Alignement sur le signe "="

Bonsoir
L'environnement marche pas mal, mais j'aurais deux questions. La première, peut-on "décaler" vers le bas ce qu'il y a sous le signe "="? Voici un code

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}

\begin{proof}
On a 
\begin{align*}
\det (A) &\underset{\mathclap{\text{Dvt/}L3}}{=} (-1)^{3+1} g \begin{vmatrix}
b & c \\ 
e & f
\end{vmatrix} + (-1)^{3+2} h \begin{vmatrix}
a & c \\ 
d & f
\end{vmatrix} + (-1)^{3+3} i \begin{vmatrix}
a & b \\ 
d & e
\end{vmatrix} \\
&= g(bf-ce)-h(af-cd)+i(ae-bd) \\
&= aei+cdh+bfg-ceg-afh-bdi. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\end{document}

J'aimerais que le "$\text{Dvt/}L3$" soit un peu plus bas (le "3" touche la parenthèse). Comment puis-je gérer ça?

Voici également un second code

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\newcommand{\justif}[1]{\text{(#1)}}

\begin{proof}
\noindent d'où 
\begin{alignat*}{2}
P(x_n) &= V(x_1 , \ldots , x_n ) &\quad\quad &\\
       & = V(x_1 , \ldots , x_{n-1} ) \prod_{i=1}^{n-1} (X-x_i) &&\\
       &= \prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n-2} (x_j - x_i) \prod_{i=1}^{n-1} (x_n-x_i) &&\justif{par hypothèse de récurrence}\\
       &=\prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n-1} (x_j - x_i),
\end{alignat*}
\noindent ce qui achève la récurrence, et donc la démonstration.
\end{proof}

\end{document}

Est-il possible de décaler le tout vers la droite, pour que les formules soient plus centrées (éventuellement un peu sur la gauche mais pas autant que là) tout en gardant le même espace entre les formules et la justification ?

@brian Merci pour votre réponse!

Je pense avoir trouvé un moyen pour décaler le tout sur la droite sans que ça sorte: avec un \hspace de quelques cencimètres et en réglant les marges, comme dans le code suivant:

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\usepackage[left=2.8cm,right=2.9cm,margin=2cm]{geometry}

\newcommand{\justif}[1]{\text{(#1)}}

\begin{document}

(...) d'où
\begin{alignat*}{2}
\hspace{3cm} P(x_n) &= V(x_1 , \ldots , x_n ) &\quad\quad &\\
       & = V(x_1 , \ldots , x_{n-1} ) \prod_{i=1}^{n-1} (X-x_i) &&\\
       &= \prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n-2} (x_j - x_i) \prod_{i=1}^{n-1} (x_n-x_i) &&\justif{par hypothèse de récurrence}\\
       &=\prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n-1} (x_j - x_i),
\end{alignat*}
ce qui achève la récurrence, et donc la démonstration.

\end{document}

Idem pour l'exemple suivant:

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
\usepackage{nicematrix}
\usepackage[left=2.8cm,right=2.9cm,margin=2cm]{geometry}

\newcommand{\justif}[1]{\text{(#1)}}

\begin{document}
\begin{proof}
\noindent On développe par rapport à la dernière ligne: 
\begin{alignat*}{2}
\hspace{3cm} \det (T) &= (-1)^{n+n} \lambda_n \begin{vNiceMatrix}[margin]
     \lambda_1 &             & \Block{2-2}<\Large>{(*)}               \\
                               & \Ddots                                 \\
     \Block{2-2}<\Large>{(0)}                                           \\
                               &   &                      & \lambda_{n-1}
   \end{vNiceMatrix} &\quad\quad &\\
                 &= (-1)^{2n} \lambda_n \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k &&\justif{par hypothèse de récurrence} \\
                 &=\prod_{k=1}^n \lambda_k &
\end{alignat*}
ce qui achève la récurrence.\\
\noindent Le résultat est donc bien démontré.
\end{proof}
\end{document}

Et voici un troisième exemple adapté d'un de vos codes (cette fois je mets la justification sur plusieurs lignes):

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\usepackage[left=2.8cm,right=2.9cm,margin=2cm]{geometry}

\begin{document}

\noindent De plus, comme $\left| q \right| = \frac{1}{2} < 1$, on a $q^{N+1} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$, d'où 

\begin{alignat*}{2}
\hspace{2cm} \frac{1-q^{N+1}}{1-q} \xrightarrow[N \to +\infty]{} &\frac{1}{1-q} &\quad\quad &\\
&= \frac{1}{1-\frac{\mathrm{e}^{i \alpha}}{2}} &\quad\quad &\\
&= \frac{1 - \frac{\mathrm{e}^{-i \alpha}}{2}}{\left( 1-\frac{\mathrm{e}^{i \alpha}}{2} \right) \left( 1- \frac{\mathrm{e}^{-i \alpha}}{2} \right)} && \raisebox{0pt}[0pt][0pt]{%
      \begin{tabular}[t]{c@{}@{}}
        (car $1- \frac{\mathrm{e}^{-i \alpha}}{2} \neq 0$ puisque\\[0.7ex]
        $\left| \frac{\mathrm{e}^{-i \alpha}}{2} \right| = \frac{1}{2} \neq 1$)
      \end{tabular}} \\[3.2ex]
&= \frac{1 - \frac{\mathrm{e}^{-i \alpha}}{2}}{1 - \underbrace{\left( \frac{\mathrm{e}^{i \alpha}}{2} + \frac{\mathrm{e}^{-i \alpha}}{2} \right)}_{=\cos ( \alpha )} + \frac{1}{4}} &\quad\quad &\\
&=\frac{4-2 \mathrm{e}^{-i \alpha}}{5 - 4 \cos ( \alpha)} &&\\
&=\frac{4-2 \cos ( \alpha)}{5 - 4 \cos ( \alpha)} + i \frac{2 \sin ( \alpha)}{5 - 4 \cos ( \alpha)}. &&
\end{alignat*}


\noindent Comme $\sum\limits_{n \geqslant 0} q^n$ converge, la suite de ses parties imaginaires converge vers la partie imaginaire de la somme de $\sum\limits_{n \geqslant 0} q^n$.

\end{document}

Quelques questions:

1) Je remarque que vous avez mis le \hspace avant le \begin{aligned}. Est-il mieux de le mettre avant comme vous l'avez fait ou sur la première ligne comme je l'ai fait (ou est-ce équivalent)?

2) Existe-t-il un moyen de régler plus précisément la position des colonnes plutôt que de les décaler "à la main" en rajoutant des espaces? Par exemple, y a-t-il une commande du style "\begin{colonnes}{5}{2cm, 7cm, #1 start+6cm, #2 end+8.2cm, #right margin -1.7cm}{l,l,c,r,l}" (traduction de ce truc juste après)? En gros l'idée serait de pouvoir jouer sur la position exacte des colonnes, mais aussi sur leur position relative ainsi que par rapport aux marges. Le "code" que j'ai tappé se traduirait en gros par:

"{5}": 5 colonnes

"2cm": la première colonne à deux centimètres du bord gauche de la feuille (sans compter la marge; pour compter la marge ça serait "#left margin + 2cm")

"7cm": la deuxième colonne à 7cm du bord gauche de la feuille (toujours sans compter la marge)

"#1 start+6cm": la troisième colonne commence 6cm après le début de la première colonne (#1 start = début de la première colonne)

"#2 end+8.2cm": la quatrième colonne commence 8.2 cm après la fin ("end") de la deuxième colonne ("#2"); la "fin" = la fin de le plus longue ligne écrite sur la deuxième colonne

"#right margin -1.7cm": la dernière colonne commence 1.7 cm AVANT (d'où le signe "-") la marge de droite (en écrivant juste "-1.7cm" ça donnerait 1.7cm avant la fin de la feuille)

Les l,c,r correspondent à l'alignement du texte dans chaque colonne.

L'idée que je propose est sans doute vouée à l'échec ou donnera des bugs si je fais par exemple partir la première colonne après la troisième, mais en gros l'idée serait d'avoir un contrôle beaucoup plus "important" sur chacune des colonnes (position exacte dans la feuille + par rapport aux autres colonnes + alignement dans chaque colonne). Un tel contrôle est-il possible (et est-il déjà programmé en tex sans avoir à définir un nouvel environnement)?


3) Vous utilisez l'environnement alignedat. Quelle(s) différence(s) avec alignat (sans le "ed")? Je vois que visiblement votre environnement nécessite d'être inséré "à la main" dans un environnement équation mais sinon y a-t-il d'autres différences et lequel est le plus adapté?


4) J'ai réutilisé vos environnements raisebox et tabular pour la justification sur plusieurs lignes. Je n'ai cependant pas compris les différents arguments: [t], c, @, {}, etc... j'ai cherché sur internet et ça n'est pas très clair. Ce que j'ai obtenu compile et me donne à peu près ce que je voudrais, donc je l'ai laissé comme ça mais sans vraiment comprendre les arguments utilisés dans le code. Pourriez-vous éclaircir ces points?


Je vous remercie d'avance!

@brian merci pour ces informations, je vais regarder tout ça (enfin pour l'instant j'essaye d'abord de m'en sortir avec tikz, mais je mets le reste dans la file d'attente ;-) )

J'ai regardé le package witharrows que vous m'avez indiqué. Il semble qu'il y ait à la fin une idée que je cherchais à faire depuis un bout de temps mais que je ne savais pas réaliser. Je m'explique: j'ai tenté (à partir de la documentation) le code suivant:

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{witharrows}
\usepackage{calc}

\usepackage[left=2.8cm,right=2.9cm,margin=2cm]{geometry}

\begin{document}

\noindent Ainsi, pour tout entier $N \geqslant 2$, on a par télescopage 

\[ \begin{WithArrows}[displaystyle,ygap = 2mm,ystart = 0mm,tikz-code = {\draw (#1) -- ++(4cm,0) |- (#2) ;\path (#1) -- (#2)node[midway] {#3} ;}]
\sum_{n=1}^N \sin \left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)\cos \left(\frac{3}{2^{n+1}}\right) &= \sum_{n=1}^N f (n) - f (n+1)\Arrow[ll,jump=4]{On peut passer de \\ là à là directement} \\
&= \sum_{n=1}^N f (n) - \sum_{n=1}^N f (n+1) \\
&= \sum_{n=1}^N f (n) - \sum_{n=2}^{N+1} f (n) \\
&= f(1) + \left( \sum_{n=2}^N f (n) - \sum_{n=2}^{N} f (n) \right) - f(N+1) \\
&= f(1) - f(N+1) \\
&= \frac{1}{2}\left( \sin(1)-\sin \left( \frac{1}{2^{N}} \right) \right).
\end{WithArrows}\]

\noindent En outre, $\sin \left( \frac{1}{2^{N}} \right) \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$.\\

\noindent Essai \hspace{\widthof{$\displaystyle f(1) + \left( \sum_{n=2}^N f (n) - \sum_{n=2}^{N} f (n) \right) - f(N+1)$} - \widthof{$\displaystyle \sum_{n=1}^N f (n) - f (n+1)$} + 1cm} d'espacement.

\end{document}

Je mets la photo à la fin de ce message. L'idée est de faire une flèche horizontale vers la droite, puis verticale vers le bas, puis horizontale vers la gauche pour passer d'une ligne à une autre, et que cette flèche contourne évidemment les longues formules intermédiaires s'il y en a. En outre, on mettrait un texte explicatif à droite de la partie "verticale" de la flèche. J'ai trois problèmes (et demi).

1) Comment mettre le texte à droite de cette flèche (là il est à gauche et je n'arrive pas à modifier ça)?

2) Plutôt que de régler les distances à la main, j'aimerais lui dire "1cm après la plus longue ligne à sauter" (ou "1 cm après la plus longue ligne de l'équation", je ne sais pas encore ce qui sera le mieux au final). J'ai trouvé comment obtenir cette longueur (c'est la partie "essai d'espacement"): on rentre à la main la formule la plus longue à sauter (ou la formule la plus longue dans la suite d'égalité selon le choix qu'on fait), on prend sa longueur, on ajoute 1cm et on retranche la longueur de la formule de la ligne de départ. Cependant, quand je remplace "4cm" par le ça il me renvoie un message d'erreur (j'ai essayé avec et sans le hspace, rien à faire). Comment puis-je lui demander ça?

3) Est-il possible de rendre ce processus automatique? C'est-à-dire qu'au lieu de trouver moi-même la formule la plus longue à contourner et de la rentrer à la main, le logiciel le ferait à ma place et j'aurais juste à rentrer, à la ligne de départ, le nombre de lignes à sauter ainsi que le texte...?

3 + 1/2) Je voudrais mettre la flèche et le texte qui va avec dans une autre couleur (j'appelle ça un demi problème car je n'ai pas essayé de le faire et je ne pense pas que ça soit le plus difficile à réaliser dans ce que je voudrais faire).

Merci d'avance pour vos explications!