Groupes et géométrie pour l'agrégation

Bonsoir,

il y a déjà le Mercier - Géométrie qui couvre le même programme.
En tout cas beaucoup de chapitres sont identiques.

Rien à priori sur la géométrie projective (comme le Mercier).

En ce qui concerne les actions de groupe, les livres de Caldero-Germoni doivent rester des références.

La première question serait pourquoi n'y en a-t-il plus avant la fac?

Il n'y a pas de géométrie projective à l'agrégation et très peu de géométrie de toute façon. Donc il faut savoir si le but est d'aider ceux qui se préparent à l'agrégation ou d'écrire un livre de mathématiques. Par ailleurs, pour avoir enseigné un peu de géométrie projective au lycée, c'est faisable bien que délicat. A l'université je n'ai pas le souvenir d'avoir vu passer la moindre géométrie projective (hormis la définition d'un espace projectif). Il est vrai que c'est très formateur pour un débutant ne serait-ce que de comprendre que toutes les coniques lisses sont projectivement équivalentes, mais pas pour l'agrégation...

M.
PS: @Soleil vert: je suis tout à fait d'accord les notions doivent être introduites progressivement. L'absence de géométrie dans les petites classes entraîne un défaut d'approche géométrique de l'analyse, de l'algèbre et des mathématiques en général. Je crois que c'est un des facteurs de la faiblesse du niveau plus tard.

Bonjour,

je ne connais pas les livres dont vous parlez,
mais une bonne introduction à la géométrie projective est :
https://fr.shopping.rakuten.com/s/samuel+projective+puf
(pour 30 euros).

Amicalement,

Bon sans avoir le livre en main ce que je peux dire sont seulement des généralités.
Groupes et géométrie de Jean-Marc Garnier s'inscrit dans la lignée du Algèbre et géométries de Pascal Boyer et Géométrie de Marcel Berger en étant plus pédagogique avec la présence d'exercices corrigés. Si on aime l'approche du Berger ou du Boyer je pense qu'on aimera aussi l'ouvrage de Garnier.
Toutefois l'idée qu'on puisse apprécier ou même comprendre ce type d'ouvrage sans avoir le moindre idée des axiomes de la géométrie euclidienne, ou affine c'est un peu fort. Les axiomes d'incidence, ou d'ordre etc... il faut les avoir en tête pour voir que les constructions algébriques sont des modèles de telles géométries. Par contre un point qui n'est pas évident de la lecture de la table des matières c'est si l'étude des différents groupes est limité à R ou l'auteur considère aussi d'autre corps par exemple pour faire de la géométrie affine sur les plans de Fano ou de la géométrie euclidienne dans le plan Q^2 (avec toutes les différences que cela comporte avec le plan réel surtout en termes d'angles).
Monsieur le candidat professeur dessinez-moi la droite euclidienne dans le plan euclidien Q^2 (cela pourrait être une question à poser à l'agrégation (:D ).

Bonjour

En temps qu'auteur de l'ouvrage, je trouve cela intéressant ces échanges. Je signale que je suis preneur de toutes suggestions, tous débats, toutes remarques et surtout preneur du signalement des coquilles où erreurs trouvées.

Pour répondre sur certains points et certains choix, je vais essayer modestement de les expliciter.

Le but de cet ouvrage est d'être un outil d'aide pour les candidats aux agrégations (interne et externe), donc de s'adapter au programme, en particulier, suivre les recommandations du jury, lire le rapport du jury qui spécifie que les groupes doivent être illustrés dans des situations géométriques.

.Il n'y a pas de géométrie projective dans cet ouvrage, car la géométrie projective n'est plus au programme de l'agrégation. Je n'en ai donc pas parlé et pourtant j'ai un cours prêt et je l'ai enseigné, il y a un peu plus de 10 ans, à des étudiants qui préparaient l'agrégation (elle était alors au programme). Mes étudiants trouvaient que l'investissement était énorme pour une utilité (par rapport au concours) insuffisante. Le programme est énorme et mes étudiants pensaient à l'époque qu'il était mieux de travailler des points plus rentables, au point de vue concours. Je rappelle que la motivation premiére des agrégatifs est de réussir le concours de l'agrégation.

Le livre est déjà gros et mon idée était aussi de parler de la rectification des courbes et du mouvement à accélération centrale (plus ciblé agrégation interne), leçons faciles en terme d'investissement et qui ne sont jamais choisies par les candidats, donc qui peuvent se révéler rentables à l'oral. J'aurai voulu aussi parler des divisons harmoniques (qui est un bon prélude à la géométrie projective), des faisceaux de cercle, etc..Je précise que ces deux notions ne sont pas au programme. Un problème de pagination se posait (mon éditeur trouvait que 600 pages était le maximum), ce que je peux comprendre. Les points que j'ai choisis hors programme sont surtout les points sous-jacents aux notions du programme (produit semi-direct, quaternions et rotations,.inversion;...). Ces points sont précisés dans l'ouvrage.

Mon expérience d'enseignant et de membre de jury m'a convaincu qu'il est fondamental pour un candidat de maîtriser les notions dont il parle. Très bien de parler des groupes cristallographiques, à condition de bien maîtriser; très bien de parler de géométrie projective à condition de bien maîtriser, mais sans être hors-sujet,(cela me paraît difficile, vu le programme actuel).

Dans mon ouvrage, j'ai précisé que je me plaçais sur des espaces vectoriels réels. Cela fait déjà un masse énorme de connaissances à maîtriser. pour les agrégatifs. Je n'ai pas parlé volontairement des géométries non euclidiennes, qui ne sont pas au programme, et qui entraineraient loin, bien que ce soit un domaine passionnant; Par contre, un candidat qui maîtrise ces notions et qui n'est pas hors sujet peut très bien les aborder. Cependant, mon expérience d'enseignant à des candidats à des concours d'enseignement m'a montré que les étudiants se plaçaient trop souvent à un niveau qu'ils ne maitrisaient pas et se faisaient surtout embêter sur des notions relativement simples non maitrisées. Et l'issue 'était une note catastrophique.

Quant au chapitre angles( à mon avis le plus difficile), une fois assimilé, il permet non seulement d'avoir des idées claires mais aussi de comprendre la puissance de la notion de groupes pour éclaircir des notions confuses ( confusion entre angle et mesure par exemple, structure du groupe des angles).

De même, l'étude de S4 par l'utilisation des isométries du tétraèdre régulier est beaucoup plus simple que par l'utilisation des classes de conjugaison, et permet d'expliciter tous les sous-groupes( distingués ou non ) de S4 et de comprendre naturellement pourquoi le groupe du carré est un sous-groupe de S4.

Pour terminer, je le répète, cet ouvrage ne donne pas une vue exhaustive de la géométrie, mais a pour but d'aider les agrégatifs dans la partie groupes et géométrie du programme de l'agrégation (interne ou externe).

Je signale que je suis preneur de toutes suggestions, tous débats, toutes remarques et surtout preneur du signalement des coquilles où erreurs trouvées.

Il faudrait peut-être ouvrir un fil de message spécifique.

Il n'y a pas de géométrie projective dans cet ouvrage, car la géométrie projective n'est plus au programme de l'agrégation. Je n'en ai donc pas parlé et pourtant j'ai un cours prêt et je l'ai enseigné, il y a un peu plus de 10 ans, à des étudiants qui préparaient l'agrégation

Alea a auto-publié son ouvrage http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1411452 il ne faut pas hésiter.

Si justement, on peut construire toute la géométrie affine sans utiliser des axiomes

On passe d'un point de vue à l'autre sans les comparer. Gênant à ce niveau.

Bonjour,

@Anna E: j'ai les deux livres de Y. Ladegaillerie (cours et exercices).
Il y est mentionné "pour le CAPES". Il faut comprendre "pour le CAPES de l'époque à laquelle les livres ont été édités". Il me semble qu'ils sont largement suffisants pour l'agrégation interne. Pour l'externe, je n'en sais rien, je ne connais pas suffisamment le programme et les exigences.
Le principal défaut de ces deux livres est la typographie. C'est certes très subjectif, mais une majorité des personnes qui ont eu ces livres dans les mains m'ont fait la même remarque, à savoir très complet, très intéressant, mais trop dense, trop chargé.
Il n'en demeure pas moins que ce sont d'excellents livres en termes de contenu.

Cordialement.

Y.

La géométrie projective n’est plus au programme de la grègue depuis quelques années, il me semble.

Bonjour,
J'ai investi dans le livre pour me rafraichir la mémoire. Dès les premières pages le livre contient des erreurs (de frappe?), telles que:
- page 23, exemple 3, le groupe de Klein à 4 éléments est dit "non commutatif" alors que c'est clair que c'est un groupe abélien
- page 28, la démonstration de la proposition 7 est non claire en plus d'une erreur de frappe, quand l'auteur dit "Donc r = x - nq appartient à Z" il voulait dire "appartient à H". Ceci vient du fait que n appartient à H et donc nq aussi (pas évident).
J'ai décidé d'arrêter la lecture du livre dès les premières pages pour éviter la confusion. C'est dommage