Initiation aux équations fonctionnelles

En cherchant "équations fonctionnelles pdf" sur Google, le premier lien est ce cours donné pour la préparation aux olympiades : Cours - équations fonctionnelles. (Je crois l'avoir travaillé lorsque j'étais au lycée et que je l'ai trouvé plutôt bon.)

J'ai retrouvé ce fil de discussion qui donne pas mal d'informations sur les équations fonctionnelles :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Il y a peu de théorie systématique sur ce genre de sujet qui est beaucoup basé sur le sens de l'astuce et l'aisance calculatoire de l'élève (ou du candidat car il s'agit plutôt d'un exercice de concours ou d'olympiade et l'originalité et la capacité à faire face à des situations inédites est ce qu'un jury cherche à tester ici).
Fais beaucoup d'exos.

Foys a écrit:

la capacité à faire face à des situations inédites

Ah. Alors ça veut dire que si on répond à Attien, le concours ne marche plus ? :-D

@ Foys

On ne peut pas dire qu'il n'y a pas de théorie systématique des équations fonctionnelles.Disons plutôt qu'il n'y a pas d'exposé systématique de cette théorie dans les classes prépas, mais si demain il y avait au programme un chapitre « Équations fonctionnelles » alors cette question serait aussi « classique » que les autres et ferait l'objet d'exposé comme les autres..

En fac je ne sais pas comment cette question est abordée. Dans mon message
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1589596#msg-1589596
j'avais mis un lien vers l'Institut Fourier de Grenoble, mais ce lien est inactif au jour d'aujourd'hui ;-).

Dans mon message
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1589734#msg-1589734
j'ai donné un lien vers une monographie du mathématicien polonais Marek Kuczma (1935 – 1991) qui donne un bon aperçu de la théorie des équations fonctionnelles en 1964.

Depuis il y a eu pas mal de publications, hélas en anglais, dont la somme de 800 pages de Kannappan (2009) :
https://www.springer.com/gp/book/9780387894911#aboutBook
et aussi, plus élémentaire (2011) :
http://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Efthimiou/100914book.pdf
(ce dernier qu'on trouve bizarrement en ligne).
Et d'autres aussi...

Tout ça fait bien un corpus systématique de connaissances concernant cette question.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Rappel de quelques fils sur cette question :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,813165#msg-813165
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,935065,935955#msg-935955
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1073845,1074173#msg-1074173
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1212487,1214753#msg-1214753
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1595394#msg-1595394

aléa a écrit:

Ah. Alors ça veut dire que si on répond à Attien, le concours ne marche plus ? grinning smiley

Les compositeurs d'épreuves (en particulier d'OIM) sont assez retors pour en proposer des nouvelles à chaque fois (:P)

$0$

Puisque la fonction $f$ est supposée dérivable, dérive les deux membres de l'équation fonctionnelle par rapport à $y$ en considérant $x$ constant. Tu peux en déduire ensuite $f'(x)$, et enfin $f(x)$ par intégration.

C'est ainsi qu'André Delachet introduisait la fonction logarithme dans son excellent « Que Sais-Je ? », qu'on peut lire encore aujourd'hui.

Tu peux aussi trouver les fonctions $f$ continues vérifiant la même équation fonctionnelle. Pour ce faire, tu intègres entre $1$ et $2$ les deux membres de l'équation fonctionnelle, tu poses $F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$, tu exprimes $f$ en fonction de $F$ et tu prouves ainsi que $f$ est $ \mathcal C^1$, et les solutions sont donc les mêmes. C'est la méthode que j'appelle de « renforcement », dont j'ai parlé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1589184,1594870#msg-1594870

Et encore mieux, la continuité en un point implique la continuité partout.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Je ne classerais pas les EDO/EDP dans les équations fonctionnelles (la manière de les aborder et les mathématiques requises étant si différentes) mais pourquoi pas.