Géométrie tropicale, amibes et squelettes

Bonjour,

$\bullet$ Un article de Antoine Chambert-Loir , "Pour la science"-n°492-Octobre 2018, traite d'un domaine de recherche nouveau et très actif: la géométrie tropicale.

Pour tous les couples de complexes $(x,y)$ qui annulent un polynôme, on appelle $\textbf{amibe}$ du polynôme, l'ensemble des points de coordonnées $\displaystyle (\log|x|, \log|y|)$.
Quand on fait tendre la base du logarithme vers l'infini, la courbe représentative du polynôme se contracte autour de son $\textbf{squelette}$ ou "courbe tropicale" qui ressemble à un réseau de segments.

La géométrie tropicale s'intéresse au nombre de courbes de courbes algébriques planes passant par un nombre donné de points.

Un résultat important dans ce domaine vient de la $\textbf{théorie de l'élimination}$: il faut fixer $3d-1$ points pour que le nombre $N_d$ de courbes rationnelles de degré $d$ passant par ces points soit fini.


$\bullet$ Dans ce même numéro, la rubrique $\textbf{Logique et calcul}$ s'intéresse à "l'art et la science des mots de passe".
Le saviez-vous ? Quelqu'un d'aussi avisé que Jean-Paul Delahaye, professeur émérite, chercheur en informatique, a fait l'erreur de protéger ses données avec le mot de passe $\textbf{e=mc^2=mc^2}$.
L'auteur commence par attirer l'attention sur la nécessité de choisir un mot de passe suffisamment grand.
Un mot de passe composé de $6$ lettres minuscules nécessite l'exploration de $26^6=308 915 776$ possibilités.
Pour un mot de passe composé de $12$ caractères pris dans un ensemble de $72$ symboles, la taille de l'espace des possibles est $72^{12}=19 \times 10^{21}$ soit "62 000 milliards de fois plus que la taille du premier espace".

Appelons $A$ la taille de la liste de symboles susceptibles de composer un mot de passe, $N$ la taille du mot de passe, $T=A^N$ la taille de l'espace des possibilités et $D$ le nombre d'heures nécessaires pour explorer l'espace des possibilités.
Partons de l'hypothèse que votre machine effectue un milliard de calculs par seconde, supposons que la loi de Moore est valide et considérons le nombre $X$ d'années qu'il faut attendre pour que l'espace des possibilités devienne "explorable" en moins d'une heure.

On a:

\begin{equation}
\displaystyle T=A^N, \: \: D=T\big/(10^9 \times 3600) \\
X=2\log_2[T\big/(10^9 \times 3600)]
\end{equation}

Si $A=200$ et $N=20$, il faudra attendre $222$ ans pour explorer les possibilités en moins d'une heure.

Je dois admettre que mon compte "Les maths.net" n'est pas aussi bien protégé. Le risque qu'un génie des maths pirate mon compte et se fasse passer pour moi est négligeable mais il n'est pas nul !
En conclusion, ne choisissez pas pour mot de passe, le nom de votre chat, de votre chien ou celui du président de la république.
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