Livre méthodes numériques pour agrégation

[large]13.1 Résolution de systèmes d’équations linéaires[/large]

Notion de conditionnement. Théorème de Gershgörin-Hadamard. Pivot de Gauss, décomposition
LU. Méthodes itératives (par exemple méthode de Jacobi, méthode de Gauss-Seidel) ; analyse de
convergence : normes subordonnées, rayon spectral.
Décomposition en valeurs singulières.

Exemple de la matrice de discrétisation par différences finies du laplacien 1D.

[large]13.2 Méthodes itératives de résolution approchée d’équations réelles et vectorielles[/large]

Cas des systèmes linéaires : méthodes itératives. Recherche d’éléments propres : méthode de la puissance.
Optimisation de fonctions convexes en dimension finie, méthode du gradient à pas constant, moindres
carrés.
Problèmes non linéaires réels et vectoriels : méthode de dichotomie, méthode de Picard, méthode de
Newton, vitesse de convergence et estimation de l’erreur.

[large]13.3 Intégration numérique[/large]

Méthode des rectangles, estimation de l’erreur. Méthode de Monte-Carlo : vitesse de convergence,
application au calcul d’intégrales multiples.

[large]13.4 Approximation de fonctions numériques[/large]

Interpolation de Lagrange : polynôme de Lagrange d’une fonction en (n + 1) points, estimation
de l’erreur.

[large]13.5 Équations différentielles ordinaires[/large]

Aspects numériques du problème de Cauchy : méthode d’Euler explicite, consistance, stabilité,
convergence, ordre.

[large]13.6 Transformée de Fourier[/large]

Transformée de Fourier discrète sur un groupe abélien fini. Transformée de Fourier rapide.