Construction de R

Paul Broussous
Paul Broussous
dans Livres, articles, revues, (...)
Je recherche des références en français pour la construction de $\mathbb R$ via les suites de Cauchy (i.e. comme le quotient de l'anneau des suites de Cauchy de rationnels par l'idéal maximal des suites tendant vers $0$, même si ce langage algébrique n'est pas obligatoire). Ca doit être lisible par un étudiant de L3 de 2019. Merci d'avance !

Réponses

  • rakam
    rakam
    En supposant que tu disposes d'une bibliothèque (car je ne pense que ce soit encore en vente) voir "Analyse mathématique" de Goursoux (appendices !)
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    En cherchant moins d'une minute sur Internet, j'ai trouvé ce cours. Je n'en garantis pas la qualité, mais s'il y a des soucis, tu rectifieras bien tout seul :-).

    Cordialement.
  • Paul Broussous
    Paul Broussous
    @Rakam Merci pour la référence. Oui j'ai accès à une BU.
    @Gerard0 En fait je recherche plutôt des références livresques.

    Quand j'étais en sup, j'ai eu la construction par suites de Cauchy et la construction par coupures à la Dedekind en devoirs libres et l'unicité de $\mathbb R$ en exercice. C'était une autre époque.

    De par mon éducation post Licence, je connais de bonnes références en anglais. Et j'avais d'ailleurs donné la construction de $\mathbb R$ et des ${\mathbb Q}_p$ par suites de Cauchy en mémoire de Maîtrise à un élève il y a une quinzaine d'années. Là c'est pour donner un sujet de mémoire à un L3, et je préférerais des livres en français.
  • gerard0
    gerard0
    Ah, OK !

    Mais tu peux l'envoyer explorer la BU, ça lui sera utile ...

    Cordialement.
  • Paul Broussous
    Paul Broussous
    C'est pas une mauvaise idée ...
  • etanche
    etanche
    Cours de Mathematiques Spéciales
    Ramis Deschamps Odoux
    Tome 3 analyse

    Tu trouveras la construction de R que tu cherches.
  • Paul Broussous
    Paul Broussous
    @Etanche. Merci !
  • gerard0
    gerard0
    Ah ! Je n'avais regardé que le tome 1, qui utilise $\mathbb R$ sans l'avoir défini ::o
  • Math Coss
    Math Coss
    Après, il est intéressant de représenter $\R$ comme un arbre via le développement décimal (ou dans une autre base) dans lequel on recolle les développements décimaux propres et impropres d'un réel donné. Cela peut te permettre de montrer la différence topologique entre $\R$ et $\Q_p$ : les branches infinies du même arbre, après ou avant recollements.
  • 0ka
    0ka
    Paul Broussous a écrit:
    Ca doit être lisible par un étudiant de L3 de 2019
    Je conseillerais plutôt dans ce cas le cours de Lelong-Ferrand et Arnaudiès Tome 2 Analyse, pour cette construction et aussi de manière générale parce que RDO utilise vraiment à fond le langage algébrique par rapport à L-F/A.
    Par exemple RDO utilise le théorème qui dit que le quotient sera un anneau parce que on quotiente par un idéal alors que L-F/A refait la démo pour ce cas particulier et précise que on pouvait aussi utiliser ce théorème,
    ou encore la formulation des théorèmes dans RDO "untel est une algèbre/sous-algèbre" alors que L-F/A dira : "si (x_n) et (y_n) sont des suites de cauchy alors (x_n + y_n) est une suite de [large]C[/large]auchy etc." et résumera plus loin "untel a une structure d'anneau" sans dire que c'est une algèbre parce que on en a pas besoin ici.

    Pour un point de vue plus général en partant des groupes archimédiens il y a le tome 2 d'analyse du cours de Arnaudiès et Fraysse mais faut s'accrocher.

    [Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
  • SERGE_S
    SERGE_S
    @ Paul Broussous :
    Il y a pas mal de "vieux" livres de texte qui détaillent la construction de R.

    Pour l'approche "suites de [large]C[/large]auchy" :
    Arnaudiès, Lelong Ferrand : Analyse (Ed Dunod)
    Ramis Deschamp Odoux : Analyse (Ed Masson)
    Arnaudiès Fraysse : Analyse (Ed Dunod)
    Chambadal Ovaert : Notions Fondamentales d'Algèbre et d'Analyse (Ed Gauthier-Villars)

    Pour l'approche "sections de Dedekind"
    Cagnac Ramis Commeau : Analyse (Ed Masson)

    Construction suivant les sections de Dedekind en une série d’exercices très complets tu peux lire Algèbre de Revuz (Ed Armand Colin)

    À mon avis la meilleur présentation pédagogique sur la construction de R par quotientage des suites de [large]C[/large]auchy est celle du Chambadal Ovaert suivi du Lelong Ferrand Arnaudiès. Les autres sont un délire de formalisme et de concision (ce qui est mauvais lorsque l'on a besoin de pas mal d'explications).

    [Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
  • Paul Broussous
    Paul Broussous
    Un grand merci à tous !
  • rakam
    rakam
    @SERGE_S !
    Sans mettre en cause ton "classement" il faut quand même dire que le "Chambadal" passe beaucoup de temps sur la topologie des corps valués, ce qui aurait pu être fait avec moins d'insistance !
  • Poirot
    Poirot
    Pour un livre récent qui fait les différentes construction il y a La planète $\mathbb R$ de Hassam Boualem et Robert Brouzet chez Dunod, ouvrage assez méconnu mais qui contient pas mal de choses intéressantes.
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