Partition d'un ensemble

L'exercice en image n'a rien à voir avec une partition d'ensemble. Peut-être voulais-tu parler d'intersection d'ensembles ?

Le fait fondamental est la suivant : si $I$ est un ensemble (d'indices) et pour tout $i \in I, A_i$ est un sous-ensemble d'un ensemble $X$, alors $$\bigcap_{i \in I} A_i = \{x \in X \mid \forall i \in I, x \in A_i\}.$$

Ici, on voit qu'un réel $x$ appartient à $$\bigcap_{n \in \mathbb N^*} \left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[$$ si et seulement si pour tout $n \in \N^*$ on a $-\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n}$, autrement dit si et seulement si pour tout $n \in \mathbb N^*$,$|x| < \frac{1}{n}$. La seule possibilité est que $x=0$. En effet, tu as certainement vu un jour que $\mathbb R$ était archimédien, autrement dit, pour tout $a, b > 0$ il existe un entier $n \in \mathbb N^*$ tel que $na > b$. Si $|x| > 0$, alors il existe un entier $n \in \mathbb N^*$ tel que $n|x| > 1$, autrement dit, $|x| > \frac{1}{n}$. Ainsi, un tel $x$ ne peut appartenir à $\left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[$. On en déduit donc que $$\bigcap_{n \in \mathbb N^*} \left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[ \subset \{0\}.$$ L'inclusion réciproque est évidente puisque pour tout $n \in \mathbb N^*, 0 \in \left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[,$ et il y a donc égalité.

Travailler le passage du schéma où l'on voit à la démonstration propre, c'est un gros travail qui se fait petit à petit.

Peut-être une astuce : débiter une question complexe en petites questions et reformuler les questions. Par exemple, au lieu de montrer une égalité d'ensembles, on montre deux inclusions ; un élément appartient à une intersection SSI il appartient à chacun des ensembles ; pour montrer qu'un ensemble est inclus dans un autre, on montre que le complémentaire de l'autre est inclus dans le complémentaire du premier (une sorte de contraposée).

Dans cet exemple précis, il est évident que $0$ appartient à l'intersection puisque $-1/n<0<1/n$ pour tout $n>0$. Inversement, si $|x|>0$, alors $1/n<x$ pour $n$ assez grand. Poirot l'a dit de façon chic ; la lecture sur le dessin, c'est que quand $n$ est très grand, $1/n$ est très petit, aussi petit que l'on veut, et finit par passer sous $|x|$ – c'est-à-dire lorsque $n$ tend vers l'infini, la limite de $1/n$ est $0$.