 1) j'avais oublié de convertir \a. 2) Compléments avec notamment \pgfmathprintnumber.

J'ai réessayé avec l'animation :

• l'erreur “LaTeX3 Error: Backend configuration already set.” disparaît si j'omets l'option 'dvisvgm' dans l'appel à \documentclass (je l'avais mise après avoir lu la doc d'animate, peut-être que j'ai mal compris...) ;
• il y a effectivement un problème entre \tikzmath et babel/french : \tikzmath ne reconnaît pas les « ; » terminant une instruction car babel/french les rend actifs.

Donc en retirant l'option 'dvisvgm' dans l'appel à \documentclass, en ajoutant

\shorthandoff{;}

avant \begin{animateinline}[controls]{2} et

\shorthandon{;}

après \end{animateinline}, je peux compiler avec LaTeX. S'il y a des points-virgules dans la figure qui doivent être gérés par babel/french, à cause du \shorthandoff{;}, il faut alors explicitement appeler la commande « ; » de babel/french. Pour cela, avant le \shorthandoff{;}, on peut mettre :

\let\pointVirgule ;

et utiliser \pointVirgule{} dans la figure aux endroits où l'on veut un point-virgule géré par babel/french.

Avec ces changements, la compilation avec 'latex' fonctionne pour moi, en revanche l'étape suivante avec GhostScript ne marche pas :

dvisvgm --font-format=woff --exact --zoom=-1 anim.dvi
pre-processing DVI file (format version 2)

 *** WARNING - you have selected SAFER, indicating you want Ghostscript

(...)

           processing page 1
  PostScript error: undefined in get
  Operand stack:
      --nostringval--  --nostringval--  --nostringval--  --nostringval--  --nost
  ringval--  --nostringval--  1  1  --nostringval--  .setopacityalpha

Voici l'exemple complet avec ces petites modifications :

\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{expl3}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{babel,math,fpu}

\ExplSyntaxOn
\cs_set_eq:NN \clistMapInline \clist_map_inline:nn
\ExplSyntaxOff

\newcommand*{\convertResultToFixedFormat}[1]{%
  \pgfmathfloattofixed{#1}%
  \let#1\pgfmathresult
}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\let\pointVirgule ;% sauvegarde de la commande point-virgule de babel/french
\shorthandoff{;}
\begin{animateinline}[controls]{2}
\multiframe{20}{n=0+1}{%
  \begin{tikzpicture}[xscale=1.7, yscale=0.7]
    \pgfset{fpu=true}

    \tikzmath{
      function g(\x)
      {
        return 2*\x+1;
      };
      %
      \y=g(3);
      \xA=1;
      \yA=(\xA)^3+1;
      \h=1/1.1^((\n)^2);
      \xM=\xA+\h;
      \yM=(\xM)^3+1;
      \xh=(\xA+\xM)/2;
      \e=0.25;
      \xB=\xA-2*\e;
      \a=3*(\xA)^2+\h*(\xA+2)+(\h)^2;
      \yB=\yA+\a*(\xB-\xA);
      \xC=\xA+1+\e;
      \yC=\yA+\a*(\xC-\xA);
      \y=10^(-\n);
    }

    \pgfset{fpu=false}
    \clistMapInline{\a,\xA,\yA,\xB,\yB,\xC,\yC,\xM,\yM,\h,\xh}
      { \convertResultToFixedFormat{#1} }

    \draw[->,color=black] (-1.5,0) -- (6,0);
    \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,11.5);
    \draw[domain=-1:2.1, color=blue, smooth,line width=0.5mm, line cap=butt] plot(\x,{\x*\x*\x+1});
    \draw(-1,0) [ color=blue] node[above]{{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
    \coordinate(B) at (\xB,\yB) node at (B) {};
    \coordinate(C) at (\xC,\yC) node at (C) {};
    \draw[ color=red,line width=0.5mm, line cap=butt](B)--(C);
    \draw[ color=red] (\xA,0) node[below] {$a$};
    \draw[ color=red] (0,\yA) node[ left] {$f(a)$};
    \draw[ color=red,loosely dashed] (\xA,0)--(\xA,\yA);
    \draw[ color=red,loosely dashed] (0,\yA)--(\xA,\yA);
    \draw[ color=red,fill=red] (\xM,0) node[below right] {$a+h$};
    \draw[ color=red,fill=red] (0,\yM) node[above left] {$f(a+h)$};
    \draw[ color=red,loosely dashed] (\xM,0)--(\xM,\yM);
    \draw[ color=red,loosely dashed] (0,\yM)--(\xM,\yM);
    \draw[ color=red, ->] (\xA,0.2)--(\xM,0.2);
    \draw (\xh,0.2) [ color=red,above] node{$h$};
    \coordinate(A) at (\xA,\yA) node[ color=red] at(A) {$\bullet$} node[ color=red,above left] at (A) {$A$};
    \coordinate(M) at (\xM,\yM) node[ color=red] at(M) {$\bullet$} node[ color=red,right] at (M) {$M$};
    % Pour le formatage des nombres par \pgfmathprintnumber
    \pgfset{number format/precision=5}
    \draw (2.5,10) node [ right]{$n = \pgfmathprintnumber{\n}$};
    \draw (2.5,8) node [ right]{$f\colon x \longmapsto x^3+1$};
    \draw (2.5,6) node [ right]{$a = \pgfmathprintnumber{1}$};
    \draw (2.5,4) node [ right]{$h = \pgfmathprintnumber{\h}$};
    \draw (2.5,1.5) node[ right]
      {$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \pgfmathprintnumber{\a}$};
  \end{tikzpicture}%
}
\end{animateinline}
\shorthandon{;}

\end{document}

Les conseils de brian sur le formatage des nombres avec `\pgfmathprintnumber` me semblent très intéressants à suivre pour cette application.