SO(3) simple, démonstration du Perrin

thomasb · May 2018

Bonjour,

Comment générer un retournement par conjugaison de la matrice (cf. Perrin, p. 149) :

$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos 1 & -\sin 1 \\
0 & \sin 1 & \hphantom{-}\cos 1
\end{pmatrix}
$

GaBuZoMeu · May 2018

Ta question n'est pas très claire. Faut-il comprendre : pourquoi tout sous-groupe distingué de $\mathrm{SO}(3)$ qui contient la matrice que tu donnes contient-il un retournement ?
La classe de conjugaison du carré de cette matrice est l'ensemble de toutes les matrices de rotations d'angle géométrique $2$. On peut se poser la question de trouver un produit de deux telles rotations qui soit un retournement. En décomposant chaque rotation en produit de deux symétries par rapport à un plan et en s'arrangeant bien pour choisir ces plans, on doit pouvoir faire ! Je te laisse faire. Indications :
1°) pour choisir de bons plans, on peut choisir de bons vecteurs normaux unitaires,
2°) le produit de deux symétries par rapport à des plans faisant un angle $\alpha$ ($0\leq \alpha\leq \pi/2$) est une rotation d'angle géométrique $2\alpha$.

thomasb · May 2018

@GaBuZoMeu
C'est vrai que ma question était incomplète...

En fait, j'essaie de générer un retournement avec la méthode du Perrin qui consiste à réduire l'angle de la rotation jusqu'à $\frac{\pi}{n}$ pour un certain n, à l'aide de conjugaisons.

Seulement, par des conjugaisons, on ne peut pas réduire l'angle d'une rotation.

GaBuZoMeu · May 2018

Je ne comprends pas ce que tu cherches à faire : en conjuguant une rotation, on ne change pas son angle géométrique. Tu dois mal comprendre ce que fait Perrin.
As-tu lu ce que j'ai écrit ?

thomasb · May 2018

Ce que tu as écrit, je l'ai lu, mais le but était d'appliquer la méthode du Perrin.
Enfin, j'ai dû passer à côté de quelque chose, il faut que je revoie sa démonstration...

thomasb · May 2018

@GaBuZoMeu

Tu as la preuve en pièce jointe, les points (4) et (5) en particulier.

Jette un coup d'oeil, mais à mon avis, c'est faux... L'angle de la rotation est réduit à l'aide d'une conjugaison.

GaBuZoMeu · May 2018

Dans ton scan, il n'y a pas le 5) en entier.
Et non, il n'est pas question de diminuer l'angle d'une rotation par conjugaison ! Je ne vois vraiment pas où tu lis ça dans le texte. Perrin n'écrirait certainement pas une telle énormité.

thomasb · May 2018

Il a dû shunter la construction de la rotation d'angle $\frac{\pi}{n}$...

Comme on peut avoir toutes les rotations de même angle et d'axe quelconque, on peut avoir une rotation d'angle arbitrairement petit. Mais ce n'est pas ce que suggère la figure.

En pièce jointe, tu as la fin de la démonstration : comme il prend la peine de préciser que $x_n=\cdots=-x$, il a oublié un morceau.

[Il manquait encore deux lignes au début de la preuve, cette fois, elle est complète]

GaBuZoMeu · May 2018

Bon, tu es passé à côté de la démonstration de Perrin.
Dans le 4°) il montre que pour tous $y_1,y_2$ sur la sphère tels que $\Vert y_1-y_2\Vert \leq d$, il existe $u'\in N$ tel que $u'(y_1)=y_2$.
Dans le 5°) il applique ceci à la situation suivante : il prend un vecteur unitaire $a$, et un point $x$ qui est sur l'intersection de la sphère avant le plan vectoriel orthogonal à $a$. Il note $\rho_n$ la rotation d'axe dirigé et orienté par $a$ d'angle $\pi/n$. Pour $n$ entier suffisamment grand on a $\Vert x-\rho_n(x)\Vert \leq \delta$. Il existe donc d'après 4°) un élément $u'\in N$ tel que $u'(x)=\rho_n(x)$. MAIS $u'$ N'A AUCUNE RAISON D'ÊTRE UNE ROTATION D'ANGLE $\pi/n$. En recommençant $n$ fois, il finit par trouver $v\in N$ tel que $v(x)=-x$. Et ça, ça oblige $v$ à être un retournement.

thomasb · May 2018

Effectivement, la composée des $n$ rotations est un retournement...

Bien vu !

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