Initiation aux équations fonctionnelles
Bonsoir à tous, je veux m'initier aux équations fonctionnelles, car je les rencontre dans de nombreuses fiches d'exercices.
J'aimerais avoir un document qui en parle mais niveau débutant.
Merci pour votre aide.
J'aimerais avoir un document qui en parle mais niveau débutant.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Attien pourrait nous donner des exemples d'équations fonctionnelles qu'il a rencontrées. S'il s'agit d'énoncés posés aux concours d'entrée aux Grandes Écoles, il faut quelques outils venant de l'Analyse.
On a déjà parlé de ce sujet maintes fois sur ce forum. Je vais rechercher les références quand j'aurai le temps, et d'autres peuvent le faire.
Bonne journée.
Fr. Ch.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Fais beaucoup d'exos.
Ah. Alors ça veut dire que si on répond à Attien, le concours ne marche plus ? :-D
Pour ce qui est d'un article j'ai déjà donné dans Quadrature n° 35, janvier-mars 1999, voir le fil de discussion que j'ai cité précédemment : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1595394#msg-1595394
et plus précisément mon message dans ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1591516#msg-1591516
qui offre cet article. J'incline à penser qu'il fournit une bonne introduction sur la question, niveau MPSI. Tu pourrais me dire ce que tu en penses.
Voir aussi : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1594870#msg-1594870 sur une méthode utile en MPSI-MP.
Maintenant je pourrais faire plus mais mon âge et mon état de santé me rendent la chose difficile, et il faudrait qu'on m'apprenne à maîtriser Dropbox.
Peux-tu citer les équations fonctionnelles que tu as rencontrées et qui ont suscité tes interrogations ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
[size=x-small]Liberté, Égalité, Paternité[/size]
On ne peut pas dire qu'il n'y a pas de théorie systématique des équations fonctionnelles.Disons plutôt qu'il n'y a pas d'exposé systématique de cette théorie dans les classes prépas, mais si demain il y avait au programme un chapitre « Équations fonctionnelles » alors cette question serait aussi « classique » que les autres et ferait l'objet d'exposé comme les autres..
En fac je ne sais pas comment cette question est abordée. Dans mon message
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1589596#msg-1589596
j'avais mis un lien vers l'Institut Fourier de Grenoble, mais ce lien est inactif au jour d'aujourd'hui ;-).
Dans mon message
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1589734#msg-1589734
j'ai donné un lien vers une monographie du mathématicien polonais Marek Kuczma (1935 – 1991) qui donne un bon aperçu de la théorie des équations fonctionnelles en 1964.
Depuis il y a eu pas mal de publications, hélas en anglais, dont la somme de 800 pages de Kannappan (2009) :
https://www.springer.com/gp/book/9780387894911#aboutBook
et aussi, plus élémentaire (2011) :
http://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Efthimiou/100914book.pdf
(ce dernier qu'on trouve bizarrement en ligne).
Et d'autres aussi...
Tout ça fait bien un corpus systématique de connaissances concernant cette question.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Rappel de quelques fils sur cette question :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,813165#msg-813165
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,935065,935955#msg-935955
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1073845,1074173#msg-1074173
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1212487,1214753#msg-1214753
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1595394#msg-1595394
Dans le même thème. Qu'en est-il des inéquations fonctionnelles?
Merci.
C'est ainsi qu'André Delachet introduisait la fonction logarithme dans son excellent « Que Sais-Je ? », qu'on peut lire encore aujourd'hui.
Tu peux aussi trouver les fonctions $f$ continues vérifiant la même équation fonctionnelle. Pour ce faire, tu intègres entre $1$ et $2$ les deux membres de l'équation fonctionnelle, tu poses $F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$, tu exprimes $f$ en fonction de $F$ et tu prouves ainsi que $f$ est $ \mathcal C^1$, et les solutions sont donc les mêmes. C'est la méthode que j'appelle de « renforcement », dont j'ai parlé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1594870#msg-1594870
Et encore mieux, la continuité en un point implique la continuité partout.
Bonne soirée.
Fr. Ch.