Un ouvrage sur les équations fonctionnelles

@kroko
Hélas à ma connaissance il n'y a pas aujourd'hui de livre en français sur les équations fonctionnelles. Le dernier à porter ce titre était d’Émile Picard, il date de 1950, et ne répond pas vraiment à ta demande.

Il existe un excellent texte de 51 pages : Pierre Bornsztein, Moubinool Omarjee, Équations fonctionnelles, 2003.
http://igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr/olympiades/Stages/2003 Saint Malo/Equations Fonctionnelles/eqfonc-cours.pdf
mais il est orienté vers les problèmes de type Olympiades, qui ne font pas intervenir les concepts de l'analyse mathématique. Je l'ai cité en raison de sa qualité, tu peux le regarder, mais sans top t'y arrêter, il n'y a pas tout à fait ce dont tu as besoin.

Pour MPSI, une bonne introduction est l'article : Roger Cuculière, Équations fonctionnelles, Quadrature n° 35, janvier-mars 1999, p. 17-26, malgré une ou deux erreurs, mais je ne sais pas s'il est disponible en ligne.

Il me faut encore une fois donner le conseil de ne pas hésiter à consulter une documentation en anglais. Avec juste ce que l'enseignement secondaire a pu te donner comme connaissances dans cette langue, même avec un niveau médiocre en anglais (comme le mien :-( ), on peut comprendre un texte mathématique. Plus on avance dans les études plus il est indispensable de consulter des textes mathématiques en anglais, alors autant commencer tout de suite.

Je vais chercher d'autres éléments de réponse.
À tantôt.
Bonne journée et bonne année.
Fr. Ch.

Chaurien a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1589596#msg-1589596
Le mieux serait peut-être que j'écrive moi-même un livre ...

Voilà une bonne idée ... On est tous impatients de te lire.
Alain

On retrouve ici une discussion sur le sujet, même s'il ne s'agit pas de bouquin comme demandé...

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1211727,1211947

Bonjour Chaurien, Bonjour Alain, et Bonne Année à tous,

J'appuie ce qu'a dit d'Alain, avec force !

Yann

Il y a quand même des choses récentes (ok, ça coûte un bras, quoique en Yellow Sales, c'est presque abordable) :
http://www.springer.com/gp/book/9780387894911

Bonjour,

un article très riche est celui-ci :article G. Vidiani

L'exposé contient une multitude de références et présente déjà pas mal de méthodes en ... 14 pages.

Jean-éric.

@ soleil_vert.
Merci, j'avais vu passer ces « yellow sales » mais je n'en avais pas retenu les caractéristiques.
Les prix en librairie sont-ils supérieurs ou inférieurs à ceux du catalogue ?
Une raison de plus d'attendre le printemps ;-).
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Voici l'article de Quadrature n° 35, qui me semble l'ABC des équations fonctionnelles. Au départ c'était un texte pour élèves de Terminale S dans le cadre d'une préparation au Concours général et aux compétitions mathématiques, d'où certaines précisions qui pourraient sembler superflues pour le lecteur plus avancé.
Il traite les équations fonctionnelles réelles suivantes, avec diverses conditions additionnelles :
$f(x+y)=f(x)+f(y)$,
$f( \frac {x+y}2)=\frac{f(x)+f(y)}2$,
$f(x+y)=f(x)f(y)$,
$f(xy)=f(x)+f(y)$,
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$.
Plus : $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(xy)=f(x)f(y)$, sans condition.
Et une incursion dans les nombres complexes avec quatre équations.
L'article insiste sur l'importance des divers types de conditions additionnelles imposées à l'équation fonctionnelle, et il propose des méthodes de résolution. Il va des exemples aux méthodes, à l'inverse de l'excellent article de mon vieil ami Vidiani cité par Jean-Éric ci-dessus, qui va des méthodes aux exemples. Ces deux articles sont donc complémentaires.
Une grosse bévue de cet article est d'appeler « équation de D'Alembert » ce qui est universellement connu sous le nom d'« équation de Cauchy ». Il y avait aussi une erreur mathématique dans l'article initial, corrigée dans la copie ci-jointe. Il reste plusieurs coquilles, que je corrigerai peut-être un jour. Par exemple, l'auteur sait bien que les logarithmes népériens datent de 1614 et non de 1814...
J'espère que ce sera utile pour les concours. Vous pouvez me le dire.
Bonne journée.
Fr. Ch.

@Bloy.Noël
Oui, j'ai signalé ce livre il y a un an dans le fil déjà cité
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1212487,1214753#msg-1214753
À l'époque je l'ai acheté de mes deniers, en papier. Il peut être utile pour les compétitions, mais aussi pour les concours, à condition de bien sélectionner les passages.
J'ignore s'il existe un ouvrage plus récent sur le sujet.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Une remarque de méthode : « renforcement de condition ».

Chacune des dix équations fonctionnelles « de base » que j'ai citées dans un message précédent est posée assortie de conditions additionnelles, sinon ça se complique trop.

Pendant longtemps, on a imposé la dérivabilité ou la double dérivabilité, par exemple dans les années 1970, dans des revues comme la Revue de Mathématiques Spéciales ou Les Humanités Scientifiques. Le concours Putnam en 1963 posait l'équation : $f(x+y)f(x-y)=f(x)^2-f(y)^2$ avec la condition de double dérivabilité. L'avantage pour les examens et concours traditionnels, c'est que ces conditions permettent de transformer une équation fonctionnelle en équation différentielle, et de lui faire réintégrer ainsi le champ des questions qu'on peut traiter dans le cadre du programme en vigueur.

Par la suite, on a vu apparaître une méthode que j'appelle de « renforcement de condition », qui consiste à prouver que pour certaines équations fonctionnelles les solutions continues sont nécessairement $\mathcal C^1$, $\mathcal C^2$ ou plus.

Par exemple prenons l'équation fonctionnelle : $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))$, quels que soient $x$ et $ y$ réels, la fonction $f$ supposée continue partout. On intègre entre $0$ et un $z$ réel qu'on précisera plus tard, par rapport à la variable $x$, avec $y$ supposé constant :
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~\int_{0}^{z}f(x+y)dx+\int_{0}^{z}f(x-y)dx=2\int_{0}^{z}f(x)dx+2\int_{0}^{z}f(y)dx$.

Par des changements de variables affines très simples : $\int_{y}^{z+y}f(u)du+\int_{-y}^{z-y}f(w)dw=2\int_{0}^{z}f(x)dx+2f(y)\int_{0}^{z}dx$.
Posons $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$, fonction de classe $\mathcal C^1$. Il vient : $F(z+y)-F(y)+F(z-y)-F(-y)=2F(z)+2zf(y)$.
D'où en prenant $z:=1$ : $f(y)=\frac{1}{2}(F(1+y)-F(y)+F(1-y)-F(-y)-2F(1))$.
On en déduit que $f$ est de classe $\mathcal C^1$, d'où $F$ est de classe $\mathcal C^2$, et $f$ est de classe $\mathcal C^2$, et l'on pourrait continuer mais ce ne sera pas nécessaire.

En dérivant l'équation initialement proposée, successivement par rapport à $x$ puis à $y$, il vient : $f^{\prime }(x+y)+f^{\prime }(x-y)=2f^{\prime }(x)$, puis : $f^{\prime \prime }(x+y)-f^{\prime \prime }(x-y)=0$. La fonction $f^{\prime \prime}$ est donc constante, et $f$ est donc un polynôme du second degré. De simples observations sur l'équation initiale montrent que $f(0)=0$ et que $f(-x)=f(x)$, d'où la solution : $f(x)=ax^2$.

Chacune des neuf autres équations fonctionnelles que j'ai citées peut se traiter ainsi, en supposant la continuité partout, renforcée en dérivabilité ou double dérivabilité. On trouve parfois de telles démonstrations dans des énoncés de concours, et ceci peut sans doute agrémenter un exposé d'oral, non ?

Bonne soirée.
Fr. Ch.
11/01/2018

Quelle est la référence de cette « équation ardue » ? Merci.

Pour la question b), soit $K$ un corps commutatif. S'il s'agit de trouver les applications $f$ de $\mathcal{M}_{n}(K)$ dans $K$, non constantes, telles que : $\forall A\in \mathcal{M}_{n}(K),\forall B\in \mathcal{M}_{n}(K),f(AB)=f(A) f(B)$, on peut affirmer qu'il s'agit exactement des applications $A \mapsto f(A)=\varphi (\det A)$ avec : $ \forall \alpha \in K,\forall \beta \in K,\varphi (\alpha \beta )=\varphi (\alpha )\varphi (\beta )$.
Si maintenant $K=\mathbb R$ et que l'on suppose $f$ continue, ou seulement continue en un point, on peut préciser $\varphi$.
Mais est-ce bien la question posée ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Au sujet de l'exercice b)
Oui, c'est cela.
Je pense qu'il faut ajouter ces hypothèses de régularité (continuité en un point par exemple) pour rendre exhaustives la recherche des solutions.
Mais ce qui me gêne c'est que l'on peut prendre la valeur absolue pour $\varphi$. Et je ne sais pas si d'autres solutions sont possibles. Ou alors je m'embrouille tout seul.

Edit :
Au sujet de l'équation ardue :
Oui, elle est assez géniale. Les solutions sont données dans le lien.
Je ne sais pas d'où elle vient d'ailleurs. Je ne sais même plus si nous l'avions demandé à @YvesM.

@Chaurien
Bon, et bien je m'étais embrouillé tout seul.
J'avais en tête une forme des solutions "puissance"qui n'était pas la bonne et la valeur absolue me chagrinait (car elle ne rentrait pas dedans). J'allais trop vite, tout simplement.

J'ai retrouvé un lien dont je ne sais s'il a été déjà cité. L'intérêt est qu'il classe également les équations fonctionnelles de Cauchy : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,821505 (8e message).

@Chaurien
En effet c'est cela. Merci bien ;-)



Toujours dans le cadre de cette leçon, je me souviens d'une question d'un membre du jury de l'agrégation :
Il demandait au candidat de résoudre l'une de ces équations (je ne sais plus laquelle) avec $f$ (disons continue) de $\mathbb C$ dans $\mathbb R$ et inversement de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ et peut-être même de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$.
Si cela peut aider à enrichir la leçon...

À plus tard.