Messenger of mathematics

Une revue Britannique aussi célèbre à l'époque que le journal de Liouville.

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PID=PPN599484047

Dans un article de cette revue on y trouve les identités suivantes:

$\displaystyle P=\int_0^{\infty} f\left(\frac{x}{a}+\frac{a}{x}\right)\ln x\frac{dx}{x}$

et,

$\displaystyle Q=\int_0^{\infty} f\left(\frac{x}{a}+\frac{a}{x}\right)\frac{dx}{x}$

$a>0$ un réel, et j'imagine que la fonction $f$ est au moins définie et continue sur l'ensemble des réels.

alors $P=Q\ln a$

On a aussi,

$\displaystyle A=\int_0^{\infty} f\left(x+\frac{1}{x}\right)\arctan x\frac{dx}{x}$

et,

$\displaystyle B=\int_0^{\infty} f\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{x}$

alors,

$A=\dfrac{\pi}{4}B$

(Ces deux formules seraient dues à Liouville mais dans cette revue Glaisher en donne des preuves)