Les pires erreurs dans un livre de Maths
Bonjour,
on parle souvent des coquilles du Gourdon sur le site,
ou du Lascaux Theodor comme étant un modèle de manque de rigueur.
Je me demandais quelles étaient les plus grosses erreurs de Maths
vues dans un livre de Maths (pas dues à une faute de frappe) ?
on parle souvent des coquilles du Gourdon sur le site,
ou du Lascaux Theodor comme étant un modèle de manque de rigueur.
Je me demandais quelles étaient les plus grosses erreurs de Maths
vues dans un livre de Maths (pas dues à une faute de frappe) ?
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Réponses
C’est écrit en toutes lettres puisque c’est la dernière question de l’exercice.
-- Schnoebelen, Philippe
texto à une ou deux virgules près.
(Remarque: quand on montre l'extrait aux élèves, ils n'arrivent pas à y croire, ils pensent qu'on a trafiqué l'extrait pour se moquer d'eux, c'est dur de les convaincre que non et d'exhiber l'officialité du site où on va chercher le pdf, car "eduscol" ne leur parle pas)
Précis Bréal Géométrie : '' On appelle Variété affine de $A$ ($A$ espace affine sur un e.v $E$) une partie $V$ non vide de $A$ telle que l'ensemble $\vec{V}=\{\vec{AB} \mid (A,B) \in V^2\}$ est une sous-espace de $E$.
Bah, c'est vrai chaque fois que le premier nombre est nul, ou la somme des trois premiers égale à 1.
Cordialement,
Rescassol
"Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte."
ce qui veut dire (à peu près) : "Une des pires choses qui puisse arriver à un scientifique est de voir l'une des fondations de son travail s'effondrer alors qu'il s'achève. C'est dans cette situation que m'a mis une lettre de Bertrand Russell, alors que le présent volume allait paraître"
On ne peut, je pense, facilement imaginer ce qu'il a dû en coûter à Frege de rédiger cet appendice.
Edit : j'ai effectivement des problèmes de vision...
'' Soit $E$ une partie non vide de $\overline \R$, et $a=sup E$; pour tout application monotone $f$ de $E$ dans $\overline \R$, $\lim_{x \rightarrow a, x \in E} f(x)$ existe et est égale à $sup_{x \in E} f(x)$ si $f$ est croissante. ''
en fait $f$ définie sur $[0 ; 1]$ par $f (x) = 0$ pour $x \in [0 ; 1[$ et $f(1)=1$ avec $E = [0 ; 1]$ est un contre-exemple.
Je reconnais que c'est du chipotage car cela devient vrai si on suppose $f$ strictement monotone.
Du coup on sort du thème du fil...
Edit : barré car faux. L'hypothèse à ajouter (voire plus loin) est $x \notin E$
Si on prend $x \in E$ la limite n'existe pas.
- $\lim\limits_{x \rightarrow a, x \in E \setminus \{ a \}} f(x)$ existe et est égal à $0$
- $\lim\limits_{x \rightarrow a, x \in E} f(x)$ existe et est égal à $1$ : plus généralement, si $a \in E$, alors $\lim\limits_{x \rightarrow a, x \in E} f(x)$ existe et est égal à $f(a)$.
Votre définition de la limite de f en a est donc "f(a) si f est définie en a" ? Pourquoi appeler ça "limite", c'est déjà la définition de la "valeur" de f en a, ou de "l'image de a" ?
Cordialement.
C'est quoi, ce forum? Pourquoi m'agressez-vous? Si vous ne connaissez pas la définition de Bourbaki, j'aurais pu vous la donner, mais pas quand on me parle sur ce ton!
Par ailleurs, vous ne m'avez pas lu (ni lu Blueberry). On parle de $\lim_{x \rightarrow a, x \in E}$ pour $E$ sous-espace du domaine de $f$ et $a$ adhérent à $E$. Je répète, ce qu'on note d'habitude $\lim_{x \rightarrow a}$ est ce que Bourbaki note $\lim_{x \rightarrow a, x \in E \setminus \{ a \}}$ donc votre question, même sur le fond (j'ai déjà évoqué la forme inacceptable), n'est pas pertinente.
J'ai évoqué Bourbaki parce que j'ai supposé que Dieudonné a repris les mêmes conventions que Bourbaki. Si ça vous fait plaisir de croire que Dieudonné s'est trompé et d'avoir affaire à un "baratineur", grand bien vous fasse.
D'où mon étonnement.
Dieudonné ne précise pas du tout dans son énoncé que $sup E=a \notin E$. Si tel était le cas l'énoncé serait correct.
Pour ce qui est de la définition de la limite en $a \in \overline A$ d'une application définie sur sous ensemble $A$, Dieudonné la donne quelques pages avant. Elle est celle que vous dite si $a \notin A$ et si $a \in A$ la limite ne peut être que $f(a)$ et il dit d'ailleurs que l'existence de cette limite en $a$ revient à dire que $f$ est continue en $a$.
Donc il y a un petit problème.
Il y a trois énoncés possibles, deux corrects et un incorrect :
a) On prend la définition de Bourbaki : pour $f$ même sans être supposée non continue, si $a \in E$, alors la limite vaut $f(a)$ (c'est pour ça que d'habitude on considère plutôt la limite pour $E \setminus \{ a \}$).
b) On prend la définition de Dieudonné : il ne considérera la limite sur un sous-espace $E$ tel que $a \in E$ que si $f$ est continue; du coup, l'énoncé que j'ai sous les yeux (et qui semble différent du vôtre, et il s'agit peut-être alors d'une erreur de Dieudonné due au fait qu'il avait oublié la restriction qu'il avait ajoutée et qui n'existait pas dans Bourbaki, erreur corrigée dans une édition ultérieure) stipule que $a \notin E$.
c) Ce qui est incorrect, c'est de prendre pour convention qu'on ne considérera le cas $a \in E$ que dans le cas $f$ continue et de ne supposer que la monotonicité de $f$.
'' Dieudonné est obligé de supposer $a \notin E$ '' Dans mon édition ça n'est nullement précisé. Il a peut-être effectivement corrigé dans une édition ultérieure.
Mais l'illustre anonyme ne relit sans doute pas ce qu'il a écrit.
Par ailleurs, mea culpa. Je me suis trompé : les définitions de Bourbaki et de Dieudonné coïncident dans le cas $a \in E$ - avec la définition de Bourbaki, cette limite n'existe (et est égale à $f(a)$) que dans le cas $f$ continue; sinon, comme remarqué par Blueberry, cette limite n'existe pas.
Par contre même texte sur les limites.
En quoi est-ce une erreur?
edit: pour info, il y en a même deux fondamentalement différentes. Si tu en trouves une je te donne l'autre :-D
@FdP : Il me semble que la fonction $g$ définie sur $\Bbb R$ par $g(x)=x^{70}+7\,x^{54}-\pi$ est encore un trinôme. En revanche, la fonction donnée par CC est un trinôme du second degré. La nuance me semble claire.
S'il était écrit : "La fonction $f$ définie sur $\Bbb R$ par $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$ est un trinôme appelé trinôme du second degré," les choses auraient été plus appropriées. La définition donnée est donc erronée.
Cordialement,
Thierry
La bonne définition (dans le contexte) est
$<<f$ est un trinôme blabla$>>$ est une abréviation de $<<\exists a,b,c(\forall x: f(x)=ax^2+bx+c)>>$
Il manque gravement le "il existe a,b,c" et le "quelque soit $x$" qui doit se trouver APRèS le "il existe". La tradition qui veut que quand on dit "$f$ défini par $f(x)=blabla$, cela sous-entend $\forall x: f(x)=blabla$ ne peut pas marcher ici, à cause du positionnement de $\forall x$ obligatoirement après $\exists a,b,c$ d'une part et à cause de l'absence de "défini par".
Ce que je voulais dire est qu'une définition est relative au contexte dans lequel elle est donnée.
Si des gens veulent appeler une somme de trois nombres qui dépendent, certes d'une variable, trinôme c'est bien leur droit. B-)
Privé du contexte, je ne sais pas si la définition reste cohérente tout au long du livre duquel elle est extraite. Celui qui pointe cette cette soi-disant erreur ne le précise pas.
> "quelque soit $x$"
Je crois qu'il y a là une erreur bien pire que celles que tu dénonces au sujet des trinômes. :-D
Tu es sûr de tout ce que tu écris Christophe ?
S
Hicham
Si la légende du Doneddu ci-dessus est vraie, l'erreur remporte la palme !
A suivre.
En fait, il démarre comme dans la preuve classique "abstraite", autrement dit il part de la relation.
${}^t Com(M-XI) *(M-XI)=det(M-XI).I_n$. Ensuite, bizarrement
il prétend que dans cette identité on peut remplacer l'indéterminée $X$ par $M$, avec un discours
assez fumeux sur des polynômes à coefficients dans l'anneau $M_n(K)$.
Il y a une idée très simple mais qui ne marche pas : faire $X=M$ dans $P_M(X)=\det(X I_n-M)$. Ceci ne marche pas parce que le morphisme d'évaluation $A[X]\to A[M]$ envoie le terme de droite sur le déterminant de la matrice de coefficients $\delta_{i,j}M-m_{i,j}I_n$ dans $A[M]$ (où $\delta_{i,j}$ est le symbole de Kronecker), et pas sur le déterminant de la matrice $0$ !
Cette idée de ``faire $X=M$" marche de manière plus subtile, à partir de la formule de la comatrice
$$N\,{}^t\!(\mathop{\rm com}\nolimits N)= {}^t\!(\mathop{\rm com}\nolimits N)\, N= \det(N) I_n\;,$$
où $\mathop{\rm com}\nolimits N$ est la comatrice de la matrice carrée $N$ de taille $n$. Cette formule est valable sur un anneau commutatif quelconque. On applique cette formule à la matrice $N=XI_n-M$ à coefficients dans $A[X]$ pour obtenir une égalité entre éléments de ${\mathfrak M}_n(A[X])$:
$$ (XI_n - M)\, {}^t\!(\mathop{\rm com}\nolimits(XI_n-M))= P_M(X) I_n\;.$$
On transpose l'égalité ci-dessus pour obtenir
$$ \mathop{\rm com}\nolimits(XI_n-M)\, (XI_n-{}^t\!{M})=P_M(X)I_n\;.$$
On transporte cette identité par le morphisme de $A$-algèbres $\epsilon_M: A[X]\to A[M]\subset {\mathfrak M_n}(A)$ qui envoie $X$ sur $M$ (on notera encore $\epsilon_M :{\mathfrak M}_n(A[X])\to {\mathfrak M}_n(A[M])$ le morphisme induit). La règle habituelle de multiplication ligne-colonne nous permet de multiplier à droite les matrices de ${\mathfrak M}_n(A[M])$ par le vecteur colonne $\left(\begin{array}{c}e_1\\ \vdots\\e_n\end{array}\right)$, où $(e_1,\ldots,e_n)$ est la base canonique de $A^n$. On obtient ainsi
$$\epsilon_M(P_M(X)I_n)\left(\begin{array}{c}e_1\\
\vdots\\e_n\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} P_M(M) e_1\\
\vdots\\P_M(M) e_n\end{array}\right)\;.$$
Comme
$$\epsilon_M(XI_n-{}^t\!{M})\left(\begin{array}{c}e_1\\
\vdots\\e_n\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} Me_1-\sum_{j=1}^n
m_{j,1}e_j\\
\vdots\\M e_n -
\sum_{j=1}^n m_{j,n}e_j\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\0\end{array}\right)\;,$$
on en déduit $P_M(M)e_1=\ldots=P_M(M)(e_n)=0$ et donc $P_M(M)=0$.
se prend complètement les pieds dans le tapis en prétendant utiliser des morphismes d'évaluation dans l'anneau
de polynômes $M_n(K)[X]$ (par non-commutativité de $M_n(K)$, on ne peut rien faire de tel).
Le texte de GaBuZoMeu ci-dessus reprend en partie l'une de celles-ci.
Je pense que ce document devrait faire partie des bagages de tout agrégatif.