Transvections et dilatations

curiosity
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Bonjour,

J'aimerais des références de livres (français/anglais) qui détaillent l'approche du cours http://amatheux.com/IMG/pdf/groupe_lineaire.pdf concernant la définition des transvections et dilatations par l'application induite sur l'espace quotient.
Plus précisément, la plupart des ouvrages introduisent ces applications soit via les matrices associées (et c'est ce que je fais dans ma leçon d'oral puisqu'il existe une leçon sur les opérations élémentaires...), soit par la formule classique $f(x) = x +\varphi(x)a$ avec $a$ ou non dans le noyau de $\varphi$ (par exemple le dernier livre de J.E. Rombaldi).

Perrin (Cours d'algèbre) donne la caractérisation pour les transvections mais pas les dilatations (sauf erreur)...

J'aime bien le point de vue "unificateur" (c'est juste subjectif), aussi j'aimerais voir des approches entièrement par ce biais. J'aimerais également savoir s'il y a quelque chose de plus "profond" derrière cette approche (?).
Le cours cité est intéressant mais n'est pas utilisable pour un concours, alors si quelqu'un a des références livresques... :-)

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Considérer ici l'endomorphisme induit sur le quotient par l'hyperplan ne me paraît ni très profond, ni très utile.
    Petite remarque : quand on n'est pas sur $\Z/2\Z$, les dilatations suffisent à engendrer $GL_n$.
  • marsup
    marsup
    Je ne comprends pas de quoi tu parles GaBuZoMeu.

    M'étonnerait qu'on considère le quotient par l'hyperplan $ker(\phi)$, puisque ce quotient est une droite, pas terrible pour la récurrence...

    Il vaut mieux regarder le quotient par la droite $vect(a)$, non ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si tu veux comprendre, tu lis le premier message du fil et tu suis le lien qui y figure. ;-)
  • marsup
    marsup
    Je me doutais qu'il fallait faire ça... (:P)

    Mais le truc, c'est que le texte fait 35 pages. Tu veux bien au moins me donner un indice ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    As-tu lu
    curiosity a écrit:
    concernant la définition des transvections et dilatations par l'application induite sur l'espace quotient.
    ??
  • marsup
    marsup
    Bah oui, mais c'est pas après avoir suivi le lien.

    J'interprète ce quotient comme celui par $vect(a)$.

    Ça ne me choque pas plus que ça qu'on regarde l'application induite par $\phi$ sur ce quotient.

    Est-ce que le pdf explique qu'il faut regarder le quotient par $ker(\phi)$ ?

    Si oui, à quelle page ?
  • curiosity
    curiosity
    Cf. Définition 2.1 et l'explication qui précède.
    Transvections et dilatations sont les deux types d'automorphismes linéaires qui laissent stables un hyperplan. En quotientant par celui-ci, on obtient un endomorphisme ("induit" comme on dit) qui est sur le "petit" espace quotient obtenu (une droite effectivement, c'est le premier théorème d'isomorphisme) soit l'identité, soit pas l'identité...
    Il n'y a pas de récurrence à ce niveau.
  • marsup
    marsup
    Ah ok, merci, donc GaBuZoMeu disait vrai ! (désolé je n'ai toujours pas lu le pdf :-D)
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