Article sur les courbes elliptiques
Bonjour,
le rang des courbes elliptiques définies sur $\mathbb{Q}$ est-il borné ? L'idée généralement admise est qu'il n'y a pas de limite au rang des courbes elliptiques. Des travaux récents suggèrent le contraire.
Des chercheurs étudient les liens entre les courbes elliptiques et les noyaux de certaines matrices définies sur des corps finis. La distributions des noyaux de ces matrices et celle des courbes elliptiques semblent se "refléter mutuellement".
Le modèle statistique de Jennifer Park et ses collègues conjecture que: "Il n'y a qu'un nombre fini de courbes elliptiques ayant un rang supérieur à 21."
Noam Elkies, mathématicien à Harvard, découvreur de la courbe elliptique au rang le plus élevé actuellement connu (19) persiste à croire que le rang des courbes elliptiques peut-être arbitrairement grand. Le modèle de Park ne tient pas compte de sous-familles infinies de courbes en complet décalage avec ses prédictions.
Elkies pense que, de toute façon, nos connaissances dans ce domaine sont trop limitées pour soutenir une conjecture dans un sens ou dans l'autre.
Pour la définition de la notion de rang d'une courbe elliptique: voir le lien "images des maths" ci-dessous.
source: Pour la science- Théorie des nombres-Combien d'indices remplacent une preuve ?-Octobre 2018.
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/theorie-des-nombres-combien-dindices-remplacent-une-preuve-15133.php
https://arxiv.org/pdf/1602.01431.pdf
http://images.math.cnrs.fr/Le-rang-des-courbes-elliptiques.html
...
le rang des courbes elliptiques définies sur $\mathbb{Q}$ est-il borné ? L'idée généralement admise est qu'il n'y a pas de limite au rang des courbes elliptiques. Des travaux récents suggèrent le contraire.
Des chercheurs étudient les liens entre les courbes elliptiques et les noyaux de certaines matrices définies sur des corps finis. La distributions des noyaux de ces matrices et celle des courbes elliptiques semblent se "refléter mutuellement".
Le modèle statistique de Jennifer Park et ses collègues conjecture que: "Il n'y a qu'un nombre fini de courbes elliptiques ayant un rang supérieur à 21."
Noam Elkies, mathématicien à Harvard, découvreur de la courbe elliptique au rang le plus élevé actuellement connu (19) persiste à croire que le rang des courbes elliptiques peut-être arbitrairement grand. Le modèle de Park ne tient pas compte de sous-familles infinies de courbes en complet décalage avec ses prédictions.
Elkies pense que, de toute façon, nos connaissances dans ce domaine sont trop limitées pour soutenir une conjecture dans un sens ou dans l'autre.
Pour la définition de la notion de rang d'une courbe elliptique: voir le lien "images des maths" ci-dessous.
source: Pour la science- Théorie des nombres-Combien d'indices remplacent une preuve ?-Octobre 2018.
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/theorie-des-nombres-combien-dindices-remplacent-une-preuve-15133.php
https://arxiv.org/pdf/1602.01431.pdf
http://images.math.cnrs.fr/Le-rang-des-courbes-elliptiques.html
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Réponses
En visitant le lien pour la science, je comprends, on voit qu'il ne s'agit que d'une simple traduction de ce dernier...
Peut-être estiment-ils que depuis l'invention de SAGE, le sujet est caduque.
Pour la définition:
$\textbf{E=EllipticCurve([A,B])}$
Pour avoir le rang, quand c'est possible, d'une courbe elliptique:
$\textbf{E.rank( )}$
Pour trouver la structure du sous-groupe de torsion d'une courbe elliptique:
$\textbf{T=E.torsion_subgroup( )}$
Pour avoir les générateurs de ce sous-groupe:
$\textbf{T=E.torsion_subgroup( ),T.0}$
Pour les générateurs d'ordre infini dans $E(\mathbb{Q})$
$\textbf{E.gens( )}$
etc...
Il me semblait important de le préciser.
J'ai vu qu'il existait un algorithme qui s'appuie sur les formes modulaires pour le calculer.
N'y a-t-il pas également une notion de rang géométrique d'une courbe elliptique ?
...
On part de
\begin{equation}
\displaystyle E: \: \: \: y^2=x^3 + ax + b
\end{equation}
avec $a,b$ rationnels, $x^3+ax+b$ possédant trois racines distinctes.
Les points de $E$ sont les couples de nombres algébriques $(x,y)$ qui vérifient cette égalité.
Muni d'un unique point à l'infini parfois noté $\textbf{O}$ ou $\infty$ en guise d'élément-identité et d'une addition selon la méthode dite de "corde-tangente", l'ensemble des points de $E$ forme un groupe abélien. L'inverse d'un élément $(x,y)$ est $-(x,y)=(x,-y)$.
L'ensemble des points rationnels de $E$ en est un sous-groupe noté $E(\mathbb{Q})$ et l'ajout du point à l'infini en fait un sous-ensemble du plan projectif. Toute droite coupe la courbe $E$ en trois points exactement.
Si deux points distincts $P,Q$ de $E$ ont la même abscisse $x$, la droite qui passe par eux recoupe $E$ au point à l'infini: $P+Q=\infty$. Géométriquement, c'est le point où se recoupent toutes les verticales.
On appelle sous-groupe de torsion de $E(\mathbb{Q})$ et l'on note $E_{Tor}(\mathbb{Q})$, l'ensemble des points d'ordre fini de $E(\mathbb{Q})$ c'est-à-dire tels que $mP=$$\textbf{O}$ pour un certain $m \in \mathbb{N}$. Tous les points d'ordre fini sont à coordonnées entières et le carré de leur ordonnée $y^2$ divise le déterminant $\Delta=4a^3+27b^2$ de $E$ (théorème de Nagell-Lutz).
$E(\mathbb{Q})$ peut-être de cardinal fini ou infini, comporter des points d'ordre fini et infini mais il est toujours généré par un nombre fini d'éléments (théorème de Mordell-Weil).
Tout point $Q$ de $E(\mathbb{Q})$ s'écrit comme combinaison linéaire d'un nombre fini de points de $E(\mathbb{Q})$ et d'un point $T \in E_{Tor}(\mathbb{Q})$:
\begin{equation}
Q=T + a_1P_1+a_2P_2+...+a_nP_n, \: a_i \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
En termes plus algébriques, $E(\mathbb{Q})$ est la somme directe de deux groupes: le sous-groupe de torsion de $E(\mathbb{Q})$ et un groupe abélien libre de rang $R$.
\begin{equation}
\displaystyle E(\mathbb{Q}) \cong E_{tor}(\mathbb{Q}) \oplus \mathbb{Z}^R
\end{equation}
C'est la valeur $R$ que l'on nomme $\textbf{rang algébrique}$ de la courbe $E$. Est-il exact de dire qu'elle correspond au cardinal de l'ensemble des générateurs du groupe de points sans torsion de $E$ ?
Ce fait a été conjecturé par Poincaré en 1908, prouvé par Mordell en 1922, généralisé par Weil pour un corps $K$ quelconque en 1928.
Une question qui en revanche reste sans réponse est: pour un rang arbitrairement grand donné, existe-t-il une courbe elliptique ?
...
Je n'ai pas tout lu ci-dessus, mais ajoutons (si ce n'est déjà fait) que le sous-groupe de torsion de $E(\mathbb{Q})$ a été calculé par Mazur en 1977, et figure parmi les $15$ groupes suivants :
$$\mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \ \textrm{avec} \ m \in \{1,\dotsc,10 \} \, ; \quad \mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z} \, ; \quad \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2m \mathbb{Z} \ \textrm{avec} \ m \in \{1,\dotsc,4\}.$$
En particulier, $\left| E_{\textrm{tors}} (\mathbb{Q}) \right| \leqslant 16$.
En revanche le lien image des maths ça décoiffe. Merci de me l'avoir signalé, super article! comme souvent chez IdM d'ailleurs.
M.
Il est vrai que le magazine "La Recherche" a beaucoup perdu en consistance ! Je le lisais au milieu des années 80 où ils étaient parmi les premiers à parler au grand public d'Intelligence Artificielle.
La presse de vulgarisation mathématique est très pauvre en général surtout quand on la compare avec la quantité astronomique de parutions destinée aux experts.
Dans une presse de gare, on peut trouver avec un peu de chance un vieux hors-série de "Tangente" coincé entre deux "Ca m'intéresse".
C'est désolant. Il nous faudrait un équivalent Français de la revue "The American Mathematical Monthly" mais plus largement diffusée et avec plus de couleurs.
...
C'est une bonne idée.
Edit : cf https://arxiv.org/abs/1606.07178
Pour l'instant, je rédige le volume de géométrie qui me demande un travail assez colossal et accessoirement j'élabore un nouveau travail sur ce que nous appelons maintenant l'analyse fonctorielle (et je me casse les dents depuis quinze jours sur un lemme élémentaire!).
@df: content de voir que les articles de Quadrature te plaisent, ça demande beaucoup de travail...
M.
Soient deux points rationnels $P(x_1, y_1)$ et $Q(x_2,y_2)$ sur une courbe elliptique $E$. Si $x_1 \neq x_2$, la droite qui passe par les points $P$ et $Q$ recoupe la courbe elliptique en un point $R(x_3, y_3)$ dont les coordonnées sont:
\begin{equation}
\displaystyle x_3= \big(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\big)^2-x_2-x_1 \\
y_3=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_3-x_1)+y_1
\end{equation}
La somme de deux points $P$ et $Q$ de $E$ n'est pas le point $R$ mais son symétrique par rapport à l'axe des abscisses: $P \oplus Q =(x_3, -y_3)$.
qui bien évidemment appartient à $E$.
L'ensemble $E(\mathbb{Q})$ des points rationnels de $E$ étant un groupe, la somme de deux points à coordonnées rationnelles est un point à coordonnées rationnelles.
Chaque point d'une courbe elliptique $E$ définie sur $\mathbb{Q}$ est combinaison linéaire d'un nombre fini de points appelés $\textbf{points de base}$ de cette même courbe. Supposons que le groupe des points rationnels de $E$ possède $m$ points de base. Tout élément de ce groupe est donc de la forme:
\begin{equation}
\displaystyle n_1P_1 \oplus n_2P_2 \oplus \cdots \oplus n_mP_m
\end{equation}
où $n_1P_1=P_1 \oplus P_1 \oplus \cdots \oplus P_1$ ($n_1$-fois).
Certains points de base peuvent être d'ordre fini: quand on les additionne un certain nombre de fois à eux-mêmes, ils redonnent le point à l'infini c'est-à-dire l'élément neutre de $E(\mathbb{Q})$.
Si un point $P$ est d'ordre fini, la suite $P, 2P, 3P, ...,$ est finie puisqu'on revient à $P$ après avoir atteint le point à l'infini.
Mais la combinaison linéaire ci-dessus peut aussi comporter des points $P_i$ d'ordre infini: ceux pour lesquels il n'existe aucun entier $n_i$ tel que $n_iP_i=\infty$.
Le nombre de points de base d'ordre infini nécessaires pour engendrer tous les points rationnels d'une courbe elliptique est par définition son $\textbf{rang}$.
C'est ce que je cherchais depuis le début: une définition du "rang algébrique d'une courbe elliptique" qui ne contienne que des mots simples de la langue française...
Par conséquent si une courbe elliptique est de rang 0, tous ces points de base sont d'ordre fini et son groupe a un nombre fini d'éléments. C'est une conséquence immédiate du théorème de Mordell.
Par exemple quel est le rang de $\displaystyle E_1: \: y^2=x^3-4$ ?
Le point $P(2,2)$ appartient à cette courbe et pour tout point rationnel $Q_i$ de cette courbe, il existe un entier $n_i$ tel que $Q_i=n_iP$.
En revanche, on aura beau additionner autant de fois que l'on veut le point $P$ à lui-même (selon l'addition $\oplus$ définie plus haut), on n'obtiendra jamais l'élément neutre.
Le rang de $E$ est donc 1.
Autre exemple, la courbe $E_2: \: y^2=x^3-x$ est de rang 0. Elle ne contient que trois points rationnels.
Certains écrits définissent le rang comme "le nombre minimal de générateurs d'ordre infini", ce qui implique qu'il peut y en avoir plusieurs dans un même groupe.
Bonne soirée.
...
Je pense que tu as mal compris. Ou alors pourrais-tu préciser ? À quelles formes modulaires fais-tu allusion ? Un tel algorithme n'existe pas actuellement. Pire, aucune courbe elliptique rationnelle n'a pu être prouvée de rang analytique $\ge 4$. Prouver que la courbe elliptique $y^2 + y = x^3 - 7x + 6$ est de rang analytique 3 (et également de rang algébrique 3) a été un véritable tour de force (1985, Buhler, Gross, Don Zagier) http://www.ams.org/journals/mcom/1985-44-170/S0025-5718-1985-0777279-X/S0025-5718-1985-0777279-X.pdf
Peut-être as-tu confondu ``définition'' et ``algorithme'' ?